[SCRÂȘIT] [FOSȘIT] [CLIC] ROBERT M. TOWNSEND: Să ne gândim unde suntem în clasă. Ar trebui să ai calendarul în fața ta. Așa că suntem la cursul 7 astăzi. Acesta este un moment important pentru că îmbrățișăm pe deplin echilibrul general, deși ați mai văzut versiuni ale acestuia. Celălalt lucru ar fi lista de lectură. Pentru astăzi, nu există o mulțime de materiale noi pe citire, nici o mulțime de materiale marcate cu stea. Vom face optimitatea Pareto. Și citirea cu stea atribuită este unele dintre secțiunile din Kreps, care sunt disponibile pe site-ul web Canvas, deci nu prea multe lucruri suplimentare de citit. Vom face partajarea riscurilor la sfârșitul acestuia și apoi vom analiza mai mult aplicațiile din cursurile 8 și 9. În ceea ce privește ghidul de studiu, așa că, din nou, permiteți-mi să vă pun câteva întrebări. Am făcut optimizarea dinamică data trecută. Și prima întrebare este cu adevărat motivația, dar nu totul -- motivația și problemele economice pe care încercăm să le rezolvăm sunt la fel de importante pentru clasă ca și instrumentele și tehnicile pe care le învățăm. Așadar, permiteți-mi să vă întreb, care sunt observațiile privind depozitarea la transferul recoltei de anul trecut la recolta din acest an care au motivat acea prelegere pe care am ținut-o data trecută? Wang Peng, poți să răspunzi la asta? PUBLIC: [INAUDIBIL] Îmi pare rău. ROBERT M. TOWNSEND: Guanpeng, poți să te înjunghii la această întrebare? Care sunt observațiile privind transferul de depozitare a recoltei de anul trecut la recolta de anul acesta care au motivat prelegerea de data trecută? PUBLIC: Cred că observația a fost că nu a fost neapărat atât de comună pentru... deci cred că, ca și cum culturile care au fost reportate, în general, există două moduri de a le folosi pe ambele. Unul este reportat pentru a fi plantat pentru anul viitor și reportat pentru consum. ROBERT M. TOWNSEND: Este adevărat. Acestea au fost cele două moduri de a cita „pastrați recolta”. L-au transportat foarte des pentru consum? PUBLIC: Nu cred, mai ales pentru că rata de alterare a fost relativ mare. ROBERT M. TOWNSEND: Bine, da. Deci a fost destul de rar. Transferul a fost destul de rar. Și scopul modelului și al parametrilor săi a fost de a explica de ce ar fi așa. PUBLIC: Corect. ROBERT M. TOWNSEND: Titlul prelegerii a fost semințe de depozitare și înfometare. Deci îți amintești cât de des mureau de foame? PUBLIC: A fost o dată la fiecare deceniu sau 12 ani. ROBERT M. TOWNSEND: Da, așa este. Mulțumesc. Bine, bine. Bine, deci asta a fost motivația pentru acea prelegere. Și apoi această întrebare, deși eu nu, nu o vei putea scrie pentru mine, dar poate o poți spune în cuvinte. Care a fost notația pe care am folosit-o pentru revenirea la sămânță? Și în special, în ce fel a fost liniar sau cel puțin până la o limită? Și în ce fel depindea de incertitudine? Și lasă-mă să văd, Armando, poți să te înjunghii în asta? Ești acolo, Armando? Armando? PUBLIC: Da. Ne pare rău, microfonul meu a fost dezactivat. Da, deci au fost... Cred că au fost trei multiplicatori, corect. Era că fiecare avea o șansă aleatorie să se întâmple. Și a fost ca o recoltă slabă, recoltă medie și recoltă bună. Și a fost doar liniar. Recolta, cantitatea recoltată este liniară cu cât au plantat fie cu un multiplicator de 1, 2 sau 4, cred, a fost? ROBERT M. TOWNSEND: Așa este. Da, a fost epsilon ori alfa ori k, unde k era cantitatea de pământ plantată, alfa era constanta liniară și epsilonul captează acele șocuri pe care tocmai le-ați menționat scăzute, medii și mari. Deci, acesta este un răspuns perfect. Mulțumesc. Deci se amestecă -- motivul pentru care întreb este doar să vă reamintesc că, oh, pentru că este liniar, revenirea lui constantă la scară. Și totuși a încorporat și incertitudinea. Așa că vom reveni la această tehnologie când ne uităm la aplicațiile de partajare a riscurilor în câteva prelegeri. În regulă, și acesta următor, scrieți o ecuație de debit pentru consum în funcție de notația de mai sus, dar nu mă aștept să o scrieți. Deci, ar putea cineva să descrie în cuvinte care este constrângerea problemei în termenii acestei ecuații de flux? Voi lua un voluntar. PUBLIC: Îmi amintesc că consumul este egal cu producția de intrare din ultimul an plus producția din inventar și un minus cât vrei să lași pentru anul viitor ca sămânță și cât lași pentru anul viitor ca inventar. Asta a fost consumul. ROBERT M. TOWNSEND: Este perfect. PUBLIC: Și consumul ar trebui să fie mai mare decât 0, nu? ROBERT M. TOWNSEND: Da. PUBLIC: Pentru fiecare perioadă? ROBERT M. TOWNSEND: Asta e o altă constrângere, da. Această ecuație a fluxului pe care tocmai ai descris-o atât de bine. Este exact ceea ce căutam. Așa că, pentru a detalia, am vorbit despre resursele disponibile astăzi și acestea sunt lucrurile care provin din recolta curentă plus depozitarea amortizată. Și, de asemenea, cât ar fi disponibil mâine? Ei bine, asta este co-determinat cu consumul. Pentru că aveți resurse disponibile, dar îl puteți folosi pentru consum sau îl puteți salva. Și au existat două moduri diferite de a economisi. Deci răspunsul tău a fost foarte bun și eu doar repet în cuvinte puțin diferite. BINE. Cred că ultimul este principalul programării dinamice. Acesta este un pic mai tehnic. Dar, din nou, nu vreau să vă ascund nimic, mai ales când, ulterior, sărim înainte și înapoi între problemele cu orizontul finit și orizontul infinit. Își amintește cineva cum ne-am transformat în două probleme menstruale? PUBLIC: Așa că am ales ultima dată și am rezolvat problema de maximizare folosind acea ultimă dată, apoi am repetat până la următoarea ultimă dată până când am revenit la prima întâlnire. ROBERT M. TOWNSEND: Excelent. E perfect. Și apoi partea următoare, partea cu orizont infinit, este că continuăm așa. Continuăm să repetăm, astfel încât data finală a terminalului este atât de îndepărtată încât efectiv acționează așa cum ar proceda într- o problemă cu orizont infinit. Bine, deci probabil că este suficient timp petrecut cu acele întrebări de revizuire. Permiteți-mi apoi să mă întorc la prelegerea de astăzi, prelegerea 7. Bine, deci o scurtă descriere a ceea ce vom face -- vom defini acest concept de diferite concepte, optimitatea Pareto, apoi frontiera Pareto. Apoi am să vă arăt o problemă de programare, o problemă de matematică, ca să spunem așa, care ne permite să determinăm, ca soluție, toate alocările optime Pareto posibile. Și apoi vom merge și o vom aplica în caz de incertitudine și vom numi soluția alocarea optimă a riscului. Deci, deși acest diapozitiv spune setul de posibilități de utilitate și aceasta va fi linia de jos a diapozitivului, acesta este, de asemenea, un diapozitiv extrem de important pentru întregul curs, deoarece este prima dată, cred, că am introdus, în notație, toate ingredientele pe care le-am acoperit până acum și, în notație, descriind o economie. M-am întors și m- am uitat la prelegerea 1. Se spune că o economie este preferințe, dotări și tehnologie. Am numit-o o economie PET ca o modalitate de a ne aminti. Dar aici este în notație. Deci o economie, script epsilon sau economie, este setul de consum și preferințele fiecăruia dintre un număr finit de agenți, setul de producție al fiecăreia dintre numărul finit de firme și o anumită dotare socială agregată. Deci, este o listă foarte succintă, preferințe, dotări și tehnologie. Atunci o alocare pentru întreaga economie este acum o alocare x pentru fiecare dintre consumatorii de capital I, o alocare în setul de producție pentru fiecare dintre producătorii de capital J. Dacă ne aflăm în spațiul euclidian cu dimensiuni finite și există L bunuri de capital, atunci avem L ori I plus J vectori dimensionali aici infirmați de această notație relativ scurtă . Cu alte cuvinte, va trebui să specificăm un vector de consum Xi în setul de consum pentru fiecare consumator i, un plan de producție Yj în setul de producție. Este capitalul Yj pentru fiecare firmă j a capitalului J. Și spunem că o alocare este fezabilă dacă și numai dacă consumurile sunt fezabile având în vedere resursele disponibile, care ar proveni din dotare și din producție. Așa că câteva comentarii -- uneori oamenii vor scrie consumul mai mic sau egal ca și cum ai putea arunca ceva. Asta e bine. Este mai util astăzi să vorbim despre asta ca pe o egalitate. Al doilea lucru este că aceasta a îngropat în spatele ei -- și este ușor de scris -- toată afacerea la care am lucrat cu privire la elementele negative și pozitive. Deci, de exemplu, unele dintre aceste Yj sunt negative. Mă refer la ea ca producție de parcă ar fi totul pozitiv, cum ar fi cereale sau așa ceva. Dar dacă o intrare este negativă aici, atunci trebuie să existe un element de compensare. Și anume, consumatorii îl furnizează sau ar putea fi mai evident din dotarea lor. Deci aici este îngropat cotația contabilă a tuturor lucrurilor pozitive și negative . Dar este mai ușor de reținut în acest fel, pentru că se pare că ai doar resurse disponibile din dotări și producție întâlnite cu resursele folosite în consum. OK, acum având aceeași economie, putem defini setul tuturor utilităților posibile, setul de posibilități de utilitate, care este acest script U și care este o specificație de utilitate pentru fiecare gospodărie. Deci aceasta are dimensiunea capital I, care este numărul de gospodării. Și este un vector al acelei dimensiuni. Și vom spune că o bară U vectorială este în acest set. Și dacă două lucruri sunt adevărate, în primul rând, trebuie să existe o alocare fezabilă care să o genereze sau să genereze ceva cu cel puțin la fel de multă utilitate. Deci, un vector de aici, să zicem, a i-a componentă a acestui vector, trebuie să poată fi generat de o parte dintr-o alocare fezabilă, care specifică Xi pentru gospodăria i, care, atunci când este înlocuită în funcția de utilitate, generează o nivel de utilitate cel puțin la fel de mare ca ținta, și anume U bar sub i. Din nou, ar fi puțin mai intuitiv să punem aici egalitate. Dar ceea ce ne permite să spunem este că, dacă puteți genera un punct de utilitate printr-o alocare fezabilă, atunci toate punctele de utilitate care se află la sud-vest de acesta sunt, de asemenea, fezabile. Deci parcă ai putea arunca lucrurile. Deci, în cuvinte, acest set de posibilități de utilitate este o configurație a tuturor profilurilor de utilitate pentru gospodăriile din economie, care poate fi atins prin alocare fezabilă, o alocare fezabilă cu mai mare sau egală -- o greșeală mică -- astfel încât să puteți genera v. În alte cuvinte cuvinte, dacă puteți genera U și v este mai mic decât U, puteți avea v și în setul de posibilități de producție. Pentru că orice a generat U sau ceva care generează utilitate mai mare sau egală cu U va genera utilitate mai mare sau egală cu v, bine? Deci, având în vedere un set de posibilități de utilitate, scriptul U, definim frontiera Pareto, P a lui U, ca graniță. Deci este doar un set de subseturi de vectori de utilitate astfel încât să nu existe nimic la nord-est. Dacă U se află în setul de posibilități de utilitate, nu există un prim U acolo, ceea ce ar genera cel puțin la fel de multă utilitate pentru toate gospodăriile i și o utilitate strict mai mare pentru unele gospodării j. Deci, dacă partea dreaptă ar fi adevărată, atunci ai putea cita „Pareto domină” vectorul U. Și asta l-ar elimina din ceea ce vrem să numim frontiera Pareto. Deci iată un exemplu și apoi o imagine. Să ne simplificăm economia și să scăpăm de producție, deși vom avea în continuare dotări. Deci aceasta este o economie pură de schimb. Sunt doar două bunuri. Și sunt doi consumatori. L și I sunt egali cu 2. Și vom spune, pentru simplitatea notării, primul bun este notat X. Al doilea bun este notat cu Z. Deci prima gospodărie are funcția de utilitate peste X și Z, care este doar aditiv liniar în 2. Și a doua gospodărie este foarte asemănătoare, cu excepția că este înmulțită cu 2, dar este încă liniară, aditivă și așa mai departe. Acum, fiecare are o dotare egală din ambele bunuri. Iar dotarea gospodăriei unu este egală cu dotarea gospodăriei doi. Deci 1/2, 1/2 peste tot înseamnă că există 1 unitate de bun 1 în total, deși inițial este împărțită în mod egal între cele două gospodării și 1 unitate de bun 2 disponibilă, de asemenea, împărțită în mod egal. Deci, o alocare fezabilă asupra acestor două bunuri X și Z trebuie să se însumeze corect. Deci, dacă luăm primul bun și adunăm ce primește gospodăria 1, ce primește gospodăria 2, trebuie să fie egal cu dotarea, care este 1, la fel și pentru al doilea bun, Z. Ce primește primul și al doilea tip. intră în alocare-- nu este utilitate-- trebuie să adună până la 1, suma dotărilor, OK. Deci se poate arăta - și vă voi arăta imaginea - că setul de posibilități de utilitate constă din toate punctele U2, care sunt mai mici de 4 minus 2U1. Iar frontiera este doar partea exterioară a acesteia. Fără să facem toată algebra chiar acum, vă puteți imagina, de exemplu, ce s-ar întâmpla dacă am da întreaga dotare socială agentului 2. Agentul 2 ar obține apoi 1 aici, 1 aici. Și obțineți 2 plus 2 egal cu 4. Și vedeți acest 4 aici, care este utilitatea maximă pe care ar putea-o obține agentul 2. Iar faptul că este în minus înseamnă să te îndepărtezi de acolo. Oferim agentului 1 o parte din dotarea socială și luăm de la gospodăria 2. Și deoarece nivelul de utilitate al lui 2 este de două ori mai mare decât al gospodăriei 1, atunci fiecare unitate de utilitate la care 2 renunță contează de două ori pentru gospodăria 1. OK. Deci, din nou, asta e doar pentru a fi motivațional, fără a trece de fapt prin toată algebra. Iată cum arată frontiera de utilitate a posibilităților . Este liniar, din nou, cu 4 aici ca punct maxim. Aceasta este o pantă de minus 2. Este negativă deoarece renunțați la dotarea socială de la 2 la 1 pe măsură ce vă deplasați de-a lungul acestei linii. Ceea ce nu este desenat aici foarte atent sunt granițele consumului și așa mai departe, care dacă X1 și X2, Z1, Z2 nu pot deveni negative, atunci nu ar trebui să tragem în acest lucru care se extinde dincolo de primul orton. Optimitatea Pareto, aceasta este cea mare, dar deja este aproape evidentă. O alocare x și y pentru consum și producție este Pareto optimă dacă este fezabilă și nu există altă alocare fezabilă x prim, y prim, astfel încât primul este cel puțin la fel de bun din punctul de vedere al fiecărui agent i și există cel puțin o gospodărie i primă agent căruia îi place cu adevărat prime mai mult. Și numim aceste alocări mulțimea Pareto, mulțimea alocărilor optime Pareto. Ei bine, la un nivel, este oarecum intuitiv ca acestea să fie numite optime pentru că nu poți face pe nimeni mai bine fără să faci pe cineva mai rău. Dacă ai putea să-i îmbunătățești pe toți, atunci nu ar fi Pareto optim pentru început. Puțin mai grăitor, această definiție nu dă nimic despre distribuția venitului. Deci nu există nicio declarație normativă aici despre egalitate și distribuția venitului sau ceva de genul ăsta. Deci e puțin șocant. Am putea da toată alocarea gospodăriei 2 și niciuna gospodăriei 1, iar aceasta ar fi totuși optimă Pareto. Ne putem uita la distribuția veniturilor și, cu siguranță, o vom face adesea în prelegerile ulterioare și în unele dintre imaginile care urmează să urmeze. Asta înseamnă că, dacă vrei să vorbim despre distribuția venitului și să pui niște criterii normative pentru asta, vei avea nevoie de mai mult decât această definiție a optimității Pareto. OK, deci să facem o economie cu două persoane. Acest lucru înseamnă literalmente a pune piesele împreună. Am făcut pentru gospodării, funcții de utilitate și comenzi de preferințe. Și acest lucru îl pune pe consumatorul 1 cu două bunuri, schimbând numele în a și b acum, drăguț, lin, rate marginale de substituție descrescătoare regulate. A, și dotarea gospodăriei 1 este aici, marca e, ceea ce înseamnă o anumită cantitate de bun b și o anumită cantitate de bun a. Deci sunt două gospodării, dar îl vom face pe tipul ăsta să stea pe cap. Deci punctul 0 pentru gospodăria b este aici. Și mai mult din bunul b se mișcă în jos. Mai mult, un bun se mișcă spre stânga. Deci, acestea sunt seturi de preferințe curbe de indiferență obișnuite, frumoase, netede, concave, cvasi-concave, cu mai mult preferat spre mai puțin. Și iată dotarea agentului 2, boom, boom-- o anumită cantitate de bine 2, o anumită cantitate de fi, o anumită cantitate de bine a. Ai cu mine până acum? Cred că asta a venit de la Kreps, dar, știi, cutia Edgeworth este o mare parte a economiei. Acum, voi lua acest punct e și voi începe să mișc toată această cifră pentru consumatorul 2 până în punctul în care aceste două e-uri corespund și sunt situate identic una peste alta. Deci este ca și cum aș muta această margine a ceea ce urmează să devină cutia în această direcție. Și aici, deși ar fi trebuit să fie pus în mod ideal pe această imagine, aceasta ar fi cutia Edgeworth. Așa că acum, avem gospodăria 1 aici, consumatorul 2 aici și curbele de indiferență ale ambelor. Dotarea, să zicem, aici, denotă bunul a atribuit inițial ca dotare consumatorului 1, dar cealaltă direcție aici este bunul b fiind atribuit gospodăriei 2. Deci lucrurile se adună. Totalul se adună, cu excepția faptului că vă mutați -- sumele indică direcții diferite pentru cei doi consumatori, deoarece consumatorul 2 este invers. Deci, există întrebări despre construcția cutiei? Bine, deci fără a pune dotarea acolo, ar fi curbe de indiferență roșii pentru agentul casnic 1, curbe de indiferență albăstrui pentru consumatorul 2. Eu le numesc consumatori, gospodării și agenți. Nu sunt consecvent. Toți sunt numiți consumatori în această diagramă. Și puteți vedea aceste curbe de indiferență se încrucișează. Și vreau să susțin, revenind la definiție, că aceasta nu poate fi optimă Pareto. De ce? Pentru că există o mulțime de alte alocări fezabile care fac cel puțin o gospodărie mai bună, iar cealaltă nu mai rău. Și, de fapt, există multe alocări care îi fac pe amândoi mai bine. Toată această regiune de aici se află deasupra curbei de indiferență roșie pentru consumatorul casnic 1 și deasupra curbei de indiferență albastră pentru consumatorul 2. Aici, este o imagine diferită în care cele două curbe de indiferență de bază sunt tangente. Și, în contrast, acesta este Pareto optim pentru că te provoc să găsești o alocare care să-l îmbunătățească pe una, fără a o înrăutăți pe cealaltă. Dacă aveți de gând să faceți un consumator mai bun, trebuie să urmăriți aceste curbe roșii de indiferență. Așadar, ne-am afla pe sau deasupra curbei roșii de indiferență, în funcție de faptul că nu le facem să fie mai rău sau strict mai bine. Și oricare dintre aceste puncte, în afară de punctul de plecare, face de fapt consumatorul 2 mai rău. Așa că acum, putem vorbi... asta se numește încă Edgeworth Box, deși începe să arate mai mult ca un dreptunghi. Asta pentru că există mai mult de bun 1 decât de bun 2. Este mai lat decât înalt. Și ceea ce se urmărește aici, așa cum este din diapozitivul anterior, că există multe alte alocări care sunt, de asemenea, Pareto optime, unde acele curbe de indiferență sunt tangente. Deci, acest drum de cărămidă galben portocaliu punctat, ca să spunem așa, linie punctată, este un set al tuturor alocărilor optime Pareto în întreaga economie. Pe de o parte, sunt mult mai puține, mult mai puține, alocări decât orice altă alocare fezabilă. Orice alocare din această casetă este fezabilă deoarece alocările de resurse se adună la dotarea totală. Deci [INAUDIBLE] mai rău. Și din nou, puteți vedea aceste distribuții extreme, unde, dacă am putea merge atât de departe, până la 0,0, consumatorul 1 de aici este într-o situație groaznică. Iar consumatorul 2 a primit totul. Și asta este fezabil, așa cum este în acest moment - fezabil, de asemenea optim. PUBLIC: Am o întrebare. ROBERT M. TOWNSEND: Da. PUBLIC: Acest [INAUDIBIL] are unele proprietăți speciale? ROBERT M. TOWNSEND: Da, este locul în care, în acest sens, cu toate aceste curbe netede indiferente, ratele marginale de substituție despre care am aflat sunt egale în cele două gospodării. PUBLIC: OK. ROBERT M. TOWNSEND: Știi, motivul pentru care acest lucru nu este optim este pentru că ratele marginale de substituție nu sunt egale. Deci, cantitatea pe care consumatorul 2 o cere pentru a menține indiferența, renunțând la bunul a și obținând bunul b, este mai mare decât ceea ce o cere consumatorul 1 pentru a menține indiferența în ceea ce privește renunțarea la bunul a și obținerea bunului b. Deci, există o mulțime de citate, „câștiguri de tranzacționat”. Ambele pot fi îmbunătățite, bine? Bine, acum, vreau să spun, un lucru pe care l-am fi putut face este să punem aici punctul de dotare și apoi să ne uităm la setul de... ei bine, poate imaginați-vă că acesta este punctul de dotare. Apoi ne-am putea uita la setul de alocări, care sunt optime Pareto. Și drumul acela din cărămidă galbenă ar merge așa. Și astfel, aceste alocări în regiunea în formă de lentilă sunt un subset al alocărilor optime Pareto, care fac ca unul sau ambii agenți să fie strict mai bine decât la dotare. Deci, aceasta este o noțiune mai rafinată de optimitate numită nucleu, pe care nu am creat un diapozitiv pentru a vă arăta. Dar asta cam începe să iei în considerare faptul că nu poți face pe cineva mai rău decât dotarea lui, în timp ce optimitatea Pareto, așa cum tot spun, nu face asta. Este mult mai general. OK, optimitatea Pareto și setul de posibilități de utilitate , să definim, dacă nu este deja evident. O alocare a consumului și producției este Pareto optimă - de fapt, este o teoremă. Am definit deja optimitatea Pareto. Și am definit deja setul Pareto. Deci, acest lucru le pune împreună într- un mod destul de evident, și anume o alocare x, y este Pareto optimă dacă și numai dacă utilitățile care sunt generate sub x se află la frontiera mulțimii Pareto, pe care am notat-o ​​P scriptul U. Deci, puteți mergi in ambele sensuri aici. Este dacă și numai dacă direcția de la Pareto optimă până la a fi la frontieră este lăsată ca exercițiu. Este aproape la fel de banal ca și cel pe care îl vom face, dar vom face unul din multele moduri. Deci să mergem în direcția opusă. Adică începem cu o alocare pe frontiera Pareto, apoi vrem să arătăm că este un optim Pareto. Deci, acesta este aproape doar un test de amintire a definițiilor. Să presupunem că nu a fost Pareto optim, atunci vom face o demonstrație prin contradicție. Deci, dacă nu este optim Pareto, atunci trebuie să existe, prin definiție, o altă alocare fezabilă, denotată cu un tilde, astfel încât utilitatea să fie cel puțin la fel de mare sub alocarea tildei precum a fost sub cea originală și strict mai mare ca utilitate pentru unii. gospodărie j. Dar atunci acești vectori de alocări Pareto îl domină pe cel original și, prin urmare, cel original nu ar fi putut fi la frontiera Pareto. Acesta este un mod de a ne aminti că, dacă se află la frontiera Pareto, nu există nimic la nord-est de ea. Tocmai am construit ceva la nord-est de el. Asta e contradicția. Deci această direcție este acum dovedită. Și separat după oră, poți să înjunghii în cealaltă direcție. OK, deci morala poveștii aici este că putem merge înainte și înapoi între frontiera Pareto și alocările optime Pareto. Și chiar și eu trebuie să am grijă să nu le amestec pentru că știu că principiul sunt la fel. Și iată dovada că sunt. Următorul pas, am definit o funcție de bunăstare pentru întreaga economie și o facem liniară. Deci această bunăstare mare vine din vectorul de utilitate între agenții individuali. Și această funcție de bunăstare este liniară atunci când este doar o medie ponderată a componentelor de utilități subiacente cu ponderi lambda i. Greutățile bune în principiu sunt 0, cineva nu contează deloc. În caz contrar, ponderile sunt pozitive. Și când spun că luăm o medie ponderată, fiecare dintre ponderi ar putea la fel de bine să însumeze până la 1. Pentru că, dacă nu ar face-o, am putea aduna tot ceea ce fac în total și am împărți prin aceeași funcție obiectiv. Și dacă aveți de gând să maximizați o funcție de bunăstare, maximizați multiplu scalar al acesteia. Deci ideea acestei funcții de bunăstare este un mod care nu-mi place, dar apoi vă voi spune ce îmi place. Este o modalitate de agregare a utilităților între indivizii din societate, ca și cum ar exista un planificator social care determină cine contează mai mult decât alții. Și în special în cadrul funcției de bunăstare liniară, greutățile lambda sunt greutățile asupra indivizilor. Acum, ceea ce îmi place la asta este această problemă de matematică, așa cum ar fi, care, dacă ar exista un planificator social, am maximiza suma ponderată a utilităților supuse alocărilor care se află în posibilitățile de utilitate setate. Deci se pare că am ignorat fezabilitatea și totul, dar nu. Fezabilitatea unei alocări este încărcată în definiția script-ului setului de posibilități de utilitate U și suntem constrânși să alegem vectori de utilitate care sunt în acel set. Și le vom alege în așa fel încât să maximizăm această sumă ponderată lambda de utilități. Și putem numi asta problema planificatorului. Deci marele rezultat va fi -- permiteți-mi să o spun în cuvinte -- că, cu anumite ipoteze relativ slabe, orice alocare Pareto optimă pe care o alegem va fi o soluție la problema de planificare pentru unele ponderi lambda. Și orice soluție la problema de planificare pentru greutăți date lambda va fi Pareto optimă. Deci, problema conceptualizării aici, înainte de a ne pierde în notație, este că acum putem merge înainte și înapoi între noțiunile de optimitate Pareto și ideea de maximizare a funcției de bunăstare socială, deși ponderile pot varia. Deci, să ne uităm la matematică. Să presupunem că adăugăm o soluție la problema șapte a planificatorului. Și doar pentru a fi mai ușor, să presupunem că greutățile lambda sunt toate strict pozitive. Atunci prima afirmație este că soluția la șapte trebuie să fie în mulțimea Pareto. Și dacă este la frontiera Pareto, scuze, atunci trebuie să fie Pareto optim. Mergând în sens invers, dacă setul de posibilități de utilitate este convex și închis, atunci alegând orice utilitate de pe frontiera Pareto și, prin urmare, Pareto optim, putem găsi anumite ponderi lambda care fac din acel vector de utilitate o soluție la problema planificatorului. Bine, deci hai să facem puțin cele două părți. Pentru prima parte, să presupunem că ni se dă o stea U care rezolvă problema de planificare la ponderi pozitive, dar pretindem prin contradicție că nu se află la frontiera Pareto. Ei bine, dacă este la frontiera Pareto, putem domina. Există un vector prim U, care nu este mai rău pentru tot i și strict mai bun pentru j. Dar, deoarece ponderile lambda sunt strict pozitive, acum am găsit un nou vector, vectorul prim, astfel încât media ponderată a utilităților prime este strict mai mare decât media ponderată a punctului de plecare. Prin urmare, într-o notație mai criptică , produsul punctual lambda U este strict mai mare decât stea lambda U, dar am început cu afirmația că avem o soluție pentru șapte. Și tocmai am găsit o soluție fezabilă pentru șapte, care oferă un număr mai mare de bunăstare. Deci asta e o contradicție. Ai cu mine până acum? BINE. Deci, să presupunem că mulțimea de posibilități de utilitate este convexă și închisă și luăm o stea U soluție , care se află la frontiera Pareto și, prin urmare, optimă Pareto. Luați o stea vectorială U, care este Pareto optimă. Trebuie să fie la graniță. Și pentru că se află la granița setului de posibilități de utilitate, la rândul său este convex, putem aplica ceva numit -- și vă voi arăta acest lucru pentru un moment -- teorema de susținere a hiperplanului, care ne va oferi, să garanteze existența , un vector lambda astfel încât la acea stea lambda, punctul lambda U, este strict mai mare decât lambda U pentru orice alt U din setul de posibilități de utilitate. Cu alte cuvinte, stea lambda la lambda, stea lambda specială, stea lambda U, este cea mai înaltă posibilă, nu poate fi dominată, în unele sensuri, de cea mai mare utilitate ponderată lambda posibilă pe care o puteți rula peste toate celelalte utilități posibile fezabile din set de posibilități de utilitate. Asta înseamnă că stea U este o soluție la problema de planificare prin definiție. Deci, asta completează dovada de a merge în ambele sensuri, dar într-un fel ridică problema ce naiba este această teoremă de susținere a hiperplanului. Asa ca hai sa- ti arat cateva poze. Și acesta este, pe parcurs, un instrument extrem de util. Este doar prima dată când avem nevoie de el. OK, deci iată setul de posibilități de utilitate. Iată steaua U pe care am ales-o. Este la frontiera Pareto, deci este Pareto optim. Și acea teoremă este adevărată, așa că ar trebui să pot găsi o greutate lambda astfel încât, atunci când maximizez suma ponderată lambda a utilităților, aș fi la maxim la stea U, ceea ce vizual puteți vedea că este adevărat. Există și alte puncte care sunt Pareto optime, dar nu ar fi maxime sub lambda, care sunt implicit panta acestei linii roșii. Acestea sunt curbe de nivel. Le- am putea numi curbe izo-bunăstare. Acestea sunt curbele de nivel ale planificatorului social la anumite greutăți lambda lambda. Și este un fel de tradiție să desemnăm panta printr-o linie, care este în unghi drept față de linia în cauză. Deci, această lambda care urcă în acest fel este doar o modalitate de a spune că atât panta frontierei Pareto, cât și curba izo-bunăstare sunt aceleași și egale cu lambda 1 peste lambda 2. Bine, deci aceasta este o imagine a motivului pentru care este adevărat. că, atunci când alegeți un punct de pe frontiera Pareto, puteți găsi lambda, ceea ce îl face o soluție la problema de programare. Ce este acest hiperplan? Deci vom face totul în R2. Iată o linie în R2. Și în dimensiuni superioare, acesta se numește un limbaj hiperplan, fantezist. Probabil l-ai putea desena ca un avion în R3. Devine mai greu să desenezi, dacă nu ești mai bun decât mine, în R4 și așa mai departe. Dar vom rămâne la R2. Deci iată o linie. Se numește hiperplan. Și, evident, putem vorbi despre jumătate de spațiu deasupra liniei și jumătate de spațiu de sub linie. Deci deasupra liniei înseamnă că, dacă specificăm intersecția c și panta p, atunci seturile de deasupra dreptei, jumătatea spațiului de deasupra, sunt o mulțime de toate valorile z care nu dă o valoare mai mică decât c la pantele p și invers pentru jumătate de spațiu inferioară. Iată o altă linie care desparte aceste două seturi. Am putea numi una dintre aceste mulțimi A și cealaltă mulțime B. Rețineți că ambele sunt mulțimi convexe. Alege un set. Alegeți-o pe cea roz, alegeți oricare două puncte, apoi media ponderată a acelor puncte este, la rândul său, în set. Aceasta este o linie de separare în sensul că jumătatea spațiului de deasupra acestei linii conține setul convex roz este conținut în aceea. Este în jumătatea spațiului de mai sus. Și setul convex albastru face parte din jumătatea spațiului de mai jos. Și asta spun toate chestiile astea de aici. Iar punctul culminant al acestui lucru se numește hiperplanul de susținere. Deci, din nou, mergem de la hiperplanuri la teorema hiperplanului de separare, având de-a face cu mulțimi convexe, până la teorema hiperplanului de susținere. Deci, alegeți această mulțime B. Și să cerem ca aceasta să fie o mulțime convexă. Alegeți acest punct x în mulțime și pe graniță. Apoi afirmația este că putem găsi un hiperplan, în special un hiperplan de susținere, care doar atinge mulțimea B la x și este tangentă la limita de la x. Esti cu mine? Deci pantele acestui hiperplan sunt determinate de p. Și nu mai avem nevoie de un c constant. Se spune că acesta este un hiperplan de susținere în sensul că, dacă ați ales orice alt x în interior, altul decât cel de la graniță, orice alt y în acest caz în ceea ce privește notația, va avea un randament care este mai mic. decât-- p punctul y va fi mai mic decât p punctul x. Deci asta este ceea ce am folosit acum un moment, această teoremă a hiperplanului de separare. Pentru că am cam afirmat că am putea desena această imagine și mi se pare cu adevărat firesc că ar trebui să reușim. Folosește convexitatea setului de posibilități de utilitate și alege un punct, cum ar fi x la trei diapozitive distanță, și apoi desenează acest hiperplan care este tangent. Iar teorema de separare a hiperplanului spune că putem face întotdeauna asta în baza acestor ipoteze slabe precum convexitatea. Asta înseamnă, de asemenea, că putem alege altul, nu? Dacă alegem un alt punct de la frontieră, putem găsi un hiperplan de separare. Dar în mod clar, cel puțin în această diagramă, va avea o altă pantă. Deci îl putem susține. Va trebui doar să schimbăm lambda. Și asta se întâmplă aici. Acesta a fost punctul inițial. Am fi putut alege un alt punct. Dacă am face asta, ar trebui să găsim noi pante pentru hiperplanul de susținere, astfel încât să pivoteze și să-i permită să fie tangentă în acest nou punct predeterminat. Deci, din nou, pentru a nu ne pierde, așa mergem înainte și înapoi între alocările optime Pareto, care sunt la frontiera Pareto, și găsirea unei lambda astfel încât la acele lambda să maximizăm o funcție liniară de bunăstare. Și orice punct Pareto optim care se află la graniță trebuie să aibă această proprietate. Și, de asemenea, prima parte, care a fost orice este maxim în funcție de bunăstare, trebuie să fie, de asemenea, optimă Pareto. Și dovada acolo că am făcut-o a fost prin contradicție. În regulă, deci în notație, putem parametriza alocările optime Pareto alegând ponderi Pareto. Și acest fel de lambda și delta înseamnă acolo în simplex, care, din nou, fără pierdere de generalitate, lambda sunt nenegative și se adună până la 1. Am folosit simplex mai devreme pentru loterie. Iată a doua oară când îl folosim. OK, deci dacă dorim să maximizăm o anumită sumă ponderată lambda de utilități, lambda i ponderare Ui, putem face asta și găsim maximul și numim soluția X stea și Y stea. Dar aici, le vom aloca după lambda, deoarece a fost o soluție pentru anumite lambda. Aceasta este doar o repetare a seturilor de consum și producție și a fezabilității. Deci, orice soluție care maximizează o alocare lambda, acesta este un optim Pareto special. Și, de asemenea, având în vedere orice alocare Pareto optimă, putem găsi o lambda care o face o soluție. Deci, aceasta este doar reafirmarea în cuvinte a ceea ce am stabilit deja. Deci sarcina de a găsi alocările optime Pareto în caseta Edgeworth este pur și simplu rezolvarea acestei probleme de matematică. Deci haideți să o aplicăm. Să presupunem că avem acest spațiu de date cu incertitudine și acest tip de arbore Debreu despre setul de rezultate posibile la data 1, data 2 și data 3. Și vom indexa consumul în funcție de istoria tuturor șocurilor care au dus la aceasta. data anume. Și aceasta era utilitatea așteptată. Și acesta este un slide de revizuire. Am trecut peste asta ultima dată sau cel puțin mai devreme, nu ultima dată, ci timpul de dinainte. Deci, să determinăm o alocare optimă a riscului în această economie care are stări determinate la întâmplare. Așa că vom dori să... permiteți-mi să o spun în cuvinte. Vom maximiza o sumă ponderată lambda de utilitate, supusă constrângerilor de resurse. Rețineți că nu vom face acest lucru în spațiul utilităților. O vom face în spațiul alocărilor de bază, dar este același lucru. În loc să trecem de la alocări la utilități și de la utilități la maximizarea unei sume ponderate lambda, vom căuta direct peste alocările de bază. Este format mic. S- ar putea să strâmbați din ochi pentru a încerca să vedeți asta. Aici a fost o repetare din slide-ul anterior, funcția de utilitate, cu puțin mai multă notație. Deci, aceasta este utilitatea așteptată, așa cum am studiat în a doua prelegere despre preferințe și utilitate. Acest lucru a fost socotit în funcție de beta, așa cum am făcut-o în problema de stocare, și ponderarea rezultatelor în funcție de probabilități. Însumarea aici este peste toate datele și toate stările, ca în acest arbore. Și apoi luăm acele rezultate de utilitate așteptate și premultim cu greutățile lambda, așa cum am fost acum instruiți să facem. Și pentru că nu suntem în spațiul de utilități și suntem în spațiul alocărilor subiacente, trebuie să ne asigurăm că consumurile se adună la total. Acum, iată, din nou, o mică schimbare de notație. Acești Y sunt acum... aceste părți din dreapta folosesc Y-ul pentru dotare, nu pentru producție. Dar nu este atât de înșelător. Deci avem un set de dotări dat exogen în funcție de date și de stare. Și atunci consumul trebuie să se adauge la asta sau cu siguranță nu ar putea fi mai mare decât atât pentru că nu ar fi fezabil. Deci numim aceasta problema Pareto sau problema planificatorului pentru, aici, anumite greutăți lambda. Cum arată soluția? În primul rând, permiteți-mi să vă spun intuitiv ce se întâmplă, apoi putem generaliza. Am dorit să maximizăm suma ponderată lambda a utilităților așteptate. Tot ce am făcut aici este să scot în fața acestor expresii lucrul care este comun tuturor agenților i, și anume beta și probabilitățile. Altfel, este aceeași expresie. Dar maximizarea uneia este echivalentă cu maximizarea celeilalte, deoarece aceasta este doar o constantă scalară. De asemenea, știm că consumurile se vor aduna la dotarea socială totală, care este suma veniturilor individuale, pe care cred că am uitat să menționez în partea de jos a acestui slide. Acesta este agregatul. Dotarea socială este doar suma dotărilor individuale. Deci există o mulțime de date și o mulțime de state, dar pentru fiecare dată și stat există o dotare socială anume. Deci putem simplifica acest lucru, astfel încât să arate ca o problemă statică. Putem maximiza fiecare componentă pe rând și doar respectăm restrângerea resurselor. În funcția obiectiv, o componentă pe rând este doar suma ponderată lambda a utilităților. Și aceasta ar fi constrângerea de resurse pe care consumurile trebuie să o însumeze în mod corespunzător. În mod uimitor, am reușit să facem abstracție de la date și stări și să stabilim o regulă optimă de partajare a riscurilor, atâta timp cât ținem evidența dotării sociale agregate. Întrebări? În regulă, deci un alt instrument pe care îl putem folosi și pe care îl cunoașteți deja este Lagrangianul. Deci vom maximiza această sumă ponderată lambda a utilităților așteptate și vom introduce seturile de constrângeri cu multiplicatori Lagrange unde y este mai mare decât și va ajunge să fie egal cu suma consumurilor. Deci, aceste theta sunt citatul „Multiplicatori Lagrange”. Și vă puteți gândi la ele ca la prețuri umbră, cum ar fi utilitatea marginală a venitului. Dar există o mulțime de ele, deoarece avem un theta pentru fiecare dată posibilă și toate istoriile posibile ale statelor care au dus până la acea dată. Deci există un număr mare. Oricum, max away, obținem, pentru o anumită dată și un anumit set de stări, st. Avem derivata funcției de utilitate în raport cu argumentul său precedată de beta și lambda. Așa că obținem acest lucru, de la theta la t pentru că este la beta t în partea stângă. Și în partea dreaptă, obținem... unde altundeva intră? Aici. Deci luăm multiplicatorul Lagrange. Și atunci aceasta este doar o repetare a constrângerilor. Ați putea scrie mai formal, cu theta ori suma fiind 0 și așa mai departe, dar problema constă în presupunerea implicită că se preferă mai mult decât mai puțin, resursele sunt limitate. Deci nu vei arunca nimic. Aceste condiții de ordinul întâi arată ca lambda ori utilitatea marginală a consumului pentru gospodăria 1 este egală cu lambda i ori utilitatea marginală a consumului pentru toate celelalte gospodării i. Și acest lucru este valabil în general, pentru fiecare i. Și aceasta caracterizează soluția pentru toate datele și stările posibile în care dotarea socială agregată este un parametru. Deci câte gospodării sunt? Capital I. Deci avem I minus 1 ecuații aici. Mai luăm o ecuație aici. Putem rezolva acest lucru și notăm că consumul gospodăriei I este o funcție g a dotării sociale agregate. Aceasta este o alocare Pareto optimă. Este cu siguranță un subset al setului tuturor alocărilor fezabile și are de-a face cu aceste utilități marginale ponderate care sunt echivalate la anumite ponderi lambda. Deoarece funcțiile de utilitate sunt concave, strict concave, dacă ar fi strict concave, atunci acest g va fi pozitiv cu o derivată pozitivă. Deci, există un argument de monotonitate aici că, dacă dotarea socială agregată crește, atunci consumurile tuturor agenților cresc. Cât de repede cresc pe măsură ce dotarea socială crește este o funcție a g. Și g are un i pe el. Aceasta i reflectă potențiala eterogenitate în funcțiile de utilitate subiacente. Nu am cerut ca toată lumea să aibă aceleași niveluri de utilitate sau chiar aceleași funcții de utilitate. Și vă voi arăta câteva soluții pentru moment. Așa că în cele din urmă vom ajunge la o cerere, risc și asigurare în satul India și apoi una cu producție. Vom redeveni această ecuație și o vom folosi. Dar restricțiile privind datele provin din ecuații precum 17. Amintiți-vă, știința economică este despre a face predicții. Deci avem o economie întreagă. Fezabilitatea este o modalitate de a restrânge predicția. Optimitatea este o altă restricție a predicției. Este o funcție de criteriu, o metrică pe care o vom folosi. Acum suntem în poziția de a face predicții despre cum ar trebui să arate alocările cel puțin în acest cadru de partajare a riscurilor. Și trebuie să îndeplinească ecuația șapte. Deci, există o mulțime de lucruri care sunt incompatibile cu ecuația șapte. Și asta creează un test. Putem merge la o aplicație reală și putem începe testarea. Așa că permiteți-mi să vă dau doar două exemple. Dacă am început cu o aversiune absolută constantă la risc -- și acest concept a fost introdus atunci când am vorbit despre alegere în condiții de incertitudine în funcție de preferințele consumatorilor. Este un fel de exponențial negativ, ceea ce face ca utilitatea marjei să fie pozitivă. Acest gamma j, care este un termen de ponderare, este aproape de aversiunea absolută la risc. De fapt, 1 peste gamma j este aversiunea la risc. Cu cât gama j este mai mare aici, cu atât este mai mic acest lucru. Deci gamma j în sine este inversul aversiunii la risc. Este ca toleranța la risc. Și te voi scuti de algebra. Dar dacă ați maximiza o sumă ponderată lambda de utilități supuse dotării sociale agregate fiind e, veți obține această soluție. Deci, acest lucru înseamnă că consumul gospodăriei 1 este o funcție liniară a dotării. Aceasta este interceptarea și aceasta este panta. Interceptarea are legătură cu acele greutăți lambda. Deci, foarte natural, în acest caz, cu cât este mai mare lambda 1, cu atât este mai mare logul acestui raport. Și cu atât va fi mai mare nivelul de consum al gospodăriei 1. Și singurul lucru rămas este modul în care se vor schimba acele consumuri pe măsură ce vom modifica dotarea socială agregată determinată în timp sau aleatoriu sau orice altceva. Și se spune că consumul gospodăriei 1 va crește cu e într-un ritm mai rapid. Și pentru gospodăria 2, cu atât gamma 1 este mai mare față de gamma 2. Gamma 1, așa cum am spus, este ca toleranța la risc. Este inversul aversiunii la risc. Așa că acum, introducem o anumită aleatorie în PIB-ul economiei. Și problema este, cine va suporta acest risc? Cine va suferi în recesiune? Cine va suporta bonusul de a fi într-un boom? Avem aversiune la risc. Așadar, tipul care este cel mai defavorabil riscului cu 1 peste gamma ar fi cel în care acesta este aproape de 0, ceea ce înseamnă că preocupările sale cu privire la consum sunt destul de stabile față de dotarea socială agregată. Iar celălalt tip suportă toate riscurile, dar aceasta este o alocare optimă Pareto. Cea mai riscantă persoană ar trebui să suporte greul fluctuațiilor agregate. Iată un alt exemplu. Aceasta este o aversiune relativă constantă la risc, o versiune a căreia ați văzut-o înainte. Vom ridica consumul la puterea d. Acesta este de fapt consum peste și subzistență, ca aici. Deci setul de consum are o limită inferioară pozitivă. Și aceasta este distanța de la acel consum de subzistență ridicat la puterea d. Și când rezolvi aceste ecuații, ele sunt liniare. Și din nou, obțineți o interceptare și o pantă. Cu toate acestea, este puțin diferit de înainte, deoarece interceptarea conține nu numai greutățile lambda, ci conține lucrul a, care este legat de b, legat de puterea în funcția de utilitate. Se pare că lambda mai mare va duce la un consum mai mic, dar trebuie să vă amintiți că lambda este un număr între 0 și 1. Îl ducem la o putere astfel încât să îl puteți face mai mic în loc de mai mare, etc. Deci, când o faci corect și te gândești la asta, înseamnă că lambda 1 mai mare este asociată cu niveluri mai mari de consum, dar este ponderată, efectiv, de aversiunea la risc și de nivelul de subzistență al consumului. Și acum, dacă variam dotarea socială agregată, alocațiile se vor schimba, dar nu vor crește cu 1 la 1 așa cum au făcut înainte. Acest lucru va fi determinat atât de greutățile lambda, cât și de aversiunea la risc. Ambele imagini, aversiunea constantă la risc absolută și aversiunea relativă constantă la risc, arată astfel cu pante diferite și interceptări diferite. Și atunci acesta este... nu sunt și probabil ar fi trebuit să scriu funcțiile de utilitate de bază. Dar te poți gândi la asta ca o persoană având o aversiune relativă constantă la risc , cealaltă având o aversiune constantă la risc absolută. Și apoi obțineți programe neliniare, dar ambele sunt în creștere monotone conform prevederilor. Dar acum, pantele variază și nivelurile sunt clar diferite în funcție de dotarea socială agregată e. Dar încă putem pune restricții asupra datelor. Deci sunt trei poze. Și vom reveni la aceste imagini când vom face una dintre aplicații, care este împărțirea terenurilor în Anglia medievală. Ne-am referit la cele mai multe ori. De fapt, suntem acum împuterniciți cu instrumentele pentru a putea analiza acea aplicație. În regulă, există întrebări? BINE. Deci, din nou, joia viitoare nu vom avea o altă prelegere nouă. Vom avea o sesiune de revizuire a primelor șapte dintre ele, inclusiv aceasta. Așa că revizuiește materialul, profită de ocazie. Simțiți-vă liber să- mi puneți întrebări și voi încerca să vă ofer un rezumat a ceea ce am făcut până acum în clasă. OK multumesc foarte mult.