[SCRÂȘIT]
[FOȘT]
[CLIC]
CASEY RODRIGUEZ: Așa că am
încheiat data trecută
cu aceste
proprietăți elementare pe care le
cunoașteți despre valoarea absolută.
Așa că permiteți-mi să demonstrez încă o teoremă
despre valoarea absolută, pe care
poate nu ați
acoperit-o în calcul.
Dar este de o
importanță fundamentală
în analiza reală, care este
inegalitatea triunghiului, care
afirmă că pentru toate xy din R,
valoarea absolută a lui x plus y
este mai mică sau egală cu
valoarea absolută a lui x
plus valoarea absolută a lui y.
Deci de ce se numește
inegalitatea triunghiului?
Ei bine, permiteți-mi-- în loc ca
x și y să fie numere reale, să ne
gândim la acestea ca la vectori.
Deci există x.  Să
spunem că y.
Și atunci vectorul x
plus y este această parte.
Atunci ceea ce afirmă aceasta
este că lungimea
uneia dintre aceste laturi
ale acestui triunghi
este mai mică sau egală
cu suma celor două
laturi, suma lungimilor
celorlalte două laturi
ale triunghiului.
Deci, de aceea se numește
inegalitatea triunghiulară.
OK, deci dovada
nu este foarte dificilă,
deși această
inegalitate este probabil
unul dintre cele mai
utile trei lucruri pe care le veți
învăța la această clasă dacă
continuați să studiați mai multe analize--
celălalt fiind--
OK, deci eu'  Vin...
aceasta este cunoștințele de la PDE.
Așa că cred că îl privesc
prin prisma aceea a ceea ce
găsesc util în PDE.
Dar inegalitatea triunghiulară,
integrarea pe părți,
schimbarea variabilelor, cele
trei alimentează mașina de analiză
cu care sunt cel mai familiar.
Deci, cum să demonstrăm
inegalitatea triunghiului -
dacă x și y sunt un R, atunci în
mod clar, prin proprietatea numărul 6,
x este mai mic sau
egal cu valoarea absolută
a lui x și y este mai mic sau egal
cu valoarea absolută a lui  y.
Deci suma lor este mai mică sau
egală cu valoarea absolută
a lui x plus y.
Și nu numai atât, pot
înlocui x cu minus x și
obțin minus x plus
minus y, aceasta este
mai mică sau egală cu
valoarea absolută a minus x
plus
valoarea absolută a minus y.
Dar aceasta este doar
valoarea absolută a lui x plus y.
Și,
prin urmare, ambele implică -
deci dacă doar iau aceasta și
înmulțesc prin minus 1,
această inegalitate,
care, cu numărul 5
din proprietățile pe care le-am
demonstrat, pentru valoarea absolută
implică că
valoarea absolută a lui x plus y este  mai mic
sau egal cu
valoarea absolută a lui x
plus valoarea absolută a lui y.
Așa că permiteți-mi doar să fac o remarcă
despre inegalitatea triunghiului invers
, care va
apărea în sarcina dvs.
Și astfel, aceasta implică
valoarea absolută a lui x minus y
și valoarea absolută
a diferenței
dintre valorile absolute.
De ce este invers?
Pentru că inegalitatea se inversează.
Valoarea absolută a lui x minus
valoarea absolută și y,
luați valoarea absolută.
Aceasta este mai mică sau egală
cu valoarea absolută
a lui x minus y.
Și vei demonstra asta
în sarcină.
Deci aceste două-- deci acest lucru rezultă
din inegalitatea triunghiului.
Dar aceste două inegalități se
folosesc destul de mult.
Și le vom folosi destul de
mult pe tot parcursul cursului.
Bine, așa că permiteți-mi să-mi iau
un minut pentru a reconecta R
cu ceea ce știți și iubiți
din calcul, și anume zecimale.
Și vom
folosi acest fapt despre R
pentru a răspunde la o
întrebare firească pe care poate ți-o
pui, care
este următoarea.
Așa că permiteți-mi să ridic
asta ca o întrebare.
Deci, această primă parte
nu este întrebarea.
Am abordat deja acest lucru în
prima sarcină, faptul
că rațiunile sunt numărabile.
De fapt, ai făcut-o pentru
rațiunile pozitive.
Dar dacă
raționalele pozitive sunt numărabile,
atunci puteți demonstra că toate
raționalele sunt numărabile.
Și o întrebare firească -
R este numărabil?
Sau setul de
numere reale poate fi numărat?
Deci, până la urmă,
nu
te voi lăsa în suspans,
răspunsul este nu.
Și vom demonstra asta.
Dar permiteți-mi doar să fac câteva
observații despre ceea ce spune asta.
Deci este următorul.
Deci, dacă Q-- deci aceasta
nu este o dovadă a acestui lucru.
Voi face doar o
remarcă pe baza acestui răspuns.
Deci, deoarece R este nenumărabil
și Q este numărabil,
acest lucru implică faptul că R Q,
mulțimea numerelor iraționale,
este, de fapt, nenumărabil.
De ce?
Așa că voi spune doar
în cuvinte de ce este adevărat.
Deci, să presupunem altfel că
atât numerele raționale,
cât și iraționalele
sunt numărabile.
Apoi puteți mapa într-
un mod bijectiv
raționalele la
numerele naturale și iraționalele
și la numerele naturale.
Dar apoi puteți mapa acele
numere naturale la 0, minus 1,
minus 2, minus 3 și așa mai departe.
Deci atunci descoperiți că
există o bijecție
de la Q la
numerele naturale și iraționalele
la numerele întregi mai mici
sau egale cu 0.
Și, prin urmare, există o bijecție
de la R la numerele întregi.
Dar numerele întregi sunt numărabile,
ceea ce ar contrazice faptul
că R este nenumărabil.
Prin urmare, setul de
iraționale este de nenumărat.
Deci, pe scurt, dacă
nu ai urmat asta,
mulțimea de iraționale
este nenumărabilă,
deoarece altfel ar
forța pe R să fie numărabil.
Acum, nu am demonstrat încă
că R este de nenumărat.  O
vom face în doar un minut.
Și vom folosi o teoremă despre
expansiunile zecimale pentru--
sau reprezentările zecimale
ale numerelor reale.
Așa că acum, conectând
raționale și iraționale
la ceea ce ai văzut de când
erai mic, așa că la
zecimale, pur și simplu - de
obicei - ne gândim
la numerele raționale
ca în termeni de
reprezentări zecimale.
Ce înseamnă asta?
Asta înseamnă că luăm --
dacă x este în Q, atunci vom scrie x
ca un număr ori o cifră
ori 10 la k plus 10
la k minus 1 plus d0.
Și apoi mergem la
locul zecimii, deci d la--
d minus 1 10 la
minus 1 plus--
deci aceasta este discuție.
Nu enunț nicio
teoremă în acest moment,
până nu ajungem, poate, la
ultima zecimală.
Și cu aceste cifre,
un submult de 0, 1, 9.
Deci tot ceea ce spun este că de obicei ne
gândim la x ca în acest fel.
Și apoi scriem x ca dk, dk
minus 1, d minus 1, d minus 2
și așa mai departe.
Folosesc această notație
pentru că voi fi...
aceasta este notația de care am
nevoie pentru a afirma teorema
despre numerele reale.
Dar este destul de prostesc că
sunt pe cale să notez asta
în acest decor.
Bun venit la MIT.
Deci, de exemplu, 1
ori 10 plus 1 ori
10 la 0 plus 1
ori 10 la minus 1.
Acesta ar trebui să reprezinte
numărul 11,1, care
este numărul rațional.
Este destul de amuzant că a trebuit să mă
gândesc la asta un minut pentru a
trece de la expansiunea zecimală
la numerele raționale.
Dar nu-mi da
un timp prea greu.
Într-o mulțime de
matematică cel puțin pură, de obicei
scriem lucruri în
numere raționale.
Nu scriem în zecimală--
Nu am fost nevoit să scriu în
zecimală extindere de
ceva timp.
Oricum, acum, desigur,
nu toate numerele raționale
pot fi scrise ca o
expansiune zecimală finită.
De exemplu, 1/3
trebuie să scrieți
ca 0,33333 și așa mai departe și așa mai departe.
Deci asta nu este neapărat
acoperit în discuția pe care o
am chiar aici.
Dar va fi
acoperit în ceea ce sunt pe
cale să spun pentru
cifrele reale.
Deci am putea acoperi 1/3.
Și atunci putem
acoperi și fiecare număr real
dacă permitem
reprezentări zecimale infinite.
Așa că voi folosi cuvântul
expansiuni zecimale sau reprezentări zecimale în mod

interschimbabil acolo.
Deci, permiteți-mi să fac o definiție.
Și ceea ce voi
spune este despre numerele reale
între 0 și 1.
Desigur, dacă vrei să
vorbim despre numere reale
mai mari decât 1, atunci trebuie
doar să lipești 1 la...
dacă vrei, la locul d0.  .
Deci, partea infinită este a
avea de a face cu ceea ce
vine după punctul zecimal.
Deci, permiteți-mi să fac
următoarele.
Deci aceasta este o
definiție riguroasă.
Fie x în 0, 1 excluzând 0.
Și fie d minus j
în 0, 1 la 9.
pentru j, un număr natural.
Deci spunem că x este...
deci ce
înseamnă să spunem că x
este dat de o
expansiune zecimală infinită
sau dat de o
reprezentare zecimală infinită?
Spunem că x este reprezentat
de cifre.
Și scriem că x este egal cu d
minus 1, d minus 2, d minus 3.
Dacă... deci acesta este
sensul exact al acestui lucru.
Dacă x este egal cu
supremamul mulțimii,
deci iau o
expansiune zecimală finită.
Și apoi obținem un număr
pentru fiecare n, un număr natural.
Deci primul este doar d
minus 1 10 la minus 1.
Și apoi, pentru n este egal cu 2,
pun pe următorul loc al sutimilor
și apoi al miilor.
Și astfel obțin un set
de numere reale.
Dacă îi iau
supremul și obțin x,
atunci spun că x este reprezentat
de aceste cifre sau că x--
sau că asta dă o
reprezentare zecimală a lui x.
Ca să vezi că acest lucru se aliniază
cu ceea ce știi,
dacă mă uit la 0,250000, îți amintești că
acesta este acum sup de ce?
Dintr-un anumit set.
Așa că lasă-mă să fac mai întâi tipul ăsta.
Deci acesta este 2/10.
Și acum, adaug
locul sutimiilor plus 5/100,
și apoi 2/10 plus 5/100--
acesta este un set, amintiți--
plus 0/1000 peste plus--
și la fiecare
tip următor, sunt  ar trebui
să ia asta și să
adauge încă un 0.
Deci, ca set, acesta este doar un
set care conține două elemente, și
anume 2/10 și 25/100.
Și deci acesta este
mai mare decât acel tip.
Deci suprema este
25/100, ceea ce este egal cu 1/4.
OK, deci toate astea
să-ți spun că,
da, această definiție ar trebui...
sau cel puțin
sună adevărată cu ceea ce
ți-a fost învățat, că 1/4
este egal cu 0,25, bine?
OK, deci acum că am terminat
cu inegalitatea triunghiului, voi
șterge asta.
Și deci aceasta este
ultima discuție
despre
proprietățile elementare ale numerelor reale.
În continuare, vom vorbi despre
secvențe de numere reale.
Bine, deci în regulă, deci
am această definiție.
Teorema fundamentală
despre numerele reale
este că fiecare număr real, cel
puțin în această setare între 0
și 1, poate fi reprezentat
printr-un set de cifre
sau are o
reprezentare zecimală.
Și fiecare zecimală - dacă
doriți, fiecare set de cifre
corespunde unei
reprezentări zecimale
a unui număr real.
Așa că permiteți-mi să precizez al
doilea lucru pe care l-am spus mai întâi.
Deci, pentru fiecare set de cifre d
minus j cu fiecare dintre aceste d
minus j în 0 până
la 9, atunci
există un x unic în
intervalul închis 0, 1 astfel
încât x este egal cu d minus 1 -
cu această
reprezentare zecimală.
Deci, dați-mi câteva
cifre și pot
găsi un număr real unic
care are
acea reprezentare zecimală.
Acum, înainte de a afirma a
doua parte a teoremei,
aceasta spune că
vă dau cifre,
obțin un număr real unic.
Acum, întrebi despre
cealaltă direcție.
Dacă am un număr real,
primesc un set unic de cifre?
Și, desigur, asta
nu este neapărat adevărat
pentru că, de exemplu, 1/2, aceasta
este egală cu 0,500 și așa mai departe.
Dar acesta este, de asemenea, egal
cu 0,4999 și așa mai departe.
Deci da, fiecare set de cifre
îmi oferă un număr real unic.
Deci, dacă ți-aș da
aceste cifre,
ar scuipa 1/2 și doar 1/2.
Nu ar scuipa 1/4.
Dar dacă
îmi dați un număr real,
nu
există neapărat un set unic
de cifre care să ofere o
expansiune zecimală pentru acel număr.
Deci pot avea două
expansiuni zecimale diferite.
Am 0,5 și am 0,4999.
Întotdeauna voi avea cel
puțin unul, dar nu este
neapărat unic.
Dar putem
evidenția o alegere unică
solicitând ca, într-un anumit
sens, dacă ar fi să
o trunchiez, atunci expansiunea zecimală
ar fi mai mică decât numărul pe care îl
privesc și
vreau să îl extind.
Deci, aceasta este a doua
parte a acestei teoreme,
este că pentru fiecare x din
0, 1, acum excluzând 0,
există cifre unice -
și ca înainte, acestea
sunt de la 0 la 9 -
astfel încât x este -
astfel încât  acestea dau o
reprezentare zecimală a lui x.
Și ce anume evidențiază o
alegere dacă ne confruntăm vreodată
cu aceste două lucruri?
Și dacă trunchiez
expansiunea zecimală,
așa că nu voi
scrie zerouri după aceea.
O să-l trunnesc --
acesta este întotdeauna mai mic decât x
și acesta este mai mic sau egal
cu plus 10 la minus n.
În regulă, așa că această
inegalitate va rămâne întotdeauna.
Și de fapt, așa că această
inegalitate va ține mereu.
Și, de fapt, x este
întotdeauna mai mare
sau egal cu această
parte, indiferent de ce.
Dacă x este dat printr-o
reprezentare zecimală,
deci avem întotdeauna aceste două.
Acesta este mai mic
sau egal cu și acesta
este mai mic sau egal cu.
Dar evidențiem
o alegere unică
de reprezentare zecimală,
alegând ca
aceasta să fie strict mai puțin decât.
Deci, asta ne obligă să-l
alegem pe acest tip în locul acestui tip.
Deci, pentru teorema 2, aceasta ar spune
că reprezentarea unică
care satisface aceasta pentru
1/2 este dată de 0,4999.
Și, de exemplu, pentru
1 ar fi doar 0,9999,
deoarece dacă iau această
reprezentare și o tai,
aceasta este de fapt egală cu
1/2 și nu mai puțin de 1/2.
OK, deci a fost o mulțime de
discuții despre teoremă.
Dar asta a fost dintr-un motiv
pentru că de fapt nu voi
demonstra această teoremă.
Nu este complet
dificil.  Folosește doar
cea mai mică
proprietate superioară a numerelor reale.
Dar este puțin
ciudat de scris.
Și ceea ce aș face mai degrabă
este să folosesc această teoremă
pentru a-mi demonstra răspunsul,
răspunsul la întrebarea mea
de acolo, dacă R
este responsabil sau nu.
În manual,
există o dovadă
a acestei teoreme, pe
care o puteți citi.
OK, deci vom
folosi această teoremă
pentru a demonstra următoarea
teoremă datorată lui Cantor.
Deci am trecut de la
valori absolute, care poate nu a fost
prea șoc și uimire, acum la această
teoremă, care pentru mine este șoc
și uimire, este următorul,
că intervalul 0, 1 este de
nenumărat.
Bine, deci poate te
întrebi, ei
bine, asta arată că
acest lucru este de nenumărat.
Și asta înseamnă că
R este de nenumărat.
Deci unde mergem
de la asta la asta?  Ei
bine, te las să te
gândești la asta.
Dar să presupunem că
acesta a fost de nenumărat
și R a fost numărabil.
Așa că o să spun
asta, să spun cu voce tare de ce.
Dacă acesta a fost de nenumărat
și R a fost numărabil,
atunci deoarece acesta este un submult
al lui R, înseamnă că acest sub
ar fi -
așa că permiteți-mi să scriu.
De ce implică asta...
Și o să-ți dau
o dovadă falsă,
dar poți face
asta complet riguroasă... o
dovadă falsă în
sensul că voi
scrie doar simboluri
care implică asta.
Deci, de ce este R de nenumărat
atunci dacă acesta este de nenumărat?  Ei
bine, funcția care
preia un element aici
doar în R, aceasta este în mod
clar bijectivă.
deci doar harta identității de la
0, 1 în R este o hartă injectivă.
Deci am clar că
cardinalitatea acestui set
este mai mică sau egală
cu cardinalitatea lui R.
De fapt, poate vă
puteți gândi la asta.
Poate o voi pune
în sarcină.
Dar, de fapt, se poate dovedi că
au aceeași cardinalitate.
Dar am asta.
Și asta este de nenumărat.
Prin urmare,
cardinalitatea sa este mai mare
decât numerele naturale.
Deci, acest lucru ar trebui să implice
că cardinalitatea
numerelor naturale este mai mică
decât cardinalitatea lui R.
Cu alte cuvinte,
R este nenumărabil.
În regulă, deci să demonstrăm
această teoremă datorată lui Cantor.
Acum, această altă
teoremă datorată lui Cantor,
că cardinalitatea mulțimii de
puteri
este mai mare decât
cardinalitatea mulțimii...
Adică, asta a fost...
cel puțin dovada,
prima dată când
am văzut-o, asta a fost
un rahat nebun.  .
Și asta va fi, de asemenea, un rahat
destul de nebun și inteligent
.
Deci, acesta este ceea ce se numește

argumentul de diagonalizare sau argumentul diagonal al lui Cantor.
Și este următorul.
Deci vom demonstra
acest lucru prin contradicție.
Deci vom presupune
că acest lucru este numărabil.
Deci nu poate fi finit.
Există o infinitate
de elemente aici.
Deci, să presupunem că, de fapt,
are cardinalitatea
numerelor naturale.
Și vom ajunge
la o contradicție.
Deci, există
o funcție, pe care o voi
numi x,
din numere naturale
în 0, 1, care este bijectivă.
Acum, lasă-mă să numesc
această stea a inegalității.
Pentru fiecare n, scriem x din n.
Deci acesta este un element de 0, 1.
Deci acesta este bijectiv.
Deci fiecare element din
0 este mapat pe.
Deci scriem x din n ca să fie în
reprezentarea sa zecimală.
Am doi indici acum-- unul
pentru locul cifrei și cel
pentru care--
scuzați-mă.
Cel puțin
te-am adăpostit de strănutul acela
punând mâna
peste microfon.
Este microfonul încă pornit?
Da.
OK, deci pentru fiecare n, scriem
fiecare x din n în reprezentarea sa zecimală
, stea satisfăcătoare.
Deci, fiecare x din aici poate
fi scris unic
într-o reprezentare zecimală dată care
satisface
această inegalitate aici.
Și ceea ce vom
face este
să venim cu un
număr real în intervalul 0, 1,
căruia x nu se mapează,
ceea ce, prin urmare, contrazice
faptul că x este surjectiv.
Și surjectiv bijectiv
înseamnă că totul
trebuie să fie mapat.
Asta e partea de onoare.
Injectiv înseamnă că
mapează lucruri diferite
cu lucruri diferite.
Deci, care este ideea de a
găsi acest element pe care să
nu fie mapat?
Deci, permiteți-mi să notez doar câteva
dintre aceste expansiuni zecimale.
Și s-ar putea să nu vreau
să fac un al patrulea.
Și poate da.
Deci, aceasta este, din nou, o discuție.
Așa că voi pune
asta între paranteze, ceea
ce înseamnă că aceasta nu face
parte din dovadă,
dar aceasta este o parte din
ideea a ceea ce se întâmplă.
Și unde este partea diagonală?
OK, deci și asta ar trebui să meargă
în această direcție.
Și expansiunea zecimală este
marcată în această direcție.
Și așadar, cumva, această listă, dacă ar
continua să meargă în acea direcție,
ar trebui să conțină fiecare
număr real între 0 și 1.
Și, deci, care este ideea de a
veni cu un număr real între 0
și unul care nu se află în
această listă este  coborâm pe
diagonala
expansiunilor zecimale
și schimbăm fiecare zecimală cu
altceva decât ceea ce este.
Și așa, așadar... și
apoi îmi iau elementul y.
Așa că nu uitați, încercăm să
găsim un y care nu este în această listă.
Și apoi aș considera
y numărul real
pe care îl obțin schimbând fiecare
dintre aceste cifre zecimale.
Așa că vă puteți imagina dacă
cumva a apărut y-- să
spunem că a apărut, deoarece
nu vreau să mai scriu,
ca x4, atunci, cumva,
acest număr ar
trebui să fie cifra
pentru y, dar l-am schimbat.
Și, prin urmare,
nu este cifra lui y.  Deci
asta e pe scurt.
Dacă nu ai înțeles
asta, e în regulă.
Lasă-mă acum să
scriu detaliile.
Deci, este puțin mai simplu
de imaginat dacă, să spunem,
toate acestea ar fi 0 și 1.
Deci, în loc să fie baza
10, acum este baza 2.
Și astfel, în loc de --
dacă cifra a fost 0,
am răsturnat-o la 1.
Așa că vă puteți imagina
că dacă y a făcut--
așa și apoi formez y
prin  răsturnând cifrele.
Deci, dacă acesta ar fi 0, 0, 1, 1, atunci
y ar începe cu 1, 1, 0, 0.
Și, prin urmare, dacă y ar apărea, să
zicem, al patrulea pe linie,
ar trebui să fie 1
și 0 în același loc
doar prin modul în care am construit
y răsturnându-l.
Și, prin urmare,
nu poți fi în acea listă.
Și, prin urmare, această hartă
nu poate fi surjectivă,
ceea ce este contradicția noastră.
Așa că permiteți-mi să fac
acest lucru mai precis.
Fie ej-- acesta va fi 1.
Dacă j-a cifră
a j-a x din j
nu este egală cu 1;
2, dacă j-a cifră a
j-a tip din acea listă,
sau x din j, este egală cu 1.
Prin partea 1 a teoremei,
teorema anterioară,
există
y unic în 0, 1 fără 0--
De ce?
Pentru că unele dintre aceste
cifre sunt diferite de zero.
Este întotdeauna fie 1, fie 2 -
astfel încât y este egal cu e
minus 1, e minus 2 și așa mai departe.
Deci, în plus, deoarece toate
aceste cifre sunt fie 1, fie 2,
ele sunt cu siguranță diferite de zero.
Deci y este dat de o
expansiune zecimală în care toate
aceste lucruri sunt diferite de zero.
Deci asta înseamnă că pentru
tot n, un număr natural,
dacă iau o expansiune zecimală finită -
așa că am tăiat aceasta
la e la minus n --
deoarece e la e minus n
plus 1 este fie 1, fie 2,
asta este  va fi pozitiv.
Deci este mai puțin decât y.
Și acesta este întotdeauna
cazul, că acesta
este mai mic sau egal cu.
Deci, pentru că toate aceste
cifre sunt pozitive,
dacă le tai,
dacă le trunnesc,
atunci acel număr
va fi mai mic decât y,
pentru că îmi lipsesc lucruri de
la milionesime
sau orice altceva de fiecare
dată pentru fiecare n.
Și, prin urmare, această
expansiune zecimală
este reprezentarea zecimală unică

din partea 2 a
teoremei pe care am afirmat-o.
Fiecare element din 0, 1 are
o reprezentare unică,
satisfăcând acea inegalitate.
Deoarece toate aceste cifre
sunt pozitive, aceasta, de fapt,
este o reprezentare unică
a acestui element
y, pe care l-am construit prin
răsturnarea cifrelor de pe această hartă.
Acum, deoarece x este
surjectiv,
există un n, număr natural -
acest n nu are nimic
de-a face cu acel n.
Poate voi folosi o
altă literă, m--
astfel încât y să fie egal cu x din m.
Atunci să presupunem că mă uit la
e la minus m.
Deci, aceasta spune
că a m-a cifră,
care ar trebui să-mi dea e
la minus m, deoarece aceasta este
egală cu --
aceasta, rețineți, este egală cu
1 dacă dm 2 dacă dm este egal cu 1.
În special, acest lucru
nu înseamnă  egal dm.
Așa că am demonstrat că acest
număr nu se egalează.
Bine, nu pot niciodată dacă... Nu
pot avea niciodată
acest număr, oricare ar
fi el, egal cu acest lucru
pentru că îl schimb mereu.
Dacă acest lucru este 1,
atunci acest număr este 2.
Dacă acest număr nu este 1,
atunci acest număr este 1.
Și, prin urmare,
nu este egal cu acesta.
Și aceasta este o contradicție.
Astfel, arată că
acest set este de nenumărat.
Așa că sper că am explicat
destul de bine.  De
asemenea, puteți căuta
o explicație în manual
.
Și bineînțeles, poți să mă
întrebi în orele de birou
pentru mai multe explicații.
Lasă-mă să mă alimentez foarte repede.
OK, acum trecem
la un nou capitol.
Vom ajunge la...
acum, vom ajunge
la partea de analiză.
Deci analiza, așa cum am spus
mai înainte, este studiul limitelor.
Analiza reală este
studiul limitelor care
are de a face cu numerele reale.
Deci, să ajungem la
prima noastră noțiune de limită.
Și aceasta este limita unei
șiruri de numere reale.
Deci, acum, trecem la
secvențe și serii.
Deci, care este
definiția precisă
a unei secvențe de numere reale?
O succesiune de
numere reale este tocmai
o funcție x din
numerele naturale
în R, doar o funcție.
Nu trebuie să fie bijectiv,
surjectiv, injectiv,
orice.
Este doar o funcție de
la numerele naturale la R.
Deci exact asta
este o succesiune de numere reale.
Acum, de obicei, nu ne gândim
la o secvență ca la o funcție.
De fapt, nici măcar nu
folosim această notație.
Notăm x din n cu x
sub n și
secvența asociată prin aceste paranteze,
n este egal cu 1 până la infinit.
Sau s-ar putea să nu scriem nici măcar
n egal cu 1 la infinit
sau pur și simplu să începem să le listăm.  În
regulă, deci permiteți-mi să
spun rapid că, deși--
așadar din nou, o secvență,
definită fără ambiguitate,
este o funcție de la
numerele naturale la reale.
Deci nu confunda
asta cu un set.
O secvență nu este un set.
Deci, gândiți-vă la o secvență,
chiar dacă din nou este
definită ca o funcție, ca
doar o listă infinită
de elemente ale lui R --
un element, primul
element, al doilea element,
al treilea element și așa mai departe.
Și nu trebuie
să fie diferiți.
Deci, de exemplu, 1, 1, 1, 1, aceasta
este o secvență perfect bună.
În ceea ce privește
funcția,
acesta este x din n este
egal cu 1 pentru tot n.
Dar din nou, nu mă voi
gândi cu adevărat la o secvență
ca la o funcție.
Așa cum nu ne-am gândit niciodată la
funcții ca submulțimi de--
ca anumite submulțimi ale
produsului cartezian a două mulțimi, ar
trebui să vă gândiți la acestea
ca doar o listă de numere reale.
Și când ne referim la
ele, fie
le vom scrie așa,
fie cu paranteze în
jurul unei expresii
pentru x sub n.
Deci, de exemplu, dacă ar
fi să scriu asta,
asta înseamnă că aceasta este secvența
dată de 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5
și așa mai departe.
BINE.
Deci, iată o altă definiție.
Deci, o secvență este mărginită
dacă, într-un anumit sens,
nu ajunge la
valori arbitrar mari.
Deci secvența x sub n este
mărginită dacă există
un număr real b
mai mare sau egal
cu 0, astfel încât pentru toate n
din numerele naturale xn
este mai mic sau egal
cu b în valoare absolută.
Deci, din nou, de exemplu, dacă ne
uităm înapoi la ambele
două secvențe --
1, 1, 1 și
secvența 1 peste n --
acestea sunt mărginite.
De ce?
Pentru că fiecare element din aceasta...
nu ar trebui să spun element, dar
fiecare intrare din această secvență
este egală cu 1.
Deci este mărginită de 1.
Și fiecare intrare din această secvență
este mai mică sau egală cu 1.
Deci este mărginită de
1.  în valoare absolută.
Este și pozitiv.
Deci amândoi sunt mărginiți.  Un
alt exemplu este
șirul minus 1 la n.
Așa că voi scrie egali,
deși asta nu ar trebui... asta
nu înseamnă nimic.
Am de gând să o scriu -- să o
scriu -- sau să încep să enumerez
intrările -- minus 1,
1, minus 1, 1, minus 1, 1.
Acest lucru este, de asemenea, mărginit deoarece
valoarea absolută a minus 1
la n  este 1.
Deci, acesta este mărginit
de 1 pentru toate n.
Deci, ce este un non-exemplu?
Secvența n-- cu
alte cuvinte, aceasta
este secvența 1, 2,
3, 4, 5 și așa mai departe.
Acum, exact de ce nu--
așa că ar trebui să spun că acest lucru este limitat.
Și în caz contrar, mă voi referi la x
sub n ca nelimitat, nemărginit.
Deci, de ce este nelimitat?
Pentru că intrările devin din ce în ce
mai mari.
Dar dacă v-aș cere
să dovediți acest lucru,
ar trebui să arătați--
și acesta este, de asemenea, un
prim exercițiu bun--
ce înseamnă
a fi nemărginit.
Așa că am spus asta la un
moment dat, că, dacă
întâlniți o
definiție destul de interesantă,
ar trebui să căutați în sus sau să încercați
să veniți cu exemple.
Și de obicei, atunci când
vii cu exemple,
ar trebui să vină
cu non-exemple.
Și ceea ce vă cere să
faceți este să negeți definiția.
Ce înseamnă ca
ceva să nu fie așa?
Deci, chiar dacă spun
că, dacă nu este mărginit, îl
numesc nemărginit, de
fapt nu am
scris o
declarație matematică în acest sens
despre ce înseamnă asta.
Așa că permiteți-mi să fac asta
chiar aici ca o remarcă.
Deci o secvență este
nemărginită, deci dacă nu
satisface acea definiție.
Deci trebuie să negăm
această definiție.
Definiția spune că
aceasta este mărginită
dacă există un b mai mare
sau egal cu 0, astfel
încât acest lucru este valabil pentru tot n.
Acum, când nega un
există, acesta devine un pentru toți.
Iar când neg un pentru toți,
acesta devine o existență.
Și apoi anulez
această condiție.
Deci șirul este nemărginit
dacă pentru toate b mai mari
sau egale cu 0 există
un număr natural în n
astfel încât xn în
valoare absolută este mai mare decât b.
Acum, folosind asta-- deci
aceasta este-- dacă vrei,
poți lua asta ca
o a doua definiție.
Sau nu este chiar o definiție,
deoarece este doar negația
primei definiții.
De ce acest set este nelimitat?
Din cauza
proprietății arhimedeene.
Așa că acum, vă ofer o
mică dovadă scurtă despre motivul pentru care
această secvență este nelimitată.
Fie b mai mare
sau egal cu 0.
Prin
proprietatea arhimediană,
există un număr natural
n astfel încât n este mai mare
decât b, ceea ce
am vrut
să demonstrăm pentru că, în acest caz,
x sub n este n, este  nemărginit.
OK, acum, ce
înseamnă pentru noi
să avem o limită a unei secvențe?
Ce înseamnă o limită
a unei secvențe?
Ce înseamnă
ca un număr real
să fie limita unei secvențe?
Ce înseamnă ca o secvență
să converge către ceva?
Deci secvența x sub n
converge către un număr real
x în R dacă
este îndeplinită următoarea condiție --
dacă pentru fiecare epsilon pozitiv,
există un număr natural
capital M astfel încât
pentru toate n mai mari
sau egale cu capitalul M
xn minus x  valoarea absolută
este mai mică decât epsilon.
Acum, amintiți-vă că
valoarea absolută este
menită să fie ceva
ca o distanță.
Deci, ce spune această afirmație?
Aceasta spune că dacă îți dau
puțină toleranță, epsilon,
și mergi suficient de departe
în secvență,
atunci distanța dintre acea
intrare din secvență și x
sunt foarte apropiate una de cealaltă.
Permiteți-mi să termin de precizat
restul acestei definiții
și vom mai
discuta puțin.
Dacă o secvență converge,
spunem că este convergentă.
Altfel, spunem că
este divergent.
Așa că bine, lasă-mă să desenez...
lasă-mă să fac o mică imagine
a ceea ce trebuie să fie.
Deci numerele reale au
fost asta...
Adică, este acest
câmp unic ordonat
cu cea mai mică
proprietate superioară.
Dar când te gândești
la numerele reale,
gândește-te la el așa cum te-ai
gândit întotdeauna la el,
ca doar la linia numerică reală.
Deci, ce
înseamnă această definiție?
Înseamnă că o secvență
converge către un
x dacă pentru fiecare epsilon
pot face următoarele.
Dacă mă uit la...
dacă îți dau un epsilon și
mergi de fiecare parte a sumei x epsilon
, atunci ar trebui
să poți găsi un M majuscul, astfel
încât dacă te uiți la intrările
din secvența ta x sub n pentru n
mai mare decât  sau egal cu
M sunt în tipul ăsta.
Deci, ar trebui să am x sub
M acolo, x sub M plus 1,
x sub M plus 2.
Și, în general, x sub
n ar trebui să fie acolo,
atâta timp cât n este mai mare
sau egal cu M.
Deci ar trebui să fiu  capabil să facă
asta pentru fiecare epsilon.
Deci, pentru orice cantitate de
toleranță epsilon, ar
trebui să puteți merge
suficient de departe în secvența
încât toate intrările
din acea secvență să
fie în această toleranță de x.
Adică, deși aceasta este o
imagine a ceea ce
înseamnă definiția, cum ar trebui să...
Vreau să spun, probabil că ai
dobândit multă experiență
cu secvențele când
făceai calcul.
Dar ce înseamnă asta în mod liber?
Înseamnă că dacă mă uit aproape de x,
un mic interval care conține
x, atunci toate secvența, toate
elementele secvenței
ar trebui să fie în cele din urmă în acest --
în acest mic interval.
Sau un alt mod de a ne
gândi la asta este
că, pe măsură ce continui secvența,
intrările se apropie din ce în ce
mai mult de
x. Acum, modul în care se face
aceste ultime două
afirmații intuitive precise
este prin această definiție.

Partea din ce în ce mai apropiată este încapsulată
în aceasta pentru toate părțile epsilon.
Și, în cele din urmă, a te apropia din ce în ce
mai mult înseamnă pentru toți n
mai mari sau
egali cu M majuscul.
Atâta timp cât merg suficient de departe
în secvență,
se apropie de x.
Deci sper că este destul de clar.
Bine, deci din nou,
avem o definiție.
Și este destul de interesant.
Așa că ar trebui să facem exemple,
și apoi să o negăm.
Dar înainte de a face
oricare dintre acestea,
vreau să demonstrez
un fapt foarte simplu
despre
secvențele convergente, și anume
că, dacă am o secvență
care converge către x, atunci x
este singurul lucru către care
poate converge secvența.
Nu pot avea o
secvență convergentă care să convergă către două
lucruri diferite.
După cum am spus, dacă
urmați această intuiție
că, în cele din urmă, sub
n-urile x se apropie din ce în ce mai mult

de x, ei bine,
atunci nu există nicio cale să se
apropie și
de altceva decât de x.
Așa că vreau doar să
demonstrez asta foarte repede.
Și apoi vom face exemple și
o negație a acestei definiții.
Deci următoarea teoremă--
și deci voi spune mai
întâi teorema care
nu are nimic de-a face
cu secvențele,
dar este o modalitate bună dacă doriți
să arătați că două lucruri sunt egale.
Puteți arăta că sunt
mai mici decât orice.
Deci prima teoremă pe
care o voi afirma
este dacă x și y sunt în R și
toate epsilonul pozitiv x minus y
este mai mic decât epsilon,
atunci x este egal cu y.
Aceasta nu este o
afirmație surprinzătoare.
Dacă am x și y și
distanța dintre ele
este arbitrar mică, atunci
trebuie să fie același lucru.
Deci care este dovada?
Să presupunem că xy este în R. Și pentru
toți epsiloni pozitivi, x minus y
este mai mic decât epsilonul.
Deci acum, vreau să
demonstrez că x este egal cu y.
Deci să presupunem că acest lucru
nu este valabil și să ajungem
la o contradicție.
Deci aceasta este o scurtă
dovadă prin contradicție.  Să
presupunem că x nu este egal cu y.
Apoi amintiți-vă că am demonstrat că
valoarea absolută a ceva
este 0 dacă și numai dacă
acel lucru este egal cu 0
și este întotdeauna nenegativ.
Deci, x nu este egal cu y înseamnă că
valoarea absolută a lui x minus y
este mai mică decât-- este mai mare decât 0.
Apoi, prin această
presupunere, pentru epsilon
egal cu x minus
y peste 2, obțin--
ceea ce implică dacă doar
scad că  peste, x minus y
este mai mic decât 0.
Deci 1/2 este mai mic decât 0 sau--
și aceasta este o
afirmație foarte falsă.
Am demonstrat deja că
valoarea absolută este întotdeauna
nenegativă.
Deci, dacă am două
numere reale care sunt arbitrar
apropiate unul de celălalt, atunci
trebuie să fie aceleași.  Voi
folosi această
teoremă pentru a demonstra că --
nu știu de ce
am pus un 1 acolo --
de ce limite -- și nu am
spus că așa numim x --
dar de ce o succesiune convergentă
poate doar converge  la un singur lucru.
Deci iată afirmația celei de-a
doua teoreme.
Dacă x sub n este o secvență
și converge
către x și, de asemenea, converge
către y, atunci x este egal cu y.
Deci o secvență convergentă poate
converge doar către un singur lucru.
Și din nou, așa cum am spus, ar
trebui să fie clar
pentru că ceea ce se întâmplă este că dacă
am două lucruri care nu sunt
egale și x sub
n converge către x,
asta înseamnă că, atâta timp cât merg
suficient de departe în secvență, se
presupune că ele sunt  pentru a fi aici în
acest mic interval în jurul lui x.  Ei
bine, dacă ar trebui să
convergă către y,
dacă merg suficient de
departe, ar
trebui să fie și aici atâta timp
cât merg suficient de departe.
Dar nu poți fi în două
locuri deodată.
Și de aceea
x trebuie să fie egal cu y.
Deși, presupun
că acum
facem toate cursurile
online, unele sunt înregistrate.
Deci poți fi două locuri
deodată, dar cel puțin nu aici.
OK, deci vom
folosi această teoremă
pentru a demonstra această afirmație.
Să presupunem că-- converge către x și y.
Și vreau să verific că
pentru toate epsilonul pozitiv
valoarea absolută a
x minus y este mai mică
sau egală cu epsilon.
Acum, amintește-ți dacă demonstrez
ceva pentru toate epsilonul,
trebuie să... asta înseamnă că o fac
pentru epsilon arbitrar.
Primești puncte doar pentru setarea să
fie epsilon pozitiv.
OK, acum vreau să arăt
valoarea absolută a lui x minus y
este mai mică sau
egală cu epsilon.
Și practic vom
face argumentul pe care tocmai l-am
șters.
Deci, deoarece x sub n
converge către x, asta
implică faptul că există un
număr natural M1 astfel încât
pentru tot n mai mare
sau egal cu M1,
x sub n minus x este mai mic
decât epsilon peste 2.
De ce epsilon peste 2?
Vei vedea, magia se întâmplă.
Și din moment ce x sub
n converge către y,
așadar, acest lucru implică faptul că
există un număr natural M2
astfel încât pentru toate n mai mari
sau egale cu M2 -
deci din nou, aceasta este
partea care spune
atâta timp cât merg suficient de departe
s  sub n trebuie să fie aproape de x.
Acum, aceasta este
partea care spune că
atâta timp cât merg suficient de departe, x
sub n trebuie să fie aproape de y--
astfel încât pentru tot n mai mare
sau egal cu M2 x sub n minus y
este mai mic decât epsilon peste 2.
Apoi, din moment ce suma M1 plus--
acestea sunt ambele numere naturale.
Acesta este mai mare
sau egal cu M1 și M2.
Acest lucru implică - acum, voi
folosi aceste două inegalități
și inegalitatea triunghiulară.
Atunci, dacă mă uit la
valoarea absolută a lui x minus y,
aceasta este egală cu
valoarea absolută
a lui x minus x sub n
plus x sub n minus--
deci, permiteți-mi-- nu x sub n, ci
x sub M1 plus M2 plus  x sub M1
plus M2.
Acum, după
inegalitatea triunghiului, aceasta
este mai mică sau egală cu x
M2 plus M1 plus M2 minus y.
Acum, aceasta este mai mică
decât epsilon peste 2,
deoarece M1 plus M2 este
mai mare sau egal cu M1.
Și din același motiv,
din moment ce plus M1 plus M2
este mai mare sau egal cu
M2, acesta este mai mic decât epsilon
peste 2.
Ah, acum vezi de ce le-am
împărțit pe amândouă
la 2 pentru că atunci când
le adun, primesc epsilon.  .
Deci am arătat că pentru
fiecare epsilon pozitiv,
valoarea absolută a lui x
minus y este mai mică decât epsilon.
Prin urmare, prin teorema pe care am
demonstrat-o acum un minut,
x este egal cu y.
De ce am afirmat acea teorema?
Pentru că vreau să folosesc notația.
Și vreau ca această notație
să fie deja evidentă
că este consecventă.
Și voi
folosi terminologia.
Adică, aceasta nu este
chiar o definiție nouă.
Este doar o terminologie.
Numim x limita
secvenței.
Acum, faptul că am arătat
doar că există un singur
tip către care o secvență
poate converge
este motivul pentru care am ajuns să folosesc
cuvântul „the--”,
așa că nu-l numim pe x o
limită a x sub n.
Este limita pentru că există
doar una, dacă există una -
și scrieți x este egal cu limită pe măsură ce n
merge la infinitul lui x sub n.
OK, deci să ne oprim la negarea
definiției a ceea ce
înseamnă ca o secvență
să fie convergentă.
Și să facem
câteva exemple
de secvențe convergente,
dovedind că
sunt secvențe convergente
și calculând ceea ce ele -
și cel puțin să demonstrăm
că aceste secvențe
converg la limita
pe care ți-o spun eu.
Deci, de exemplu, să ne uităm
la secvența constantă
x sub n este egală cu 1 pentru tot N. Deci
aceasta este secvența 1, 1, 1
și așa mai departe.
Atunci voi
scrie doar 1, nu x sub n.
Limita pe măsură ce n ajunge la
infinitul lui 1 este egală cu 1.
Această dovadă nu este
foarte lămuritoare,
dar vă voi arăta cum merge.
Deci ar trebui să arăți...
ce înseamnă asta?
Aceasta înseamnă că pentru fiecare
epsilon pozitiv,
există un
număr natural capital M astfel
încât dacă eu sunt mai mare decât
capital M, aceasta minus limita
ar trebui să fie mai mică decât epsilon.
Deci, epsilonul să fie pozitiv.
Acum trebuie să
găsesc un M majuscul,
astfel încât x sub n minus
x să fie mai mic decât epsilon,
ori de câte ori mic n este mai mare
sau egal cu M majuscul.
Așa că am de gând să aleg
capital M ca să fie 1.
Pot face asta  pentru această secvență.
Atunci, dacă n este mai mare
sau egal cu M
și mă uit la a n-a
intrare din secvență,
ei bine, acesta este doar
1 minus 1 este egal cu 0.
Și asta este mai puțin decât epsilon.
Deci nu este foarte lămuritor,
deoarece capitalul M este egal cu 1
este suficient de bun.
Deci hai să facem ceva mai
mult.
Deci, ce zici de limita când
n merge la infinit de 1
peste n este egal cu 0?
Deci haideți să facem o dovadă în acest sens.
Din nou, ar trebui să
demonstrez această declarație epsilon
în definiție pentru a
putea afirma acest lucru, care
este pentru fiecare declarație epsilon.
Așa că încep proba
cu epsilonul să fie pozitiv.
Acum, trebuie să găsesc--
Trebuie să vă spun cum să
alegeți M majuscul pentru a vă asigura
că puțin n mai mare decât
sau egal cu M mare
implică x sub n minus 0, în
acest caz, este mai mic decât epsilon.
Deci, voi spune că alegeți
numărul natural M capital astfel
încât m să fie mai mare
decât 1 peste epsilon.
De fapt, nu am de gând să
scriu așa.
O să-l scriu astfel -
1 peste M este mai mic decât epsilon.
Și de ce pot face asta?
De ce pot găsi un număr atât de natural
care să satisfacă acest lucru?
Și nu puteți doar să introduceți
declarații în dovada dvs. -
alegeți capital M pentru a satisface
proprietatea unicorn -
și nu puteți clarifica
de ce puteți alege un
astfel de număr natural care
satisface proprietatea unicorn.
Pot face asta prin
proprietatea Arhimedean.
Acest lucru
înseamnă în mod echivalent că
pot găsi un
număr natural M, astfel încât n să
fie mai mare decât 1
peste epsilon, ceea ce am
scris acolo inițial.
Așa că permiteți-mi să o scriu astfel - un
astfel de M există prin
proprietatea arhimediană
a numerelor naturale.
Voi spune asta de câteva
ori dacă trebuie
sau pentru a clarifica de ce există anumite
numere naturale care satisfac
anumite proprietăți.
Și apoi, la un
moment dat, mă voi opri
pentru că ar trebui să fie clar
că am făcut-o de destule ori,
știi cum sau de ce
există ceva.
OK, deci aleg un
număr natural și un număr natural
M, astfel încât să am asta.
Acum, trebuie să vă arăt
că acest număr funcționează.
Deci, să fie n mai mare
decât M majuscul. Atunci,
dacă mă uit la x sub n minus
limita mea propusă, care este 0--
deci mă uit la 1 minus n 0--
aceasta este egală cu doar 1 peste n.
Deoarece mic n este mai mare
sau egal cu capitalul M,
acesta este mai mic sau
egal cu capitalul M, care
este mai mic decât epsilon.
Și, prin urmare, am dovedit
ceea ce am vrut să demonstrez.
Deci, cum fac astea--
dacă vă dau doar o secvență
și vă cer să dovediți asta--
deci aceasta este o discuție.
Cum vii
cu aceste dovezi?
Cum ar trebui să
arate de obicei dovada?
Dacă vreau să demonstrez că este
egal cu L sau x, care este
dovada acestui aspect?  Ar
trebui să fie întotdeauna... deci
dovada ar trebui să
fie epsilon pozitivă.
Și atunci poate că trebuie
să faci niște explicații.
Și apoi vei spune alege
M, astfel încât ceva.
Și faptul că un astfel de
M există probabil
va fi explicat acolo
sau în aceeași propoziție.
Și apoi următoarea
parte a dovezii
ar trebui să arate că
acest M mare funcționează.
Deci, dacă n este mai mare
sau egal cu capitalul M,
atunci ar trebui să
arătați că funcționează
uitându-vă la x sub
n minus x și făcând
un calcul sau inegalități
și ajungând la aceasta să fie mai mică
decât epsilon, care este ceea ce
doriți  a dovedi.
Doriți, în cele din urmă, să
verificați această definiție, care
spune că pentru fiecare epsilon,
puteți găsi un M mare,
astfel încât să înțeleg asta.
Deci, într-o dovadă,
faci asta.
Vrei să spui pentru
epsilon pozitiv,
aleg M ca să se întâmple asta.
Acum, cum...
cum ai venit
cu un astfel de M mare?
Deci, din nou, aceasta este
doar o discuție.
Și poate nu vom ajunge
la alte exemple.
O să termin
această discuție
și apoi o vom numi o zi.
Cum ai venit
cu un astfel de M mare?
Cum am venit cu M?
De ce am ales M în acest fel?
În cele din urmă,
puteți vedea aici, este
că l-am ales pentru că
dacă mă joc cu
lucrul pe care vreau să-l leg,
am ajuns cu 1 peste n, pe care îl
pot controla și
îl pot face mai mic decât epsilon.
Deci, de obicei, cum
găsești capitalul M?
Deci aceasta este o discuție,
cred, în cadrul unei discuții.
De obicei, veți lua x sub n
minus x, limita propusă.
Poate vă dau o
secvență în mod explicit.
Sau poate este o expresie care
implică alte secvențe.
Și te joci cu el.
Poate că îl scrieți diferit,
sau adăugați și scădeți ceva,
sau îl înmulțiți cu
1 într-un mod elegant.
Și veți obține o
expresie care implică de obicei
ceva care implică n.
Și atâta timp cât această expresie
care implică n este suficient de simplă,
atunci alegeți
M majuscul, astfel încât acest lucru să
fie mai mic decât epsilon.
Acum, destul de simplu,
de exemplu, 1 peste n,
pot alege capital M astfel
încât acesta să fie mai mic decât epsilon
după proprietatea arhimediană.
Dacă, de exemplu, și
asta este practic 1 peste n,
sau 5 peste n, sau
ceva de genul acesta,
asta epuizează pe toate cele mai
simple deocamdată.
Dar dacă, de exemplu, ați
ajuns cu 1
peste n pătrat
minus 3n plus 100,
nu aș spune că aceasta este o
expresie suficient de simplă
pentru a putea spune alege
M majuscul astfel încât aceasta să fie mai mică
decât epsilon fără mai multe
explicații decât ceea ce am  tocmai a dat
aici.
Și vom mai face câteva
exemple data viitoare
pentru a detalia
un pic mai mult.
Bine, așa că ne oprim aici.