[SCRÂTÂND] [FOȘTIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, deci data trecută, vorbeam despre secvențe și am introdus noțiunea de limită a unei secvențe. Deci spunem că x n converge către x dacă pentru toate epsilonele pozitive există un M, un număr natural, astfel încât pentru orice mic n mai mare sau egal cu capitalul M avem x sub n minus x este mai mic decât epsilon. Deci, ceea ce spune această definiție este că, având în vedere puțină toleranță, atâta timp cât merg suficient de departe în secvență, intrările se încadrează în această toleranță la x. Și atunci când x converge către x, vom scrie x este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul lui x sub n, sau folosind această notație, x sub n săgeata x. Și așa am mai spus că, dacă aveți vreodată o definiție destul de complicată sau interesantă, ar trebui să încercați să veniți cu exemple și să o infirmați. Deci, la sfârșitul timpului trecut, am văzut câteva exemple de-- cel puțin un exemplu de-- o secvență convergentă. Să negăm această definiție pentru că atunci vom veni și cu un exemplu de secvență care nu converge. Și deci negația acestei definiții este că x n nu converge către x. Ce înseamnă acest lucru? Deci aceasta este partea de negație reală. Dacă există un epsilon pozitiv, deci ori de câte ori negăm un „pentru toți”, acesta devine „există”, iar de fiecare dată când negăm un „există”, acesta devine un „pentru toți”. Deci există un epsilon rău 0 pozitiv, astfel încât pentru toate numerele naturale N, există un n mai mare sau egal cu M, astfel încât x n minus x este mai mare sau egal cu acest epsilon rău 0 la distanță. Deci avem o imagine care merge împreună cu convergența. Putem avea o imagine care merge împreună cu o secvență care nu converge către x. Deci, asta înseamnă că dacă ies în acest epsilon rău 0 și dacă ies în mod arbitrar în secvență, pot găsi întotdeauna un element x sub n care nu este în acel interval. Și folosim această negație pentru a demonstra că o anumită secvență nu converge către x. Dar să revenim, să facem un alt exemplu de succesiune care converge, deci este egală cu 0. Deci, din nou, cum merge dovada? Trebuie să verificați definiția limitei. Adică, nu trebuie să folosim nimic altceva acum. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Și acum, în lateral, voi lucra puțin pentru a vă arăta cum, în practică, s- ar găsi un astfel de M majuscul sau alegeți un M mare pentru a obține acel 1 peste n pătrat plus 30n plus. 1 ar fi mai mic decât epsilon pentru n mai mare sau egal cu capitalul M. Deci, de obicei, cum funcționează , spre deosebire de calcul, unde aveți o inegalitate pe care doriți să o obțineți și apoi rezolvați pentru n, în analiză, ceea ce este grozav este că puteți înlocui acel lucru pe care doriți să îl faceți mic cu ceva mai simplu și apoi să rezolvați acea inegalitate. Ce vreau să spun? Deci, ceea ce vreau să fac, vreau să găsesc M astfel încât dacă n este mai mare sau egal cu M, atunci - deci spun că limita este 0, așa că vreau să arăt 1 peste n pătrat plus 30n plus 1 este mai mic decât epsilon. Acum, aș putea încerca să rezolv această inegalitate pentru n, dar aceasta este o funcție pătratică și imaginează-ți că am pus 20 acolo, așa că nu pot rezolva exact exact pentru n pentru a garanta acest lucru. Dar ceea ce este grozav la analiză este că nu trebuie să muncesc atât de mult. Aș putea începe cu acest lucru pe care vreau să-l leg cu epsilon, să- l înlocuiesc cu ceva mai mare și apoi să găsesc M majuscul, astfel încât acel lucru mai mare să fie mai mic decât epsilon. Deci ce vreau să spun? Deci, să începem cu acest lucru-- 1 peste n pătrat plus 30n plus 1. Deci, acesta doar face lucrurile mai mari. O să fac asta foarte încet. Deci, acesta este mai mic sau egal cu acesta, deoarece pentru aceasta, tocmai am adăugat 1 la numitor. Și 1 peste n pătrat plus 30n-- acest lucru pare cu siguranță puțin mai simplu de rezolvat pentru n mai puțin decât epsilon. Dar o pot face și mai simplă eliminând n pătrat, deoarece n pătrat este pozitiv, așa că asta face doar fundul mai mare. Deci am 1 peste 30n, iar acesta este cu siguranță mai mic sau egal cu 1 peste n. Deci, ce arată acest calcul? Aceasta arată că dacă 1 peste n este mai mic decât epsilon, atunci aceasta implică că 1 peste n pătrat plus 30n plus 1 este mai mic decât epsilon. Dacă acest lucru este mai mic decât epsilon, atunci prin acest șir de inegalități, acest lucru va fi mai mic decât epsilon. Deci alegem M majuscul astfel încât să obținem asta. Acum, când vom scrie efectiv dovada, va arăta cam așa. Dar stilul real al dovezii este puțin diferit. Și dacă nu ai vedea asta, s-ar părea că am scos acest M majuscul din neant, dar aceasta este gândirea care se află în spatele ei. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Acum vă voi spune cum să alegeți M majuscul. Alegeți M un număr natural astfel încât-- deci îl dorim pentru toate n mai mari sau egale cu M majuscul, 1 peste n este mai mic decât epsilon. Deci, acest lucru va fi cu siguranță adevărat dacă n este mai mare sau egal cu capitalul M, astfel încât 1 peste capitalul M este mai mic decât epsilon. Și motivul pentru care putem alege M majuscul așa -- din nou, de unde vine asta? Vine din proprietatea arhimediană a numerelor reale. Deci am ales M majusculă. Acum trebuie să arătăm că acest M mare funcționează. Atunci, pentru toate n mai mari sau egale cu capitalul M, dacă mă uit la 1 peste n pătrat plus 30n plus 1 minus 0, limita propusă de mine , aceasta este egală cu 1 peste n pătrat plus 1. Și aceasta este mai mică sau egală cu , dacă scad n pătrat și 1, 30n, care este mai mic sau egal cu 1 peste n, care este mai mic sau egal cu 1 peste M capital, care este mai mic decât epsilon. Deci, ceva non-exemplu -- să arătăm că secvența minus 1 la n DNC nu converge -- nu Comitetul Național Democrat -- nu converge. Deci aceasta este doar o secvență minus 1, 1, minus 1, 1, minus 1 și așa mai departe. Așa că trebuie să arătăm că nu converge, adică pentru fiecare x din R, vom arăta că x n nu converge către x folosind negația definiției - deci dovadă. Fie x în R. Și ce vrem să arătăm? Minus 1 la n-a nu converge spre x. Și vom folosi această definiție. Deci această definiție înseamnă că trebuie să găsim un epsilon prost 0. Și iată genul de gândire care merge împreună cu asta - există 1, există minus 1. Această secvență continuă să alterneze, așa că intuitiv nu există nicio posibilitate ca fiecare element al secvenței poate deveni -- sau fiecare intrare din secvență poate deveni -- aproape de un singur x. Deci care este ideea? Ideea este că distanța dintre acești doi bărbați este întotdeauna 2. Deci, cumva, distanța dintre fiecare intrare sau, practic, o anumită intrare trebuie să fie la distanță -- dacă aceasta este la distanța 1, să zicem, la un x dat, atunci aceasta va fi mai mare sau egală cu 1 la distanța până la x. Așa că vă puteți imagina că x este aici. Minus 1 se află în distanța 1 la x, dar atunci 1 ar fi mai mare decât distanța 1 la x. Deci epsilonul nostru rău 0 urma să fie 1, după cum vom vedea. Fie epsilonul 0 este egal cu 1. Acesta este epsilonul nostru rău. Deci acum trebuie să arătăm pentru tot capitalul M din numerele naturale, există un pic n mai mare decât sau egal cu capitalul M, astfel încât să avem acea inegalitate. Deci, fie M un număr natural. Atunci ce vedem? Deci, atunci se spune că există un n mai mare decât sau egal cu capitalul M. Și voi arăta că n este, de fapt, fie capital M, fie capital M plus 1, apoi 2, care este distanța dintre minus 1 și M și minus 1 la M plus 1 este mai mic sau egal cu -- acum folosind inegalitatea triunghiulară, adun și scad x și apoi folosesc inegalitatea triunghiului. Deci, am că suma a două numere este mai mare sau egală cu 2. Și singurul mod în care se poate întâmpla este dacă unul dintre aceste numere este mai mare sau egal cu 1. Dacă ambele numere sunt mai mici decât 1, atunci suma este mai mic de 2 și aș avea 2 este mai mic de 2. Nu este posibil. Deci, unul dintre aceste numere trebuie să fie mai mare sau egal cu 1. Și, prin urmare, aș putea lua n egal cu M majuscul dacă acesta este mai mare sau egal cu 1, sau dacă acesta este mai mare sau egal cu 1, iau puțin n să fie M majuscul plus 1. Deci asta este sfârșitul. Deci asta e bun pentru exemple pentru moment. Să demonstrăm o teoremă generală despre secvențele convergente - și anume că, dacă am o secvență convergentă, atunci este mărginită. Și permiteți-mi să vă reamintesc doar ce înseamnă a fi mărginit pentru o secvență, adică există un număr astfel încât pentru tot n, x n este mai mic sau egal cu capitalul B. Acum, ca studenți începători la matematică, ce tipuri de întrebări ar trebui să începem să ne punem? Deci, unul dintre tipurile sau un tip de întrebare pe care ar trebui să le punem atunci când întâlnim teorema care este o stradă cu sens unic, adică dacă se întâmplă ceva, atunci se întâmplă altceva, este oare inversul? Și anume, dacă presupun că x sub n este o secvență mărginită, înseamnă asta că x n este convergent? Așa că, dacă auzi vreodată cuvintele „reversul este valabil”, asta înseamnă. Acum, pentru această afirmație, aceasta este falsă. Dacă x n este mărginit implică că x n este convergent, este fals deoarece avem un exemplu de succesiune mărginită. Această secvență aici, minus 1 la n, este mărginită deoarece șirul în valoare absolută este egală cu 1 pentru tot n, deci am putea lua B egal cu 1. Deci minus 1 la n este o secvență mărginită, care nu este convergentă. Deci inversul nu este valabil. Deci haideți să demonstrăm teorema. Și permiteți-mi să fac o mică imagine pentru a merge împreună cu ceea ce se întâmplă. Deci aici este 0, să ne imaginăm. Lasă-mă să fac această poză un pic mai mare înainte de a intra în dovezi. Deci, să fie x limita. Deci aceasta nu este încă dovada. Aceasta este doar mai multă discuție. Deci, dacă acest x sub n converge către x, atunci să presupunem că ies distanța 1 la x. Apoi, toate x sub n-urile trebuie să aterizeze în această bandă aici. Deci x sub n, n mai mare sau egal cu o M majuscule. Deci știu că toate sunt la distanța de la 1 la x. Deci, în valoare absolută, ar fi mărginite de, să spunem pentru această imagine, ar fi x plus 1. Dar dacă asta ar fi acolo, capital, ar fi valoarea absolută a lui x plus 1. Deci asta are grijă dintre toate x sub n-urile cu n mai mare sau egal cu M. Și apoi sunt doar o mulțime de băieți de a face. Poate că există unul mai mare aici, x sub n minus 1 de care trebuie să ne ocupăm, și așa definim numărul nostru, este prin valoarea absolută a lui x plus 1 plus valoarea absolută a acestor finiți. Și atunci ar fi ceva care este mai mare sau egal cu fiecare element din secvență. Asta e poza care merge cu ea. Cum luăm acea poză ca dovadă? Deci, să presupunem că x n converge către x-- aceasta este presupunerea noastră și că există un număr natural M astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu capitalul m, x sub n minus x se află la distanța 1 sau x sub n este la distanța 1 la x, atunci pentru toate n mai mari sau egale cu capitalul M, dacă ne uităm la valoarea absolută a lui x sub n, adunăm și scădem x și acum folosim inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui x sub n minus x plus valoarea absolută a lui x este egal cu 1 plus x. Deci, pentru toate intrările din secvența dincolo de acest punct capital M, ele sunt mărginite în valoare absolută de 1 plus x. Acesta este doar un număr. Deci, trebuie doar să avem grijă de băieții de la 1 până la M majuscul minus 1. Trebuie doar să găsim un număr mai mare decât acei băieți și acest număr și vom fi găsit un B. Deci, să considerăm că B este x sub 1 plus x sub 2 plus x sub capital M minus 1 plus acesta. Atunci pentru tot n un număr natural, valoarea absolută a lui x al lui n este mai mică sau egală cu B. Deoarece dacă n este mai mic decât capitalul M, atunci valoarea sa absolută este mărginită de una dintre acestea. Valoarea sa absolută este egală cu 1 peste acestea și, prin urmare, mai mică sau egală cu unul dintre acestea plus unele numere nenegative. Și dacă n este mai mare sau egal cu M majuscul, atunci avem această limită pe care o folosim. Și acest număr este cu siguranță mai mic sau egal cu capitalul B, din nou, pentru că este acest număr plus o sumă de numere nenegative. Acum, în general, nu există un criteriu ușor de verificat pentru ca o secvență să converge. Tot ce putem face este să verificăm definiția. Dar există unele secvențe pe care le puteți verifica sau vă dați seama cu ușurință dacă converg doar spunând dacă sunt mărginite. Acestea sunt ceea ce se numesc „secvențe monotone”. Deci, aceasta este, într-un anumit sens, clasa de secvențe care într- adevăr satisface inversul acelei teoreme pe care am afirmat-o acum un minut. Deci secvența x sub n este în creștere monotonă dacă pentru toate numerele naturale mic n, x sub n este mai mic sau egal cu x sub n plus 1. Deci, aceasta înseamnă că x sub 1 este mai mic sau egal cu x sub 2 este mai mic decât sau egal cu x la 3 și așa mai departe. Secvența este monotonă descrescătoare dacă avem cealaltă inegalitate. Deci lucrurile devin mai mici, deci x sub n este mai mare sau egal cu x sub n plus 1. Și dacă avem o succesiune monotonă în creștere sau monotonă în scădere - deci este una sau alta -- spunem că x n este monoton sau monoton. Așadar, este suficient de simplu să veniți cu exemple de secvențe care cresc monotone, descresc monotone sau niciunul dintre ele. Deci 1 peste n-- acesta este doar 1, 1/2, 1/3, 1/4-- este monoton în scădere. Și dacă iau minus secvența, atunci asta inversează practic toate inegalitățile și obțin o creștere monotonă. Deci, acesta este minus 1, minus 1/2, minus 1/3, minus 1/4, monoton în creștere. Și apoi ceva care nu este -- am întâlnit deja asta -- minus 1 la n și așa mai departe. Și așadar, teorema despre secvențele monotone este că există un criteriu mai simplu decât definiția pentru a determina când sunt convergente sau, dacă doriți, ele satisfac inversul acestei teoreme de aici. Deci o secvență monotonă este convergentă dacă și numai dacă este mărginită. Așa că am demonstrat acum un minut că secvențele convergente sunt mărginite, deci pentru secvențele monotone, este valabil și invers. Deci haideți să facem dovada acestui lucru. Voi face demonstrația pentru secvențele monotone crescătoare și, ca exercițiu, vă voi lăsa să faceți demonstrația pentru secvențele monotone descrescătoare. Deci, să presupunem că x sub n este o secvență crescătoare monotonă. Deci există două direcții pentru a demonstra convergența dacă și numai dacă este mărginită. Deci avem o singură direcție, adică convergența implică mărginite. Aceasta este doar teorema anterioară, în care am demonstrat că fiecare secvență convergentă este mărginită, nu doar secvențe monotone. Deci carnea este în dovedirea direcției inverse. Și, de fapt, vom putea alege care este limita acestei secvențe. Deci, să presupunem că x sub n este mărginit. Apoi, dacă mă uit la setul de intrări, deci nu la secvență, ci dacă mă uit la setul de valori pe care îl ia această secvență, deci x sub n este doar un număr natural, acesta este acum un submult al numerelor reale. Aceasta este o mulțime mărginită, adică este mărginită deasupra și dedesubt, deoarece există un capital B, astfel încât x sub n este, în valoare absolută, mai mic sau egal cu capitalul B pentru tot n. Deci, asta înseamnă că x sub n este între B și minus B. Bine, deci care este imaginea din nou care merge cu asta? Deci avem aceste x sub n, x sub 1, x sub 2, x sub 3. Știm că nu pot trece de un anumit B și sunt în creștere constantă, dar nu se pot menține strict - pot" t crește fără limită. Nu numai că, ele sunt mărginite de un număr x, pe care îl voi defini ca fiind supremul acestui set. Și tipii ăștia tocmai primesc, în esență, deci aceasta este o imagine, doar eu încerc să vă explic ce se întâmplă. Dacă x este supa acestui set de intrări, atunci ce știu despre x sub n? Adică, x este că dacă merg puțin la stânga lui x-- așa că lasă-mă să desenez asta din nou. Așa că lasă-mă să revin un minut aici. Deci, deoarece această mulțime este mărginită în R, are un supremum în R. Și ceea ce susțin este că acest supremum este, de fapt, limita acestei secvențe. Acesta este un supremum al unui set. Eu spun că este limita secvenței. Deci, care este gândul aici? Deci x este supremația tuturor intrărilor din x sub n, așa că nimic nu va fi vreodată mai mare decât o toleranță x plus epsilon. Așa că trebuie doar să ne facem griji pentru ce este în stânga lui. Și trebuie să găsim un număr mare M, astfel încât toate x sub n să fie în acest interval aici, pentru că încercăm să arătăm că x sub n converg către x, suprema acestui tip. Așa că haideți să trecem prin asta lângă această imagine. Deci x este supremul. Nimic nu este mai mare decât x, așa că toate sub-nurile x sunt la stânga lui x plus epsilon. Așa că acum trebuie să ne facem griji pentru x minus epsilon. Acum, deoarece x este supremul acestei mulțimi, x minus epsilon nu poate fi o limită superioară pentru mulțimea de intrări ale lui x sub n. Deci asta înseamnă că trebuie să existe un x sub M, astfel încât să fie mai mare decât x minus epsilon. Dar acum, aici folosim faptul că aceasta este o secvență crescătoare monotonă. Pentru că atunci, dacă n este mai mare sau egal cu capitalul M, atunci x sub n este strict la dreapta lui x sub M sau este egal cu x sub M și tot mai mic sau egal cu x deoarece x este supremul tuturor intrările. Deci, pentru n mai mare sau egal cu M majuscul, toți trebuie să se afle în acest interval. Și de aceea secvența converge către supremamul acestui set. Deci folosim, într-un mod crucial, faptul că această secvență este în creștere monotonă. Voi dovedi această afirmație. Fie epsilonul să fie pozitiv. Atunci, deoarece x minus epsilon nu este o limită superioară pentru această mulțime, x sub n, există un număr natural M0, astfel încât x sub n minus epsilon este mai mic decât x sub M0 este mai mic sau egal cu x. Și vom alege M pentru a fi acest M0. Atunci pentru toți n mai mari sau egali cu M, avem x sub n minus epsilon, care este mai mic decât x sub M0. Și pentru că n este mai mare sau egal cu capitalul M și aceasta este o secvență crescătoare monotonă, x sub M0 este mai mic sau egal cu x sub n. Și pentru că x este un suprem al mulțimii tuturor intrărilor din această secvență, acesta este mai mic sau egal cu x, care este mai mic decât x plus epsilon. Sau pentru a rezuma - deci acesta nu ar trebui să fie x sub n, ar trebui să fie x minus epsilon. Sau x minus epsilon este mai mic decât x sub n este mai mic decât x plus epsilon. Și asta e același cu arătarea valorii absolute a x sub n minus x este mai mică decât epsilon. Acum, ceea ce este schimbarea pentru scăderea monotonă este că vom putea identifica limita secvenței ca fiind imf, infimumul acestui set. Dar îți las asta ca exercițiu. Deci, să folosim acest lucru rapid pentru a demonstra limita unei secvențe puțin mai interesante decât 1 peste aceasta, care este destul de interesantă, cred. Dar, de obicei, în matematică, pur și simplu nu demonstrăm teoreme de dragul de a demonstra teoreme. De obicei, există un motiv concret pentru care facem lucruri. Există o secvență concretă pe care încercăm să demonstrăm că converge, sau are o anumită proprietate sau nu are o anumită proprietate. Și astfel, cea de bază este dacă vă place o secvență geometrică. Deci, dacă c este un număr pozitiv între 0 și 1, atunci vom demonstra că această secvență c la n este convergentă și converge la 0. Și vom demonstra dacă c este mai mare decât 1, atunci șirul c la n este nemărginit. În special, nu poate converge. Deci, să mergem în ordine inversă. Să demonstrăm că dacă c este mai mare decât 1, atunci acest lucru este nemărginit. Nu necesită 1, dar este mai scurt decât 1 și putem merge mai departe și o facem. Și vom folosi acest fapt pe care l-am demonstrat, cred, în prima sau a doua prelegere folosind inducția. Deci, ce înseamnă să arăți că ceva este nelimitat? Din nou, putem să ne folosim abilitățile de negație. Înseamnă că -- ce vrem să arătăm -- pentru toate B mai mari sau egale cu 0, există un n, un număr natural, astfel încât c la n este mai mare decât B. Acum, cum vom face găsi acest n? Asta pare un lucru complicat. Așa că să-l înlocuim cu ceva mai simplu. Din nou, aceasta este o analiză, ceea ce înseamnă că putem să ne folosim inteligența și să încercăm să înlocuim lucrurile complicate cu lucruri mai simple și să lucrăm cu lucruri mai simple. Așa că lasă-mă să fac un pic de... din nou, acest lucru este la o parte, cum s- ar gândi la asta. Dacă vă uitați la c la n, amintiți-vă că avem această inegalitate de acum infinit, că atâta timp cât x este mai mare sau egal cu minus 1, atunci obținem 1 plus x la n este mai mare decât 1 plus n ori x pentru toate numerele naturale n. Deci asta înseamnă c la n, care este egal cu 1 plus c minus 1 la n-- deci acesta este x-ul meu-- este mai mare sau egal cu 1 plus n ori c minus 1, care este mai mare sau egal cu n ori c minus 1. Vezi? Deci, dacă vreau să fac asta mare, este suficient să fac asta mare. Deci asta voi face. Deci, să fie n un număr natural astfel încât n este mai mare decât B peste c minus 1. Atunci am făcut acest lucru pe partea pe care o vom pune acum în demonstrație. Și c la n este egal cu 1 plus 1 minus c la n este mai mare sau egal cu 1 plus n ori c minus 1, care este mai mare sau egal cu n ori c minus 1, care este mai mare decât B peste c minus 1 ori c minus 1 este egal cu B. Deci acum să demonstrăm prima afirmație, că dacă c este între 0 și 1, atunci limita ca n merge la infinitul lui c până la n este egal cu 0. Deci, mai întâi, vreau să demonstrez următoarea afirmație -- că avem, de fapt, o succesiune descrescătoare, care este mărginită mai jos de 0. Deci, pentru tot n, 0 este mai mic decât c la n este mai mic decât, aș spune, c la n plus 1 este mai mic. decât c la n. Deci, dovada acestei afirmații este un argument de inducție foarte simplu, așa că vom face acest lucru prin inducție. Deci avem cazul de bază n egal cu 1. Deci presupunem că c este între 0 și 1. Și dacă înmulțesc prin c, trag concluzia că 0 este mai mic decât c pătratul este mai mic decât c. Și acesta este cazul n egal cu 1. Iar pasul inductiv este în esență aceeași dovadă. Să presupunem că 0 este mai mic decât c la m plus 1 este mai mic decât c la m. Apoi, înmulțind cu c, obținem că 0 este mai mic decât c la m plus 2 este mai mic decât c la m plus 1, care este n egal cu m plus 1. Aici, folosim acest fapt aici - că c este pozitiv, astfel încât să nu inverseze inegalitățile, astfel încât să le pot înmulți și să păstreze inegalitățile. Deci, aceasta arată că această secvență este monotonă descrescătoare și este mărginită mai jos de 0 și, de fapt, mărginită, deoarece c la n și valoarea absolută, toate acestea sunt pozitive, este egală cu c la n. Și c la n este mai mic decât c la n minus 1, care este mai mic decât c la n minus 2, așa mai departe și așa mai departe, care este mai mic decât c. Deci este mărginit. Presupun că aș fi putut să includ asta în această inegalitate și să dovedesc și asta , dar este în regulă. Deci are o limită. Deci, după teorema anterioară, are o limită și o voi numi L. Și acum ceea ce vreau să arăt este că L este 0. Și cum vom face asta este unul dintre aceste trucuri de analiză, unde-- nu chiar trucuri-- dar în loc să arătăm cu L este direct egal cu 0, vom arăta că valoarea absolută a lui L este mai mică decât epsilon pentru fiecare epsilon pozitiv și, prin urmare, trebuie să fie 0 pentru că este doar un număr fix. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Din nou, vom arăta că valoarea absolută a lui L, care este doar un număr fix, este mai mică decât epsilon. Și prin urmare, capitalul L trebuie să fie 0. Atunci există, deoarece această secvență converge, un M, un număr natural, astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu capitalul M, c la n minus L este mai mic de 1 minus c ori epsilon peste 2. Acum, poate vă întrebați de ce nu am folosit epsilon aici? Ei bine, în cele din urmă, se va dovedi că aceasta este mai mică de epsilon în valoare absolută. Altfel, aș fi ieșit cu mai puțin de epsilon ori un număr și am scăpat de acel număr alegând un alt număr aici. Deci acum calculăm că, dacă mă uit la 1 minus c ori valoarea absolută a lui L, aceasta este egală cu L minus c ori L. Și aceasta este mai mică sau egală cu L minus c față de M maiuscul plus -- să punem un plus 1, plus c la M plus 1 minus c la L. Și prin inegalitatea triunghiului, aceasta este mai mică sau egală cu L minus c la M plus 1 plus - acum c la M plus 1 minus c la L, astfel încât să pot scoate un c care este pozitiv, astfel încât să pot obține L. Acum, M plus 1 este mai mare decât M. Deci, satisface această inegalitate, la fel și aceasta. Și, prin urmare, aceasta este mai mică decât epsilon de peste 2 ori 1 minus c plus c ori epsilon peste 2 ori 1 minus c. Și C este mai mic de 1, așa că toată chestia asta este mai mică de epsilon peste 2 ori 1 minus c plus un alt epsilon peste 2. Deci primesc epsilon peste 2 ori 1 minus c. Și astfel, valoarea absolută a lui L este mai mică decât epsilon. Și din moment ce epsilon a fost arbitrar, asta implică că valoarea absolută a lui L este egală cu 0, adică L este egal cu 0. Deci, aceasta este o aplicație foarte concretă a unora dintre aceste teoreme pe care le-am demonstrat, ceea ce este într-adevăr... Singurul motiv real pentru care se dovedește teoreme este că de obicei aveți un exemplu concret de ceva în minte pe care doriți să îl studiați. Dar pentru a- l studia, este nevoie adesea de niște mașini generale, adică de teoreme. Așa că acum vom vorbi puțin despre secvențe obținute din alte secvențe. Deci acestea se numesc subsecvențe sau secvențe obținute dintr-o singură secvență. Deci, ce vreau să spun cu asta? Permiteți-mi să vă dau o definiție precisă. Deci am început cu o secvență și o secvență crescătoare de numere întregi, n sub k. Așa că permiteți-mi să spun ce înseamnă asta, mai degrabă decât să scriu cuvântul și apoi să spun ce înseamnă. Deci aceasta este succesiunea numerelor naturale, care cresc strict. n sub 1 este mai mic decât n sub 2 este mai mic decât n sub 3 și așa mai departe. Noua secvență, x sub n sub k-- deci acum indicele nu este n, dar indicele este k-- se numește o subsecvență a secvenței originale x sub n. Deci, cum ar trebui să vedeți subsecvențele unei secvențe? Ar trebui să vă gândiți că aliniez toate intrările lui x, din secvența mea originală x sub n, și apoi încep doar să aleg intrările din secvență. Dar de fiecare dată când fac o alegere, trebuie să merg la dreapta și să fac o altă alegere. Asta tocmai spuneam acolo, exprimă această condiție că această succesiune de numere naturale este în creștere. Așa că aleg o intrare în secvență. Acesta va fi primul meu tip, primul element al noii mele secvențe. Și apoi mă deplasez la dreapta, și poate îl aleg pe următorul, poate îl aleg pe unul trei în jos. Il aleg pe acela. Și apoi mă deplasez în dreapta aceleia și aleg unul nou. Și apoi mă deplasez în dreapta aceleia și aleg altul. Deci, dacă doriți să generați o subsecvență dintr-o secvență originală, cum credeți despre asta? Din nou, aliniați-le pe toate, începeți să alegeți intrări, dar de fiecare dată când alegeți o înregistrare, trebuie să vă deplasați la dreapta pentru a vă alege următoarea înregistrare. Așa că permiteți-mi să vă dau câteva exemple și non-exemple. Deci, de exemplu, dacă secvența noastră originală este 1, 2, 3, 4, 5, 6 și așa mai departe, care ar fi exemple ale unor subsecvențe? Numerele impare 1, 3, 5, 7, 9 și așa mai departe. Vedeți cum iau secvența originală, deci aceasta este x sub n. Doar aleg intrări din secvența originală, dar de fiecare dată când aleg o intrare, mă deplasez la dreapta și aleg una nouă. Așa că am ales 1, acum pot să aleg orice în dreapta. Aleg 3, acum pot alege orice în dreapta. Deci, în limbajul acestei definiții, succesiunea crescătoare de numere întregi este doar numerele întregi impare, deci 2k minus 1. Deci aici, x sub n este egal cu doar n. Aș putea alege o altă subsecvență ar fi șirul de numere pare - 2, 4, 6, 8, 10. Aceasta este o subsecvență a acestei secvențe originale. Aici, succesiunea crescătoare de numere întregi este 2k. Aș putea alege subsecvența ar putea fi șirul numerelor prime-- 2, 3, 5, 7, 11, 13. Și creșterea-- deci nu am o formulă generală pentru asta. Noroc în găsirea unuia, dar îl vom scrie doar ca al k-lea număr prim. Acum, ce nu ar fi un exemplu? Deci acestea sunt exemple de subsecvențe. Nu sunt exemple de subsecvențe , de exemplu, secvența 1, 1, 1, 1, 1. Aceasta nu este o subsecvență a acestei secvențe originale. Amintiți-vă, am o secvență de numere naturale care crește. Și x sub n sub k înseamnă că această nouă secvență este obținută din cea veche prin alegerea intrărilor - prin alegerea unei intrări, deplasarea la dreapta, alegerea următoarei intrări, deplasarea la dreapta și alegerea următoarei intrări. Aici, pentru a obține această secvență din aceasta, rămân doar pe prima intrare și o aleg în continuare. Dar nu așa este definită o subsecvență. Deci, aici, dacă doriți, aceasta ar însemna că n sub k este egal cu 1. Și aceasta nu este o secvență strict crescătoare de numere naturale. Sau 1, 1 3, 3, 5, 5 și așa mai departe... nici asta nu este. Deci acestea nu sunt subsecvențe ale secvenței originale prezentate aici. Deci sper că este clar. Acum, vreau să subliniez acest lucru: nu spun că numărul pe care îl alegeți de fiecare dată trebuie să fie diferit de numărul pe care l-ați ales înainte, adică valoarea. Nu ai putea avea 1, 1, 1, 1 ca o consecință a acestui tip, deoarece 1 este doar în prima intrare. Nu puteți continua să alegeți o singură intrare. Trebuie să alegeți o intrare și să treceți la următoarea intrare sau la cea de după aceea și să alegeți acea intrare pentru a obține secvența dvs. Dar asta nu înseamnă neapărat că acele numere reale din acele intrări trebuie să fie diferite. Deci, de exemplu, dacă mă uit la secvența minus 1, 1, 1, minus 1, 1, un sens x sub n este egal cu minus 1 la n-a, atunci o subsecvență perfect bună este dată de minus 1, minus 1 , minus 1, minus 1, unde se pare că doar aleg una dintre intrări, dar chiar nu sunt. Aici, secvența crescătoare-- deci ce fac aici pentru a obține această nouă secvență, am ales prima intrare, apoi am ales a treia, apoi am ales a cincea, apoi am ales a șaptea. Deci n sub k este egal cu 2k minus 1. Deci, toate numerele reale care apar în secvență sunt aceleași, dar de fapt aleg intrări diferite din secvența originală, unde apar. Deci, de asemenea, este bine. La fel este 1, 1, 1, 1, 1. Acesta este n k este egal de 2 ori k. Deci toate acestea sunt subsecvențe bune. Deci acestea au fost subsecvențe ale secvenței originale. Acestea sunt subsecvențele acestei secvențe. Deci dintr-o secvență dată, putem obține secvențe noi din această secvență originală în acest fel. Deci, o întrebare firească este să ne întrebăm cum se comportă trecerea de la o secvență la o subsecvență în raport cu limitele? Dacă secvența inițială converge către o limită, o subsecvență sau fiecare subsecvență converge și la acea limită? Și acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză. Deoarece toate elementele secvenței se apropie, toate intrările secvenței se apropie de un anumit număr. Și o secvență este doar, dacă doriți, să alegeți anumite pe parcurs. Deci, cu siguranță, dacă sunt într-o subsecvență, atunci atâta timp cât sunt suficient de departe în subsecvență, voi fi și eu aproape de această limită. Așa că, dacă nu ați înțeles atâta divagație, voi continua și voi prezenta teorema și o voi dovedi. x n este o secvență care converge către x. Și x sub n sub k este o subsecvență a lui x sub n. Apoi și subsecvența converge către x. Limită pe măsură ce k merge la infinit de x sub n sub k este egal cu x. Deci, permiteți-mi să încep prin a face o observație simplă bazată pe faptul că această secvență crescătoare - că n sub k sunt o secvență crescătoare de numere naturale. Deoarece n sub 1 este mai mare sau egal cu 1 este mai mic decât n sub 2 este mai mic decât n sub 3 și așa mai departe, aceasta implică că pentru tot k, un număr natural, n sub k este mai mare sau egal cu k. Deci nu este atât de greu de crezut pentru că n sub 1 trebuie să fie cel puțin mai mare decât 1. Și n sub 2 trebuie să fie cel puțin mai mare decât n sub 1, deci este fie n sub 1 plus 1, fie mai mare. Și, prin urmare, printr-un simplu argument de inducție, pe care vi-l las, puteți demonstra că pentru tot k, un număr natural, n sub k este mai mare sau egal cu k, induceți pe k. Deci vrem să demonstrăm că această secvență converge către x. Și vom face asta folosind singurele mijloace pe care le avem. Deci aceasta este doar o subsecvență arbitrară a lui x sub n. Tot ce avem este definiția de utilizat. Așa că acum vom demonstra acest lucru. Deci trebuie să arătăm pentru toate epsilonul pozitiv, bla, bla, bla, așa că primul lucru pe care trebuie să-l facem este să lăsăm epsilonul să fie pozitiv. Acum vom folosi faptul că x sub n converge către x. Deci x sub n converge spre x. Există un număr natural M0 astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M0, x sub n minus x valoarea absolută este mai mică decât epsilon. Acest M sub 0 îl vom alege pentru următoarea noastră. Alegeți M pentru a egala M sub 0, așa că acum trebuie să arătăm că acest M capital funcționează pentru subsecvența noastră, adică dacă k este mai mare sau egal cu M capital, atunci x sub n sub k minus x este o valoare absolută mai mică decât epsilon. . Dar acest lucru decurge doar din acest fapt. Și dacă k este mai mare sau egal cu M, aceasta implică, prin această inegalitate, n sub k este mai mare sau egal cu M, ceea ce amintiți-vă, este egal cu M sub 0. Deci n sub k este un număr întreg, deci un număr natural mai mare sau egal cu M sub 0. Astfel că prin această inegalitate se presupune că x sub n sub k minus x în valoare absolută este mai mic decât epsilon.