[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [DĂ CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Deci, să începem. Ultima dată, la sfârșitul ultimei prelegeri, am introdus măsura exterioară. Așa că am discutat mai întâi despre ceea ce doream să măsurăm, proprietățile tipului unei noțiuni de măsurare a submulților de a satisface. Am vrut ca, în primul rând, să fie definit pentru toate subseturile. Am vrut apoi ca măsura unui interval să fie lungimea intervalului. De asemenea, am vrut ca măsura unei uniuni de submulțimi disjunse să fie suma măsurilor și am spus că vrem să fie invariantă de translație, adică dacă iau o mulțime și o schimb cu o sumă fixă, atunci măsura deplasării. setul este aceeași cu măsura setului original. Dar, așa cum am spus data trecută, este imposibil. Nu poţi. Nu există așa ceva definit pe fiecare submulțime de numere reale. Deci, ceea ce vom face este să definim-- sau ceea ce facem acum este definirea măsurii exterioare, care va satisface aproape toate proprietățile pe care le-am dorit și este definită pentru fiecare subset de R. Și apoi vom restrângeți această măsură exterioară la o anumită clasă de submulțimi de R care se comportă bine în ceea ce privește măsura. Și apoi vom obține o funcție, acum definită pe o colecție de submulțimi ale lui R, ceea ce vom numi mulțimi măsurabile. Și această funcție de mulțime, pe care o numim măsură, măsură Lebesgue, va satisface cele trei proprietăți, principalele trei proprietăți pe care le-am dorit - că măsura unui interval este lungimea intervalului, măsura unei uniuni disjunctive numărabile de mulțimi este suma măsurilor, iar translația este invariabilă. Acum, la sfârșitul timpului trecut, așa că am definit măsura exterioară și am demonstrat, de asemenea, această teoremă că, dacă avem o colecție numărabilă de submulțimi ale lui R, atunci măsura uniunii este mai mică sau egală cu suma măsurilor. Acum, ceea ce ne-am dori până la urmă, așa cum am spus, este să putem avea egalitate ori de câte ori submulțimile sunt disjunse. Acum, acest lucru nu este valabil pentru măsura exterioară, dar după cum vom vedea, odată ce restricționăm măsura exterioară la o anumită clasă de submulțimi, vom obține proprietatea pe care o dorim. Acum măsura exterioară aproape satisface una dintre acele proprietăți pe care vrem să le avem ale unei măsuri. Ceea ce vom verifica acum este că măsura exterioară satisface una dintre proprietățile pe care le-am dorit pentru o măsură, și anume că măsura unui interval ar trebui să fie lungimea acestuia. Deci, acesta este următorul: dacă I ​​este un interval, atunci măsura, măsura exterioară a lui I, este egală cu lungimea lui I. Așa că aici, lungimea lui I -- rețineți, dacă este un interval de forma a, b, cu punctele finale incluse sau nu, lungimea intervalului este b minus a. Dacă este un interval infinit, atunci lungimea este infinită. Deci partea cea mai implicată, sau cel puțin cheia de a demonstra acest lucru, este realizarea celui mai simplu tip de interval, care este un interval închis și mărginit, a, b. Deci, să facem mai întâi cazul. Să presupunem că I este egal cu a, b. Și, de asemenea, ceva ce nu am scris aici este că avem, imediat din definiția măsurării exterioare - așa că permiteți-mi doar să fac o pauză foarte repede - că dacă A este un submult al lui B, atunci măsura exterioară a lui A este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui B, pur și simplu pentru că dacă iau orice colecție deschisă de intervale deschise care acoperă B, atunci aceasta va fi o colecție de intervale deschise care acoperă A. Și deoarece infime de seturi mai mari - să vedem care direcția este că-- deoarece infime de seturi mai mari trebuie să scadă, asta îmi dă inegalitatea pe care mi-o doresc. Deci, revenind la demonstrarea acestei teoreme, să presupunem că eu sunt egal cu a, b. Ceea ce vom arăta este că măsura exterioară este mai mică sau egală cu lungimea lui I, iar apoi invers - că lungimea lui I este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui I. Deci, cea mai simplă arată că măsura exterioară a lui I este mai mică sau egală cu lungimea lui I. Deci, I este conținut în intervalul deschis, un singur interval deschis, I minus epsilon, b plus epsilon pentru toate epsilonul pozitiv. Și prin urmare, deoarece măsura exterioară a lui I este infimul sumei lungimilor intervalelor care acoperă I, aceasta implică că măsura exterioară a lui I este mai mică sau egală cu lungimea acestui interval, care este egală cu b minus un plus. 2 epsiloni pentru toți epsiloni pozitivi. Și, prin urmare, dacă am că acesta este mai mic sau egal cu b minus un plus la epsilon pentru toate epsilonul pozitiv, pot trimite apoi epsilon la 0 pentru a concluziona că măsura exterioară a intervalului este mai mică sau egală cu b minus a, lungimea intervalului. Deci asta e partea simplă. Deci, acum, vom arăta că b minus a este mai mic sau egal cu măsura exterioară a intervalului. De asemenea, ceea ce arată acest lucru este că măsura exterioară a acestui interval este finită. Este un număr finit. Deci, pentru a arăta acest lucru, ceea ce trebuie să arătăm este că, dacă iau orice colecție de intervale deschise care acoperă I, atunci suma lungimilor acelor intervale este mărginită mai jos de b minus a. Și dacă nu scriu n egal cu 1 la infinit, ar trebui să se înțeleagă că n merge întotdeauna de la 1 la infinit. Fie I n o colecție de intervale deschise astfel încât acest interval I, a, b, este conținut în unire. Acum dorim să arătăm că b minus a este mai mic sau egal cu suma măsurilor I n-urilor. Acum, intervalul închis și mărginit , a, b-- aceasta este o mulțime compactă. Deci te uiți înapoi la 100B, care este acoperit de o colecție de intervale deschise - cu alte cuvinte, seturi deschise. Definiția compactității-- deci, deoarece acest interval închis și mărginit este compact, acest lucru se datorează unei teoreme speciale a lui Heine și Borel-- putem găsi o acoperire finită a acestui interval de un număr finit dintre aceste intervale. Deci pot alege finit multe dintre aceste intervale pentru a acoperi a, b. Există o colecție finită, pe care acum o voi desemna, să spunem, J k, k este egal cu 1 la n, deci conținută în această colecție de intervale deschise - deci acestea sunt doar un număr finit de intervale deschise din această colecție - astfel încât o , b este conținut în k egal cu 1 până la n J k. Deci acum, am aceste intervale deschise. Și acum ceea ce voi argumenta este că pot face asta... este că iată planul. Iată un. Există b. Ceea ce o să vă argumentez acum este că rearanjarea modului în care indexez aceste intervale deschise, că pot acoperi a, b în felul următor - deci acesta este primul. Așa că o să argumentez că putem acoperi acest interval astfel, astfel încât să pot alege primul interval care să acopere o parte din a, b și apoi poate să acopere tot, caz în care mi-aș opri construcția. Dacă nu acoperă tot a, b, atunci îl pot acoperi cu J2. Deci acum, am a2, b2. Și dacă asta nu acoperă tot a, b, va trebui totuși să aleg câteva intervale pentru a-l acoperi. Și, în cele din urmă, voi ajunge la -- cel puțin în această imagine, deoarece nu pot desena n intervale -- voi putea acoperi a, b în așa fel încât acestea să fie oarecum legate între ele, astfel încât acestea intervalele sunt legate. Și apoi acoper tot a, b. Acum, de ce este grozav? Ei bine, atunci, pentru că suma lungimilor acestor intervale va fi mai mare sau egală cu... suma lungimilor acestor intervale va fi ce? b3 minus a1, care este mai mare sau egal cu b minus a. Și asta mi-ar oferi limita inferioară pe care mi-o doresc. Așa că acum, permiteți-mi să argumentez că putem face asta - că această imagine este corectă. Deoarece a este în acest - este în a, b, deci trebuie să fie în această uniune finită de intervale deschise - există k1 astfel încât a este în J din k1. Deci, unul dintre aceste intervale, trebuie să fie în el. Și prin rearanjarea intervalelor, pot presupune că k1 este egal cu 1, adică a este în J1, care este a1, b1. Acum, este posibil ca tot acest interval să acopere a, b, caz în care aș opri construcția. Altfel, continui. Dacă b1 este mai mic sau egal cu b, atunci b1 este cu siguranță în acest interval, ceea ce înseamnă că există un J k sub 2 -- permiteți-mi să-l scriu astfel -- există k sub 2 astfel încât b1 este în j sub k sub 2. Și din nou, prin rearanjare, putem presupune că k sub 2 este egal cu 2. Deci, rearanjand intervalele rămase, pot presupune că k2 este 2. Deci, dacă în acest caz, așa cum am desenat în imagine, b1 nu este mai mare decât b, atunci pot găsi un alt interval J2 care conține b1. Deci b1 este în J2, care este a2, b2. Și voi continua asta până când punctul final al unuia dintre aceste intervale trece b. Prima dată când unul dintre aceste intervale trece b, opresc acest proces. Și trebuie să se oprească pentru că toate aceste intervale acoperă b, așa că trebuie să apară la un moment dat. Și există doar un număr limitat de intervale. Și voi scrie dacă b2 este mai mic sau egal cu b, dar voi pune punct, punct, punct acolo. Deci, ce am făcut cu acest argument? Astfel, concluzionăm că... poate că este o notație puțin proastă pentru că am n acolo. Deci, să facem din asta un N majuscule. Îmi pare rău pentru asta. Faceți din acesta un N majuscul, deoarece acel n mic pare să indexeze și sub n-urile I. Deci, astfel, concluzionăm că există un k cu 1 mai mic sau egal cu k mai mic sau egal cu n, astfel încât să fie valabile trei lucruri. Pentru toate k egal cu 1 la k minus 1, avem că b k este mai mic sau egal cu b și a k plus 1 este mai mic decât b k este mai mic decât b k plus 1. Așa că gândiți-vă la aceasta ca la o condiție în care nu am acoperit încă întreg intervalul a, b. Pentru k este egal cu 1, acesta a fost practic argumentul pe care tocmai l-am dat aici. Și doi, că acest lucru trebuie să se oprească la un moment dat, astfel încât b să fie mai mic decât b majuscul K. Deci, ceea ce am desenat aici - deci imaginea este pentru K este K egal cu 3. Deci avem acest K și am desenat poza de acolo pentru b3. Acum voi arăta că suma legăturilor intervalelor - și aceasta este doar o colecție finită din colecția mai mare de intervale - este acum mărginită de b minus a, ceea ce este oarecum clar din imaginea că Am desenat. Dar tot trebuie să scriem lucruri. Aceasta nu este topologie. Apoi, suma lungimii lui I sub n-- aceasta este cu siguranță mai mică sau egală cu suma peste această subcolecție finită de intervale, lungimi de J k. Și aceasta este mai mică sau egală cu suma k, K-- acum aici, acest K majuscul vine de acolo-- lungimea lui J k. Și acum ce este asta? Aceasta este egală cu b K minus a K plus b K minus 1 minus a K minus 1 plus și apoi până la b1 minus a1. Dar iată trucul -- amintește-ți, fiecare dintre b K minus 1, ele se află înaintea unui K. Deci indicele de aici este deplasat puțin. Dar aceasta spune că b anterior este în fața următorului a. Deci pot aduna termeni și pot scrie acest lucru ca b K plus b K minus 1 minus a K plus b K minus 2 minus a K minus 1. Așa că tocmai am împrumutat un b care vine după acest termen, așa mai departe, și așa mai departe, până când obțin b1 minus a2. Și apoi am rămas blocat cu un a1. Și prin a doua condiție de aici, totul în paranteze este nenegativ. Deci, acesta este mai mare sau egal cu b K minus a1. Și ce știm? Știm că b K este mai mare decât b și știm că a1 este mai mic decât a deoarece a este în a1, b1. Deci această lungime este mai mare decât b minus a. Și din moment ce am arătat că suma lungimilor intervalelor care acoperă I este mai mare sau egală cu b minus a indiferent de colecția de intervale, atunci infimumul trebuie să fie mai mare sau egal cu b minus a. Și concluzionăm că măsura exterioară a acestui interval a, b este mai mare sau egală cu b minus a. Și, prin urmare, am ambele părți ale inegalității pe care o vreau și, prin urmare, am egalitate. Acum, acesta a fost pentru un interval închis și mărginit. Dar acest lucru ne oferă în esență rezultatul pentru orice interval. Deci, dacă folosesc orice interval finit de forma a, b, a, b, fără a include a, deschis și apoi pentru toate epsilonele pozitive, cel puțin suficient de mici, ce am? Am că un plus epsilon, b minus epsilon este conținut în I, care este conținut într-un minus epsilon b plus epsilon. I este unul dintre aceste intervale. Așa că dacă doar îl fac puțin mai gras și iau acel interval închis care îl conține, primesc această parte. Și apoi, dacă doar micșorez puțin intervalul și iau intervalul închis, acest tip va fi cuprins în el. Prin urmare, măsura acestui interval trebuie să fie mai mică sau egală cu măsura exterioară a acestui interval, care este mai mică sau egală cu măsura exterioară a acestui interval. Și înțeleg că-- acum, măsura acestui interval-- voi scrie doar asta. Și aceasta de aici este b minus a minus 2 epsilon este mai mică sau egală cu măsura exterioară a intervalului, care este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui b minus a plus 2 epsilon. Și acest lucru este valabil pentru toate epsilonul pozitiv. Amintiți-vă că am început pentru toate epsilonul pozitiv, cel puțin suficient de mic în funcție de b și a, mai mic decât diferența dintre b și a. Și, prin urmare, dacă trimit epsilon la 0, obțin b minus a este mai mic sau egal cu măsura exterioară a acestui interval, acest interval finit este mai mic sau egal cu - ce de ce am asta aici? Este mai mic sau egal cu b minus a. Prin urmare, măsura exterioară a oricăruia dintre aceste intervale finite este lungimea intervalului. Și apoi o să vă las pe voi ca un exercițiu, care nu este dificil. Dacă I este egal cu R infinit negativ la a, o infinitate sau include-- atunci măsura exterioară a acestui interval este infinit. Cu alte cuvinte, nu pot acoperi niciodată aceste intervale printr-o colecție numărabilă de intervale a căror sumă de lungimi este un număr finit. Din nou, acest lucru nu este greu. Așadar, obținem un fapt frumos, puțin din teorema pe care am demonstrat-o data trecută, și anume că, dacă am o colecție de submulțimi ale lui R, atunci măsura uniunii este mai mică sau egală cu suma măsurilor și această teoremă, care spune că măsura unui interval este lungimea intervalului, care este următoarea: pentru fiecare submulțime de R și epsilon pozitiv, există o mulțime deschisă O astfel încât A este conținut în O și măsura lui A, care este mai mică sau egală cu măsura lui O pur și simplu pentru că A este conținut în O, este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A plus epsilon. Deci, cumva, măsura exterioară a submulților poate fi măsurată aproximativ prin măsura exterioară a mulțimilor deschise. Deci, un alt mod de a spune acest lucru este, cel puțin în ceea ce privește măsura exterioară, fiecare set poate fi aproximat printr-un set deschis, o măsură exterioară. Și care este dovada asta? Deci, acest lucru este clar dacă măsura exterioară este infinită. Apoi consider că O este întreaga linie numerică reală. Deci, să presupunem că este finit. Fie I n o colecție de intervale deschise astfel încât să acopere A. Și nu uitați, măsura exterioară este infima. Așa că mă pot apropia în mod arbitrar de acel infim prin însumarea lungimilor anumitor colecții de intervale deschise. Și suma legăturilor este mai mică sau egală cu, dacă doriți, măsura exterioară a lui A plus epsilon. Așa că ar fi trebuit să spun la început, să fie A un submult al lui R și epsilon să fie pozitiv, dar înțelegeți. Și, deci, ceea ce fac este să consider că O este această uniune de intervale deschise. Deci O este o uniune de intervale deschise. Fiecare dintre aceste intervale deschise este un set deschis. Și ar trebui să știți că uniunea de seturi deschise, orice colecție de seturi deschise, este, din nou, un set deschis. Deci asta este deschis. A este conținut în O deoarece A este conținut în unire. Și măsura exterioară a lui O, care este egală cu măsura exterioară a acestei uniuni de intervale deschise este, prin teorema pe care am demonstrat-o data trecută, pe care am afirmat-o cu definiția, sau când îmi amintesc că definiția este mai mică sau egală cu suma măsurilor exterioare ale intervalelor, despre care tocmai am demonstrat că este lungimea acestor intervale. Și cum am ales aceste intervale, amintiți-vă, este astfel încât să avem această condiție. Și aceasta este mai mică sau egală cu -- deci în ceea ce privește măsura exterioară, fiecare set poate fi aproximat prin aproximarea față de măsura exterioară printr-un set deschis, printr-un set deschis adecvat. Deci am definit măsura exterioară. Am dovedit unele proprietăți ale acestuia. Acum, suntem în măsură să definim cel puțin seturi măsurabile. Și ar trebui să spun că acestea sunt seturi măsurabile Lebesgue. Deci o submulțime de numere reale este măsurabilă Lebesgue -- deci aceasta este o nouă parte de terminologie -- dacă pentru toate submulțimile lui R, dacă mă uit la măsura exterioară a lui A, aceasta este egală cu măsura exterioară a lui A intersectează E plus măsura exterioară a lui E A intersectează E complement. Aceasta este definiția de a fi o mulțime măsurabilă Lebesgue. Deci, într-un anumit sens, E este un set bine comportat dacă îl taie pe A în seturi rezonabile. Care este cel mai bun mod de a spune asta? Bănuiesc că e în regulă. Deci o mulțime este măsurabilă dacă și numai dacă pentru tot A, avem această egalitate aici. Așa că permiteți-mi să fac câteva observații. În primul rând, aceasta este partea stângă. Indiferent ce sunt A și E , partea stângă este întotdeauna mai mică sau egală cu partea dreaptă după teorema pe care o avem acolo sus, că măsura exterioară a uniunii este mai mică sau egală cu suma măsuri. Deci, deoarece pentru tot A E, A este conținut în, sau de fapt, egal cu A intersectează E uniunea A intersectează E complement, obținem că măsura exterioară a lui A este întotdeauna mai mică sau egală cu măsura exterioară a intersectării E plus măsura exterioară a lui A intersectează complementul lui E. Acest lucru este indiferent de A și E. Vreau să spun, dacă E este măsurabil sau nu, acest lucru este valabil întotdeauna. Deci, deoarece acest lucru este valabil întotdeauna, am putea afirma că suntem măsurabili doar prin, în loc de egalitate, satisfacerea uneia dintre inegalități. Astfel, E este măsurabil dacă pentru toate submulțimile lui R, avem că A este mai mic sau egal cu măsura exterioară a lui A. Pentru că așa cum am spus, știm indiferent ce sunt A și E, acest lucru este valabil. Deci, dacă vreau egalitate, atunci trebuie să o am ca mai mică sau egală cu aceea. Deci E este măsurabil dacă și numai dacă aceasta este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A. Așa că acum avem cea mai prostească-- ei bine, să nu o spunem ca exemplu, dar să o putem enunța ca o teoremă. Va fi o teoremă prostească, una despre care nu voi scrie demonstrația reală. Dar setul gol... așa că din nou, v-am mai spus că atunci când scriu pe tablă, scriu în notele mele, de obicei scurtez cuvintele. Deci „măsurabil” veți vedea scris ca „mble” pe tot parcursul notelor și, de asemenea, când scriu pe tablă. Am uitat cuvântul pentru ce înseamnă a scurta cuvinte. Deci setul gol este măsurabil. R este măsurabil. Și avem faptul că o submulțime de R este măsurabilă dacă și numai dacă complementul său este măsurabil, deoarece oricare dintre aceste definiții -- amintiți-vă, prin ceea ce am demonstrat despre măsura exterioară, această egalitate este echivalentă cu necesitatea acestei inegalități. Acestea sunt simetrice în complementul E și E. Deci E este măsurabil dacă și numai dacă complementul său este măsurabil. În regulă, deci acestea sunt cele mai stupide seturi măsurabile pe care le poți avea. Din nou, setul gol... de ce? Deoarece aceasta este atunci goală și măsura exterioară a mulțimii goale este 0. Și apoi aici, aș obține doar măsura lui A intersectează complementul mulțimii goale, care este R. Deci am obține că măsura exterioară a lui A este egală cu măsura exterioară a lui A. Și deoarece mulțimea goală este măsurabilă, complementul său R este și măsurabil. Așa că haideți să facem niște exemple non-stupide de seturi măsurabile, încă oarecum banale pentru că nu compun foarte mult. Dar dacă un set are măsura exterioară 0, atunci este măsurabil. Deci, cum demonstrăm asta? Din nou, trebuie doar să dovedim această inegalitate aici pentru fiecare submulțime a lui R. Așa că fie A o submulțime a lui R. Atunci A intersectează E, aceasta este conținută în E. Și, prin urmare, din moment ce știm că măsura exterioară este -- deci fantezia cuvânt pentru când A este un submult al lui B, măsura exterioară a lui A este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui B - cuvântul fantezist pentru asta este „monotonitate”. Dar, din moment ce măsura exterioară este monotonă, asta îmi spune că măsura exterioară a lui E este mai mică sau egală cu intersecția cu A. E este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui E. Și, deoarece aceasta este 0, înseamnă că măsura exterioară măsura A intersectării E este 0. Deoarece măsura exterioară este întotdeauna un număr nenegativ. Astfel, măsura exterioară a lui A intersectează E plus măsura exterioară a A intersectează E complement - aceasta este 0, deci aceasta este egală cu măsura exterioară a A intersectează E complement. Un complement de intersectare E este conținut în A. Deci măsura exterioară a complementului E de intersectare va fi mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A, din nou, deoarece această mulțime este conținută în A. Și astfel, E este măsurabil. Așa că acum, după două teoreme, am arătat că mulțimile neinteresante sunt măsurabile, dacă prin „ neinteresant” ne referim la a avea o măsură foarte mică, deși nu am definit încă măsura. Tocmai am definit măsura exterioară. Folosesc acești termeni în mod interschimbabil, din păcate, dar veți vedea de ce fie la sfârșitul acestei clase, fie la sfârșitul clasei următoare. Dar până acum, nu avem foarte multe exemple interesante de seturi măsurabile. Ceea ce vom arăta este că există o mulțime de seturi măsurabile interesante. De fapt, fiecare multime deschisa este masurabila, si din moment ce daca o multime deschisa este masurabila complementul sau este masurabil, iar complementele multimii deschise sunt multimi inchise, atunci avem ca fiecare multime inchisa este de asemenea masurabila. Dar, de fapt, este mult mai bogat decât atât, după cum vom vedea. Puteți lua o colecție numărabilă de seturi deschise și puteți lua intersecția lor. Acesta nu este neapărat un set deschis, așa că nu este clar dacă este măsurabil prin ceea ce tocmai am spus. Dar se dovedește că această intersecție a seturilor deschise va fi măsurabilă. Și din nou, luând complemente, obțineți uniuni de seturi închise, care nu sunt neapărat închise, sunt de asemenea măsurabile. Așa că, când am învățat teoria măsurării, instructorul meu mi-a spus că, dacă poți scrie setul, sunt șanse să fie măsurabil. Dacă puteți să vă așezați și să scrieți o uniune de intersecții de complemente de așa mai departe și așa mai departe a unor mulțimi de bază, atunci aceasta este măsurabilă. Și vom vedea de ce este adevărat în curând. Acum, înainte de a ajunge să arătăm tot ce tocmai v-am spus, avem nevoie de câteva fapte generale despre mulțimile măsurabile, despre structura colecției de mulțimi măsurabile. În acest moment, știm doar că colecția de mulțimi măsurabile include mulțimea goală R și mulțimile care au măsura exterioară egală cu 0, ceea ce văd că nu am scris. Acesta este, de asemenea, pericolul de a da curs într-o clasă goală este că, dacă greșesc la tablă, nu există nimeni care să mă corecteze. Deci, în continuare, demonstrează următoarea teoremă despre mulțimile măsurabile - că dacă am două mulțimi măsurabile, uniunea lor este măsurabilă. Dacă E1, E2 sunt măsurabile, atunci uniunea lor, E1 uniunea E2, este măsurabilă. Deci, din nou, trebuie să verificăm acea inegalitate pentru a arăta că este măsurabilă. Deci, fie A o submulțime a lui R. Deci, deoarece E2 este măsurabil, obținem că măsura lui A intersectează complementul lui E1 este egală cu măsura exterioară a lui A intersectează E1 complement intersectează E2 plus măsura exterioară a lui A intersectează E1 complement intersectează E2 complement. Poate te întrebi, de unde naiba a venit asta? De ce îmi pasă? Ei bine, pentru că primesc ceva. Amintiți-vă, aceasta este egală cu, prin legea lui De Morgan, complementul uniunii dintre E1 și E2. Deci, vreau să am cumva o relație care implică complementul uniunii E1 intersectează A. Pentru că din nou, încerc să arăt că măsura lui A intersectează E1 uniunea E2 plus măsura exterioară a lui A intersectează complementul uniunii E1 E2, care este exact acest termen, este egal cu măsura lui A. Deci se pare că această relație tocmai a fost luată din câmpul din stânga. Dar asta este gândirea din spatele motivului pentru care ți-ar păsa. Deci acum, A, dacă iau A și îl intersectez cu E1 uniunea E2, aceasta este egală cu A intersectează E1 uniune A intersectează E2. Acum, tot de aici care are și ceva în comun cu E1 este conținut în acest set. Deci această unire este de fapt egală cu A intersect E1 uniune A intersect E2 intersect E1 complement. Acum, asta a apărut aici, așa că puteți să vedeți că poate ceva magie va începe să se întâmple într-un minut când începem să luăm măsura. Deci ce primim? Obținem că măsura lui A intersectează E1 uniunea E2, care este această latură, aceasta este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A-- deci aceasta este egală cu această uniune, deci măsura exterioară a acesteia este mai mică sau egală la suma măsurării exterioare a acesteia și a măsurii exterioare a acesteia. Acum, folosim faptul că E1 este măsurabil. Deci, deoarece E1 este măsurabil, măsura exterioară a intersectării cu E1 este egală cu măsura exterioară a lui A minus măsura exterioară a complementului A intersectării E1. Sau ar trebui să spun că e invers. Și apoi plus, încă, această măsură exterioară aici. Dar acum, suntem în formă bună pentru că ce avem? Avem acest termen care apare aici. Am și acest termen aici apare aici. Deci, scăzând asta de aici și scăzând asta de acolo, obțin că partea dreaptă este egală cu măsura exterioară a lui A minus măsura exterioară a intersectării lui A. Și voi rescrie această intersecție a complementelor ca complement al uniunii prin legea lui De Morgan. Și amintiți-vă, am început cu măsura exterioară a lui A intersectează E1 uniunea E2 și am arătat că este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A minus măsura exterioară a lui A intersectează complementul și, prin urmare, măsura exterioară a intersectării A. E1, E2 plus măsura exterioară a lui A intersectează E1 uniunea E2 complement este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A. Și asta am vrut să demonstrăm și, prin urmare, E1 uniunea E2 este măsurabilă. Acum, dacă puteți face ceva pentru două lucruri, puteți face ceva pentru n lucruri, de obicei, printr-un argument de inducție. Deci teorema anterioară implică următoarele : dacă E1 până la E n sunt măsurabile, atunci această uniune finită k este egală cu 1 până la n E k este măsurabilă. Și cum demonstrezi asta? O demonstrezi prin inducție. Deci dovada prin inducție - când n este egal cu 1 - cazul de bază - acest lucru este clar. Să presupunem -- așa că numiți această revendicare stea -- să presupunem că această revendicare este valabilă pentru n este m. Acum vrem să arătăm că este valabil, că aceasta implică că afirmația teoremei este valabilă cu n egal cu m plus 1. Așadar, fie E1 E m plus 1 măsurabil. Atunci uniunea k este egală cu 1 la m plus 1 a lui E k este egală cu uniunea k este egală cu 1 la m a uniunii E k sau E sub m plus 1. Acum, prin ipoteza de inducție, o colecție de m mulțimi măsurabile, uniunea lor este măsurabil, deci acesta este măsurabil prin ipoteza de inducție. Și presupunem că acest lucru este măsurabil. Și apoi, după teorema anterioară, unirea a două mulțimi măsurabile este măsurabilă. Și asta demonstrează teorema. Deci, până în acest punct, am arătat două lucruri de bază despre seturile măsurabile - de fapt trei. În primul rând, nu este gol. Este o colecție nevidă de seturi măsurabile. Am arătat că o mulțime este măsurabilă dacă și numai dacă complementul său este măsurabil. Și am arătat, de asemenea, că uniunile finite de mulțimi măsurabile sunt din nou măsurabile. Și, prin urmare, dacă mă uit la colecția tuturor seturilor măsurabile, aceasta are o structură foarte specială sau un tip foarte general de structură, pe care o voi detalia acum. Deci, să facem o pauză aici despre seturile măsurabile, deoarece acum, vom spune câteva lucruri generale despre anumite clase de mulțimi sau anumite clase de colecții de mulțimi. Deci, permiteți-mi să fac o definiție aici. O colecție nevidă de mulțimi - deci aceasta este o colecție de submulțimi a lui R, deci este o submulțime a setului de puteri a lui R - este o algebră. Deci unii dintre voi au luat Algebră sau luați Algebră. Deci există o noțiune a ceea ce este o algebră în Algebră. Aici, spunem că o colecție de mulțimi este o algebră dacă într-un anumit sens este închisă prin luarea de complemente și uniuni finite. Dacă sunt îndeplinite două condiții -- dacă E este în algebră, atunci complementul său este în algebră și două, dacă iau un număr finit de elemente din algebră și un număr finit de submulțimi din această algebră de submulțimi, atunci această uniune este de asemenea în această algebră. Acum, aceasta este pentru uniuni finite. Vă puteți întreba, cum rămâne cu uniunile infinite? Asta nu este echivalent cu uniuni finite, adică este o condiție mai puternică de impus. Deci avem un nume special pentru colecțiile de submulțimi de acest tip. Spunem că o algebră A este o algebră sigma-- sigma pentru, dacă doriți, suma, pentru că avem într-adevăr o însumare în minte -- dacă și următoarea condiție mai puternică este îndeplinită -- dacă am o colecție numărabilă de submulțimi în A, deci o colecție numărabilă de elemente ale algebrei, atunci uniunea lor este în algebră. Deci o algebră este închisă prin luarea de complemente și uniuni finite. O algebră sigma este închisă sub complemente și, de asemenea, condiția mai puternică de a lua uniuni numărabile. Deci, desigur, această condiție implică această condiție - de fapt, asta nu este încă clar. Vom vedea. Deși nu este în definiție, vom vedea într-o secundă că, de fapt, aceasta implică că mulțimea goală trebuie să fie un membru al algebrei. Și, prin urmare, această condiție implică această condiție dacă doar luați finit multe dintre acestea și apoi le luați ca goale după un n finit. Deci aceasta este definiția unei algebre. Aceasta este definiția unei algebre sigma. Permiteți-mi să dau câteva exemple foarte repede sau câteva remarci despre asta. În primul rând, după legile lui De Morgan, care vă spune că complementul unei uniuni este o intersecție a intersecției complementelor, obținem că E1 E n în algebră implică că E1 se intersectează - deci intersecția lor, deci aceasta este doar pentru o algebră acum-- intersecția lor, care este egală cu complementul unirii complementelor lor. Deci, deoarece fiecare dintre acestea este în algebră, complementul este în algebră. Și, prin urmare, uniunea finită este în algebră. Și, prin urmare, complementul acestuia este în algebră. Deci, nu numai că o algebră este închisă prin luarea de complemente și uniuni finite, ci este, de asemenea, închisă prin luarea de intersecții, intersecții finite. Deci, dacă iau un element din algebra mea nevidă, mulțimea goală, care este egală cu E intersectează complementul E, aceasta este în algebră. Așa că permiteți-mi să mă opresc un minut și să scriu asta cu puțină atenție. Dacă iau un element al algebrei care ar trebui să fie nevid, atunci mulțimea goală, care este egală cu E, își intersectează complementul, aceasta este în algebră. Asta e în algebră. Intersecția a două lucruri din algebră este în algebră. Deci asta este și în algebră. Și, de asemenea, acest lucru implică faptul că R, care este egal cu complementul mulțimii goale, este, de asemenea, în algebră. Deci, pentru algebrele de mulțimi, ele conțin întotdeauna mulțimea goală pentru cele nevide, care este singurul tip de care ne va păsa vreodată. Ele conțin întotdeauna mulțimea goală în R. Și nu numai că sunt închise sub luarea de complemente, ci și uniuni finite. Și așa cum am demonstrat că pentru algebre, intersecțiile finite sunt, de asemenea, în algebră, puteți demonstra că pentru o algebră sigma, intersecțiile numărabile sunt și în algebra sigma. Așa că permiteți-mi să subliniez asta. Dacă A este o algebră sigma, atunci E n, o colecție numărabilă de elemente ale algebrei sigma, implică că această intersecție numărabilă este și în algebră, din nou prin legea lui De Morgan. Deci, de ce fac acum toate aceste definiții generale? Deci, ceea ce vom arăta în curând, cel puțin în următoarea prelegere, vom arăta în curând că, dacă definesc scriptul M ca un set de toate submulțimile măsurabile ale lui R, deci aceasta este o colecție de submulțimi ale lui R, că aceasta este o algebră sigma-- unul dintre lucrurile pe care le vom arăta. Acum, cum facem asta acum este că aveam aceste idealuri despre ceea ce ar trebui să fie o măsură și o construim din acest fel și, în cele din urmă, vom veni cu această colecție de seturi măsurabile, care va avea această structură specială de a fi o algebră sigma. Și apoi măsura noastră va fi definită pe această algebră sigma de mulțimi. Când treceți la teoria măsurării generale, aceasta este intrarea pentru dvs. Un spațiu de măsură va fi apoi o colecție, o algebră sigma de submulțimi ale unei mulțimi, cu o măsură pe ea. Asta e contribuția ta. Iată, clădirea ta, dacă vrei, una dintre primele măsuri non-triviale. Asta facem noi, una dintre cele mai importante măsuri, într-adevăr. Deci avem acea definiție. Dacă mi-ați luat cursul înainte, știți că, dacă există o definiție, atunci ar trebui să vedem un exemplu sau două. Am spus că setul de mulțimi măsurabile va fi o algebră sigma. Va fi nevoie de puțină muncă pentru a ajunge la asta, dar putem veni deja cu câteva exemple. Așadar, câteva exemple simple, avem cel mai stupid exemplu. Începeți întotdeauna cu cele mai stupide exemple. Acesta este drumul de urmat. Deci cea mai simplă algebră sigma este dată de această colecție de submulțimi constând doar din mulțimea goală din R. Următoarea cea mai stupidă este la celălalt capăt al spectrului, unde fiecare submulțime este în această algebră sigma. Deci acestea sunt algebre sigma. Ce este unul non-prost? Să presupunem că luăm A ca mulțime, colecția tuturor submulților E, astfel încât fie E este numărabil, fie E complement este numărabil. Deci de ce este asta? Eu susțin că aceasta este și o algebră sigma. De ce este aceasta o algebră sigma? În primul rând, este clar că dacă E este în A, atunci complementul său este în A. Pentru că dacă E este numărabil, atunci complementul complementului său este E, este numărabil. Deci E în A implică faptul că E complementul este A. Cu alte cuvinte, această condiție este simetrică în E și E complement. De ce este închis prin luarea de sindicate numărabile? Deci, să presupunem că iau aici o colecție de elemente din colecția mea , A. Vreau să arăt că uniunea este în A. Atunci, dacă pentru tot n, E n este numărabil, atunci uniunea peste n a lui E sub n este o uniune numărabilă a seturi numărabile. Și, prin urmare, acesta este numărabil, ceea ce implică că acest tip se află în colecția de mulțimi A. Deci, acesta este cazul, că toate acestea sunt numărabile dacă există un număr întreg N0 astfel încât E n complement este numărabil, E n sub 0. Atunci , amintiți-vă ce trebuie să verific este că uniunea lui E n este în mulțimea A, ceea ce înseamnă fie că este numărabilă, fie complementul său este numărabil. Deci, dacă mă uit la complementul uniunii, acesta este atunci egal cu, prin legea lui De Morgan, intersecția complementelor. Și asta este conținut într-unul dintre acești tipi. Și, prin urmare, aceasta este o submulțime a unei mulțimi numărabile, ceea ce implică că aceasta este numărabilă și care este una dintre condițiile lui A. Și, prin urmare, aceasta este în A. Prin urmare, această colecție de submulțimi ale lui R astfel încât E este numărabil sau complementul lui E este numărabil este o algebră sigma de mulțimi. Este de obicei denumită algebră sigma co-numărabilă. Și se poate defini o măsură pe această colecție, această algebră sigma. Dar ne interesează doar măsura Lebesgue, care va fi definită pe, după cum vom vedea, algebra sigma a submulților măsurabile ale lui R, submulțimilor măsurabile Lebesgue ale lui R. Deci, să mai facem un exemplu. Va dura doar un minut și nu este prea tehnic. Știu că este sfârșitul prelegerii. Deci poate... Ei bine, vreau să spun, ești acasă la asta. Poți să o întrerupi la un moment dat, să iei o gustare, să schimbi pijamale, orice. Dar oricum, iată un ultim exemplu de algebră sigma, care este, de fapt, o algebră sigma foarte importantă , care este următoarea. Fie sigma capitală colecția tuturor algebrelor sigma care conțin toate mulțimile deschise. Așa că haideți să desfacem această definiție pentru un minut. Așadar, vă aflați în această colecție de algebre sigma dacă sunteți o algebră sigma și conține toate submulțimile deschise ale lui R. Deci, de exemplu, setul de putere al lui R, care este o algebră sigma -- una trivială -- conține fiecare submulțime de R, deci conține cu siguranță fiecare submulțime deschisă a lui R. Aceasta se află în această colecție de algebre sigma. Și permiteți-mi să definesc scriptul B ca fiind intersecția dintre toate algebrele sigma din această colecție de algebre sigma. Deci aceasta este intersecția fiecărei algebre sigma care conține toate mulțimile deschise. Deci, în primul rând, acesta nu este gol. Aceasta este o intersecție nevidă, deci rețineți, aceasta este o intersecție de submulțimi de colecții de submulțimi ale lui R Deci, acesta este R și este nevid. Atunci B este -- voi spune multe în următoarele câteva cuvinte -- este cea mai mică algebră sigma care conține toate submulțimile deschise ale lui R. Și o numim algebra sigma Borel . Deci cum crezi despre asta? Luați fiecare algebră sigma din univers care conține fiecare set deschis. Luați intersecția tuturor acestor algebre sigma. Pretenția mea este că obțineți o algebră sigma și aceasta este cea mai mică algebră sigma care conține toate submulțimile deschise ale lui R. Deci, un alt mod de a spune această ultimă propoziție este, E este în sigma și pentru tot A în sigma, E este conținut în A. Deci, este cea mai mică algebră sigma care conține toate submulțimile deschise ale lui R. Dovada nu este grea. Trebuie doar să te asiguri că înțelegi exact ce spun aici. Și dacă înțelegi ce spun aici, dovada este destul de simplă. Și voi face doar o parte. Deci, mai întâi, odată ce arăt că B este o algebră sigma, apoi urmează restul, deoarece dacă iau orice submulțime deschisă a lui R, este conținut în fiecare dintre acestea. Și, prin urmare, este conținut în intersecție. Deci fiecare submulțime deschisă este conținută în B sau fiecare submulțime deschisă este un element al lui B. Nu ar trebui să spun conținut, dar fiecare submulțime deschisă este un element al lui B. Și deci trebuie doar să arăt că B este o algebră sigma. Și deoarece este egală cu intersecția tuturor algebrelor sigma care conțin fiecare submulțime deschisă, trebuie să fie cea mai mică. Orice alta-- această intersecție pentru orice fix, această intersecție este conținută în orice fix. Și, prin urmare, B este conținut în orice algebră sigma fixă ​​care conține toate submulțimile deschise. Deci trebuie doar să verific că B este o algebră sigma. Și din moment ce am rămas fără timp, voi face o parte sau voi verifica doar o parte a definiției. Pentru că cealaltă parte este în esență aceeași, cu excepția faptului că trebuie să folosești mai multă cretă. Deci trebuie doar să verific că B este o algebră sigma. Acum, să presupunem că E este un element al lui B. Deci, aceasta înseamnă că este o submulțime a lui R. Este una dintre aceste submulțimi ale lui R care este un element al lui B. Atunci, pentru toate algebrele sigma din această colecție, deoarece B este intersecția peste toate acestea. algebre sigma, E este în A. Și deoarece fiecare dintre acestea este o algebră sigma, obțin că complementul este în A. Și această afirmație spune că pentru fiecare algebră sigma din această colecție, complementul este în acea algebră sigma și, prin urmare, Complementul E este în intersecție, ceea ce este, amintiți-vă, cum am definit algebra sigma Borel. Și din nou, dovada de a fi închis sub uniuni numărabile este cam aceeași. Luați o colecție numărabilă de elemente ale lui B. Apoi această colecție numărabilă - toate trebuie să fie elemente ale lui A pentru fiecare A din sigma. Prin urmare, uniunea lor trebuie să fie un element al lui A pentru fiecare A din sigma, deoarece A este o algebră sigma. Și, prin urmare, uniunea este în intersecția tuturor A, care este egală cu B, algebra sigma Borel. Deci, ceea ce lucrăm și ceea ce vom face următoarea prelegere este că vom arăta că M, colecția de subseturi măsurabile Lebesgue ale lui R este o algebră sigma și conține algebra sigma Borel . Deci conține această colecție foarte mare de submulțimi de R. Adică, acesta este cu adevărat un subset foarte mare de R, așa cum spuneam. Conține toate subseturile deschise. Și, deoarece este o algebră sigma, conține complementele tuturor submulților deschise, adică submulțiunilor închise. dar apoi conține, de asemenea, toate intersecțiile submulților deschise, deoarece algebrele sigma sunt închise prin luarea de intersecții numărabile, de asemenea. Și apoi, puteți lua uniuni numărabile ale acelor intersecții numărabile ale submulților deschise, și apoi, și așa mai departe, și așa mai departe. Deci obțineți o clasă foarte bogată de submulțimi de R care este conținută în algebra sigma. Și ceea ce vom arăta este că, așa cum am spus, colecția de submulțimi măsurabile Lebesgue ale lui R, este o algebră sigma și conține algebra sigma Borel . Deci, este o clasă foarte bogată de submulțimi, chiar dacă până în acest moment, tot ce am arătat este că mulțimea goală R și mulțimile cu măsura exterioară egală cu 0 sunt măsurabile Lebesgue. Deci vom face asta data viitoare. Și mă voi opri acolo.