[SCRÂȘIT] [FOȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: OK, să continuăm discuția despre seturile măsurabile. Permiteți-mi să vă amintesc doar pe scurt , la sfârșitul timpului trecut, am discutat câteva noțiuni generale, câteva colecții speciale de submulțimi ale lui R, una dintre acestea fiind o algebră, care este închisă prin luarea de complemente și uniuni finite. Și apoi am spus că o colecție de submulțimi de R este o algebră sigma dacă este, de asemenea, închisă prin luarea de uniuni numărabile. Și nu orice algebră este o algebră sigma. De ce am adus toate astea în discuție? Ei bine, eram în mijlocul discuțiilor despre seturile măsurabile Lebesgue . Deci, amintiți-vă că spunem că E este măsurabil Lebesgue dacă pentru toate submulțimile lui R A, măsura exterioară a lui A este egală cu măsura exterioară a lui A intersectează E plus măsura exterioară a lui A intersectează complementul. Deci, într-un anumit sens, un set măsurabil este unul care împarte frumos seturile în raport cu măsura exterioară. Și am notat scriptul M ca fiind mulțimea tuturor E, astfel încât E este măsurabil Lebesgue. Și o să nu mai spun Lebesgue măsurabil și voi spune doar măsurabil de acum înainte. Și ceea ce am arătat data trecută, am arătat că M, mulțimea de submulțimi măsurabile ale lui R, formează o algebră. Deci, din definiție rezultă că dacă E este măsurabil, atunci E complementul este măsurabil. Dar am mai arătat că, dacă iau o uniune finită de mulțimi măsurabile, sau o colecție finită de mulțimi măsurabile, uniunea lor este măsurabilă. Și ceea ce vom face astăzi este să arătăm că mulțimea, colecția de submulțimi măsurabile, măsurabile Lebesgue, ale lui R formează o algebră sigma. Deci au această proprietate mai puternică. Și, de asemenea, că-- ultima dată-- nu există nicio modalitate de a scrie asta în-- poate nu în definiție, ci în notație-- că B este algebra sigma Borel , ceea ce, reamintim, am demonstrat-o la sfârșitul ultimei oară. Așa că am dat asta ca exemplu de algebră sigma. Aceasta este cea mai mică algebră sigma care conține toate mulțimile deschise. Deci orice altă algebră sigma care conține toate mulțimile deschise conține algebra sigma B, algebra sigma Borel. Deci, așa cum am spus, scopul nostru pentru această prelegere este să arătăm că această colecție de seturi măsurabile Lebesgue este o algebră sigma. Vom arăta că conține algebra sigma Borel. Și atunci ce este... Vreau să spun, chiar pot să o spun acum, sau cel puțin o voi spune în cuvinte. Ce este măsura Lebesgue? Este pur și simplu... Măsura Lebesgue a unui set măsurabil va fi măsura exterioară a acelui set atâta timp cât este măsurabilă Lebesgue. Deci ceea ce vom face este să arătăm că M este o algebră sigma. Acum, o remarcă preliminară că sau lema pe care o vom demonstra este că, deci, această condiție 3 spune că trebuie să dovediți că fiecare colecție numărabilă este închisă prin uniuni, pentru a vă asigura că o algebră este o algebră sigma. Dar, de fapt, nu trebuie să-l verificați pentru o colecție arbitrară. Trebuie doar să-l verificați doar pentru o colecție numărabilă de subseturi disjunse. Deci, aceasta este lema pe care o vom folosi atunci când vom demonstra că colecția de mulțimi măsurabile Lebesgue este o algebră sigma este următoarea - deci acest lucru este general. Acest lucru nu are nimic de-a face, neapărat, cu măsura Lebesgue. Fie A o algebră în-- deci din nou, N aici este un număr natural-- o colecție de elemente ale lui A. Deci fiecare dintre acestea este o submulțime a lui R. Atunci există o colecție numărabilă F n de elemente ale lui A care sunt disjunc-- deci dacă iau F n și F m, și n nu este egal cu m, atunci intersecția lor este goală-- astfel încât uniunea E n-urilor este egală cu uniunea F n-urilor. Deci ce spune asta? Asta spune că dacă avem... lasă-mă să fac o remarcă, atunci. Care este concluzia asta? Trebuie doar să verificăm această a treia condiție pentru a fi o algebră sigma, că o colecție numărabilă este închisă prin luarea de uniuni, condiția 3 pentru algebra sigma, pentru colecții disjunse de elemente. Acest lucru decurge imediat din această lemă, deoarece dacă am vreo colecție arbitrară de elemente ale algebrei, atunci uniunea lor este egală cu o unire a elementelor lui A, unde uniunea este acum peste elemente care sunt disjunse unele de altele. Deci acesta este ideea. Trebuie doar să verific condiția ca o algebră să fie o algebră sigma verificând că uniunile numărabile ale mulțimilor disjunctive rămân în algebră. Deci dovada nu este foarte grea. Deci, să G-- să-i spunem ceva-- G n pentru a fi uniunea k este egală cu 1 la n a lui E k. Deci, acestea sunt în creștere deoarece G n conține primele n E k, iar apoi n plus 1, pun pe altul. Deci G1 este conținut în G2 este conținut în G3. Și acest lucru este ușor de verificat. Și vă las pe seama voastră că unirea E n-urilor este egală cu uniunea G n-urilor. Adică, G n-urile sunt într-adevăr doar uniuni ale E k, uniuni finite ale E k. Deci acest lucru este destul de clar. Adică, dacă chiar vrei să te așezi și să argumentezi, fiecare element din G n este conținut în E1 până la E n. Și astfel fiecare G n este conținut în această uniune. Și prin urmare, uniunea G n-urilor este conținută în această unire. Și apoi este ușor să mergi invers, arătând că această uniune este cuprinsă în această uniune, astfel încât să fie egali. Și acum, iau F1 ca fiind G1 și F n plus 1 ca fiind F n plus 1 iau F n pentru n mai mare sau egal cu 1, sau ar trebui să spun-- îmi pare rău pentru asta, ar trebui să fie G n plus 1 ia G n. Deci ce este asta? Consider că primul set este G1 și apoi F2 va fi ceea ce este în G2, dar nu în G1. Deci, ce este asta? Ce primim? Înțelegem că uniunea oricărui tip finit este egală, de fapt, deci acest lucru este destul de clar, din nou, pentru că ce fac eu aici? F2 va fi ceea ce este în G2 take away G1. Ceea ce este în F3 este ceea ce este în G3, ia G2. Și uniunea lor va fi aceeași ca aici, pentru că includ G1 și așa mai departe. Sper că acest lucru este clar. Și de fapt, nu știu de ce scriu n. De fapt, obținem că această uniune este egală cu această uniune. Și din nou, las câteva detalii, dar puteți verifica dacă această unire este cuprinsă în această uniune și apoi această unire este cuprinsă în această uniune foarte ușor. Dar sper că ideea este destul de clară pentru că, în fiecare etapă, luați orice este în acest set, decupând ceea ce a apărut înainte, în seturile de dinainte. Deci, acum, să revenim la seturi măsurabile. Acum vom arăta că -- aproape -- vom demonstra că colecția de mulțimi măsurabile Lebesgue este o algebră sigma. Dar mai întâi, avem nevoie de următoarea teoremă, care este următoarea: Fie A o submulțime a lui R. Și acesta este în esență întregul joc, așa cum vom vedea. Fie A o submulțime a lui R E1 până la E n Lebesgue măsurabilă și nu doar măsurabilă, ci să fie mulțimi măsurabile disjunctive. Deci am doar foarte multe dintre ele. Apoi, măsura exterioară a lui A intersectează uniunea acestor băieți este egală cu suma k egală cu 1 la n a măsurii exterioare a intersectării A cu E k. Deci, acest lucru nu ar trebui să fie o surpriză prea mare, pentru că este aproape de a spune-- Ar trebui să spun că acest lucru este foarte adevărat dacă spunem E1-- spunem că aveți doar două seturi-- E1 este E și E2 este complement E . Atunci aceasta este doar definiția a fi măsurabil. Și construiești din asta folosind inducția. Acesta este argumentul de bază. Din nou, îmi pare rău că mă îndepărtez în continuare de tablă pentru că m-am obișnuit să dau prelegeri la o clasă, deși au trecut luni de când sunt într-o clasă cu elevii. Și pentru că sunt un ciudat al naturii care scrie din mâna stângă, trebuie să scriu și apoi să fac acest gen de mișcare. Dar oricum, vom demonstra acest lucru prin inducție. Deci dovada este prin inducție. Deci n este egal cu 1. Acesta este doar un set. Acest lucru este clar. Aceasta este doar măsura exterioară a intersectării A E1 este egală cu măsura exterioară a intersectării A E1. Deci e bine. Așa că o să pun un cec acolo fără să notez nimic. Deci, acum, să etichetăm această afirmație după stea. Deci, acum, să facem pasul de inducție. Deci, să presupunem că steaua este valabilă pentru n este egal cu m. Și ceea ce vrem acum să arătăm, adică dacă am E1 până la E m seturi măsurabile disjunse , atunci steaua se menține. Acum, vreau să arăt că afirmația este valabilă pentru m plus 1. Așadar, să fie E1 până la E m plus 1 mulțimi disjunctive măsurabile. Deci fiecare dintre ei... sunt disjunși în perechi. Atunci, din moment ce E m plus 1 este măsurabil, ce avem? Ei bine, mai întâi, înainte de a folosi asta, permiteți-mi doar să notez ceva. Deoarece E m plus 1 este doar disjuns de la E1 până la E m, să fie A o submulțime a lui R. Vrem să verificăm steaua pentru A, deci trebuie să am un A. Deci, deoarece E k intersectează E m plus 1 este egal cu multime goală pentru toate k este egală cu 1 la m, obținem că A intersectează uniunea k este egală cu 1 m plus 1. Cu ce ​​înseamnă aceasta? Sau atunci intersectez că cu E m plus 1, aceasta este pur și simplu egală cu A intersectează E m plus 1 deoarece E1 până la E m -- acestea sunt disjunctive. Deci, când transfer acest lucru prin, pot scrie această intersecție aducând această intersecție, fiecare dintre aceste E k, unde k este egal cu 1 la m plus 1. Și atunci acesta este gol când k nu este egal cu m plus 1. Deci, doar ridic E m plus 1 și îl primesc acolo. Dar, de asemenea, dacă mă uit la complementul de intersectare, ce este acesta? Aceasta este egală cu -- acum k, E k pentru k mergând de la 1 la m, toate acestea sunt conținute în complementul lui E m plus 1 deoarece sunt disjunctive. Deci aceasta este egală cu doar A intersectează uniunea A este egală cu 1 cu m E k. Acum, m-am devansat acum un minut, dar acum suntem în acest stadiu. Deoarece E m plus 1 este măsurabil, măsura lui A intersectează această uniune A este egală cu 1 m plus 1 E k, aceasta este egală cu măsura exterioară a lui A intersectează k este egală cu 1 m plus 1 E k intersectează E m plus 1 plus exteriorul măsura A intersectează uniunea k este egală cu 1 m plus 1 E k intersectează E m plus 1 complement. Doar folosirea acelui E n plus 1 este măsurabilă. Și acum, conectăm care sunt aceste lucruri. Deci tot acest lucru este egal cu A intersectează E m plus 1. Deci acesta este egal cu măsura lui A intersect E m plus 1. Și acum, tot acest lucru este egal cu măsura A intersectează uniunea care merge doar până la m . Și acum, aici folosim ipoteza de inducție, deoarece acum avem o uniune de m mulțimi măsurabile disjunse. Deci aceasta este egală cu suma plus de la k este egal cu 1 la m A intersectează E k. Deci aceasta este prin ipoteza noastră de inducție. Iar combinarea acestor doi termeni este exact ceea ce vrem pentru n egal cu m plus 1, k este egal cu 1 m plus 1 măsură exterioară a intersectării A cu E k. Și asta e dovada. Deci, folosind această teoremă și lema de dinaintea ei, vom demonstra că colecția m de mulțimi măsurabile Lebesgue este o algebră sigma. Știm deja că este o algebră până în acest moment. Dar trebuie doar să verificăm că este o algebră sigma. Deci care este dovada? Acum, din nou, pe baza acestei remarci aici, trebuie doar să verificăm că dacă am o colecție numărabilă de mulțimi măsurabile disjunctive, atunci uniunea este măsurabilă. Nu trebuie să-l verific pentru fiecare colecție de seturi măsurabile, doar seturi măsurabile disjunse. Deci trebuie doar să verificăm. Deci am verificat deja că este o algebră. Deci, după lemă, primul lucru pe care l-am demonstrat în timpul acestei prelegeri, trebuie doar să arătăm că m este închis prin luarea de uniuni disjunctive numărabile , adică dacă am o colecție numărabilă de mulțimi măsurabile disjunctive , trebuie să arăt că uniunea este măsurabilă. Deci, să fie E sub n o colecție numărabilă aici - n este un număr natural - de mulțimi măsurabile disjunctive. Deci trebuie să verificăm definiția de a fi măsurabil. Dar amintiți-vă, asta se reduce într-adevăr la o singură inegalitate, deoarece una dintre aceste inegalități este întotdeauna clară. Deci, să fie A o submulțime a lui R și să notăm E ca fiind uniunea. Deci, ce trebuie să arătăm? Vrem să arătăm că măsura exterioară a lui A intersectează E complement plus măsura exterioară a lui A intersectează E-- E aici, din nou, este o unire-- este egală cu măsura exterioară a lui A. Dar avem întotdeauna măsura exterioară a A este mai mic sau egal cu acesta, așa că trebuie doar să arătăm asta. Deci hai să facem asta. Fie N un număr natural. Deci, fie N un număr natural prin-- deci, deoarece M este o algebră, aceasta, o uniune finită, n este egală cu 1 cu N capitalul lui E sub n este măsurabilă. Și, prin urmare, dacă vreau măsura exterioară a lui A, aceasta este egală cu măsura exterioară a lui A intersectează n egal cu 1 la N E sub n plus măsura exterioară a intersectării n este egală cu 1 la N E n complement. Acum, această uniune finită este conținută în E. E este uniunea totală. Și, prin urmare, complementul acestei uniuni finite conține complementul lui E. Deci acest complement conține aici complementul lui E și, prin urmare, A intersectează aceasta este o mulțime mai mare decât A intersectează complementul lui E. Deci aceasta este mai mare sau egală la măsura exterioară a A intersectează uniunea n este egal cu 1 la N E n plus măsura exterioară a A intersectează E complement-- din nou, deoarece această uniune finită este conținută în întreaga uniune. Deci, atunci când iau complemente, asta schimbă ceea ce este conținut în ce. Deci atunci obțin că A intersectează E complementul este conținut în A intersectează complementul acestei uniuni finite. Și asta e bine. Deci asta este acum sus. Am vrut ca aceasta să fie mai mică decât măsura lui A aici. Și acum ce avem? Avem măsura exterioară a lui A cu o uniune finită de mulțimi măsurabile disjunse. Și putem scrie acest lucru folosind teorema anterioară ca sumă de la n egală cu 1 la măsura exterioară N capitală a lui A intersectează E n plus - păstrând doar al doilea termen. Acum, acest lucru este valabil pentru fiecare N. N a fost arbitrar. Deci pot lăsa capitalul N să meargă la infinit. Amintiți-vă, am arătat că măsura exterioară a lui A este mai mare sau egală cu această cantitate aici. Deci, pot lăsa N să meargă la infinit pentru a concluziona că măsura exterioară a lui A este mai mare sau egală cu suma de la n egal cu 1 la infinitul măsurării exterioare a lui A intersectează E n plus măsura exterioară a lui A intersectează complementul lui A. uniune. Acum, amintiți-vă ce am demonstrat despre măsura exterioară - că suma măsurilor exterioare este mai mare sau egală cu măsura exterioară a unirii. Deci acest lucru este mai mare sau egal cu măsura exterioară a uniunii peste tot N A intersectează E n plus A intersectează E complement. Și aceasta este doar egală cu plus măsura exterioară a A intersectează E complement. Așadar, am arătat că colecția tuturor submulților Lebesgue măsurabile ale lui R formează o algebră sigma. Așa că lasă-mă doar... poate ar fi trebuit să spun asta la început, dar lasă-mă să fac o pauză aici pentru o secundă. Și poate vă întrebați de ce toată această afacere cu algebră sigma ? De ce am impus această condiție? Fac doar această definiție pe măsură ce merg? Dar este un fel de condiție care ne este impusă pe baza așteptărilor noastre, în următorul sens -- vă amintiți una dintre proprietățile pe care le doream ale măsurării Lebesgue, sau măsurării în general, a fost că măsura unei uniuni numărabile de mulțimi disjunctive este egală cu suma măsurilor. Și am afirmat fără dovezi - dar există o dovadă în manual - că nu puteți avea o măsură definită pentru fiecare subset care să satisfacă acele proprietăți pe care le-am subliniat. Deci trebuie să aveți o colecție de submulțimi pe care aveți aceste proprietăți, că măsura unui interval este lungimea intervalului și aceasta este invariantă de translație și că măsura uniunii este suma măsurilor. Această ultimă afirmație, totuși, ascunsă acolo, există o presupunere subtilă - că dacă aveți o măsură definită pentru o anumită colecție de subseturi, atunci acea colecție de subseturi mai bine să fie închisă prin luarea de uniuni numărabile. Dacă vreau să pot face afirmația că vreau, că măsura unei uniuni numărabile de mulțimi disjunctive este egală cu suma măsurilor, atunci se ascunde acolo că măsura mea trebuie să fie definită pentru o uniune numărabilă de seturi măsurabile. Cu alte cuvinte, dacă am o colecție numărabilă de mulțimi măsurabile, atunci pentru afirmația pe care vreau să aibă sens, ar trebui să spun că uniunea acestei colecții numărabile de mulțimi măsurabile este conținută în clasa de mulțimi pe care le măsoară . Și așa, înainte de a discuta măcar despre măsura exterioară, toate astea, cum ați putea vedea că am avea o condiție cum ar fi clasa de mulțimi pe care o vom măsura va fi o algebră sigma, sau ar trebui să fie o algebră sigma, ar trebui să fie să fie închisă sub luarea de sindicate numărabile. Așa că poate că am divagat, dar sper că ai scos ceva din asta. Deci am arătat că mulțimea de mulțimi măsurabile este o algebră sigma. Acum, ceea ce voi arăta este că conține algebra sigma Borel. Așa că nu uitați, algebra sigma Borel este cea mai mică algebră sigma care conține toate seturile deschise. Dacă am orice altă algebră sigma care conține seturi deschise, care conține toate seturile deschise, atunci trebuie să conțină algebra sigma Borel, deoarece algebra sigma Borel este cea mai mică. Și ar trebui să cuantific cel mai mic... cel mai mic sens în ceea ce privește includerea. Dacă există orice altă algebră sigma care conține toate mulțimile deschise, atunci algebra sigma B Borel este conținută în acea algebră sigma. Dar mai întâi, să demonstrăm un caz mai simplu. Așa că permiteți-mi să spun asta și apoi vă voi explica. Pentru tot a din R, intervalul deschis a la infinit este măsurabil. Deci, în cele din urmă, vrem să putem arăta - așa că știm deja că M este o algebră sigma. Dacă putem arăta apoi că fiecare mulțime deschisă este măsurabilă, atunci asta înseamnă că M este o algebră sigma care conține toate mulțimile deschise și, prin urmare, trebuie să conțină algebra sigma Borel , care nu uitați, este cea mai mică algebră sigma care conține toate mulțimile deschise. Deci, pentru a demonstra că fiecare set deschis este măsurabil, să începem cu un tip foarte simplu de set deschis, jumătate deschis sau jumătate infinit infinit. Deci, să fie A o submulțime a lui R. Și să scriem A1 ca fiind A intersectează a la infinit, iar A2 fie A intersectează complementul, care este doar minus infinit la un închis. Deci, ce vrem să arătăm? Pentru a arăta că această mulțime este măsurabilă, dorim să arătăm că măsura exterioară a lui A1 plus măsura exterioară a lui A2 este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A deoarece A1 este A intersectează o mulțime, A2 este A intersectează un complement de acel set. Acum, dacă măsura exterioară a lui A este infinită, aceasta este valabilă indiferent. Deci, dacă măsura exterioară este infinită, gata. Deci, să presupunem că măsura exterioară este finită. Deci ceea ce vom face este să arătăm că această sumă din partea stângă este mai mică sau egală cu acest plus epsilon, unde epsilon este arbitrar. Și apoi putem trimite epsilon la 0 pentru a obține inegalitatea. Și totul se va reduce la ceea ce am făcut noi cu intervalele, așa cum veți vedea acum. Așadar, să fie I n o colecție de intervale deschise, astfel încât -- amintiți-vă, măsura exterioară a lui A este infima sumei lungimilor intervalelor care acoperă A -- astfel încât suma peste n lungime a lui I n este mai mică sau egală la măsura exterioară de A plus epsilon. Definiți J n ca fiind I n intersectează A infinitate K n ca fiind I n intersectează complementul lui A infinitate. Acum, unirea J n-urilor - ei bine, mai întâi, permiteți-mi să spun că fiecare dintre aceste mulțimi J n și K n sunt intervale. Sunt intersecția a două intervale, unul deschis și celălalt închis sau gol. Acum, uniunea lui I acoperă A. Deci, dacă iau uniunile lui J n, aceasta va acoperi A intersecta A infinit. Atunci A1 este cuprins în uniunea J n-urilor. Și în mod similar, A2 este conținut în uniunea K n-urilor. Și încă ceva - acum, I n este un interval și este simplu de verificat, deoarece doar pe baza că acesta este un interval finit, dacă iau lungimea lui I n, aceasta este egală cu lungimea lui J n plus lungimea din K n. Așa că iau fiecare I n și îl împart în două subintervale. Nu vor fi neapărat intervale deschise. Acesta va fi un interval deschis, acesta nu neapărat, dar suma lungimilor acestor două intervale se va aduna cu lungimea intervalului I n. Asta e clar. Există, dacă doriți, J n și K n vor include asta. Și acum suntem aproape liberi acasă. Deci A1 este cuprins în această uniune. A2 este cuprins în această uniune. Deci, dacă mă uit la măsura lui A1 plus măsura lui A2, măsura lui A1, deoarece este conținută în această uniune, va fi mai mică sau egală cu suma măsurilor exterioare ale lui J n. Și măsura lui A2, din nou, este conținută în K, în uniunea K n-urilor, deci aceasta este mai mică sau egală cu suma măsurilor K n-urilor. Și acum, adunând aceste două împreună într-o singură sumă peste n, și folosind faptul că aceasta este egală cu - deci măsura exterioară a unui interval este egală cu lungimea sa, ceea ce am demonstrat data trecută - aceasta este egală cu lungimea sumei a I n. Și amintiți-vă, cum am ales I n? Am ales acest I n astfel încât unele dintre lungimile I n să fie mai mici sau egale cu măsura exterioară a lui A plus epsilon. Așa că ar fi trebuit să adaug aici, să fie epsilon pozitiv. Îmi pare rău pentru asta. Așa că am arătat că pentru epsilon pozitiv, acest număr de aici este mai mic sau egal cu... Încă nu am terminat. Îmi pare rău, am fost înaintea mea. Asta se întâmplă când te entuziasmezi. Și aceasta este mai mică sau egală cu măsura exterioară A plus epsilon. Deci am arătat că pentru epsilon pozitiv arbitrar, acest număr este mai mic sau egal cu acest număr plus epsilon. Așa că pot trimite epsilon la 0 pentru a obține că măsura exterioară a lui A1 plus măsura exterioară a lui A2 este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui A, care nu uitați, asta am vrut să arătăm. Deci am arătat că aceste intervale deschise de la A la infinit sunt măsurabile. Acum nu este o călătorie lungă pentru a spune că fiecare set deschis este Lebesgue măsurabil. Așadar, teorema-- fiecare mulțime deschisă este măsurabilă Lebesgue și, astfel, o algebră sigma Borel, care este cea mai mică algebră sigma care conține toate mulțimile deschise, este conținută în algebra sigma mulțimilor măsurabile. Deci am arătat că aceste tipuri de intervale sunt deschise. Să arătăm că și intervalele deschise finite sunt... Adică, am arătat că aceste tipuri de intervale deschise sunt măsurabile. Să arătăm acum că intervalele deschise finite sunt măsurabile. Deci, acum, avem pentru tot b din R că minus infinit la b, aceasta este egală cu uniunea n egal cu 1 la infinit de ce? A unirii acestor intervale semiînchise, pe care le putem scrie ca complement al acestor tipuri de intervale deschise. Acum, tocmai am arătat că aceste tipuri de intervale sunt deschise, adică aceste tipuri de intervale deschise sunt măsurabile. Prin urmare, complementul lor este măsurabil și colecția de mulțimi măsurabile este o algebră sigma. Deci, uniunile numărabile sunt, de asemenea, măsurabile. Așa că tragem concluzia că acest tip este măsurabil. Și, prin urmare, amintiți-vă pentru o algebră, este închisă sub-- pentru o algebră sigma, este închisă sub luarea de complemente și luarea de uniuni numărabile. Dar, după legile lui De Morgan , asta înseamnă că este închis și în cazul intersecțiilor. Concluzionăm că pentru toate a, b și R, orice interval deschis finit a, b, care este egal cu minus infinitul până la b intersectează a la infinit, acest lucru este măsurabil prin ceea ce tocmai am demonstrat. Acest lucru este măsurabil prin teorema pe care am demonstrat-o mai înainte. Și algebrele sigma sunt, de asemenea, închise prin luarea de uniuni numărabile. Aceasta este doar o uniune finită. Deci acest lucru este și măsurabil. Acum, poate ai acoperit asta în 100B, poate nu ai făcut-o. Va apărea în sarcină. Dar voi sublinia ce va fi în sarcină. Dar, din moment ce fiecare submulțime deschisă a lui R este o uniune numărabilă a, de fapt, intervale deschise disjunctive - intervale deschise, ceea ce înseamnă că ar putea fi unul finit, ar putea fi unul ca acesta, ar putea fi unul așa cum am scris acolo unde este un la infinit - dar fiecare submulțime deschisă poate fi scrisă ca o uniune numărabilă de intervale deschise disjunse. Și din moment ce intervalele deschise, am concluzionat acum, sunt întotdeauna măsurabile, asta înseamnă că uniunea lor este măsurabilă. Concluzionăm că fiecare set deschis este măsurabil. Acum avem o colecție despre care am spus că sunt seturi măsurabile. Ele formează o algebră sigma. Ele conțin algebra sigma Borel, care conține toate seturile deschise. Deci, acum, definim măsura Lebesgue. Dacă E este o mulțime măsurabilă, măsura Lebesgue a lui E se notează cu m din E. Și este dată doar de măsura exterioară a lui E. Deci, așa cum am spus când am început prima dată această afacere, măsura Lebesgue este pur și simplu măsura exterioară limitată la o colecție de seturi bine comportate. Și vedeți că aici, măsura Lebesgue nu este altceva decât măsură exterioară limitată la acele seturi pe care le numim măsurabile. Și măsurabil însemna că aveau această proprietate de a împărți seturile în mod egal în raport cu măsura exterioară. Așa că, imediat, ajungem la câteva lucruri simple. Teorema -- dacă A și B sunt măsurabile și A este conținut în B, atunci măsura lui A este mai mică sau egală cu măsura lui B. De ce este aceasta? Din nou, pentru că măsura exterioară satisface asta. m din A este doar măsura exterioară a lui A și aceasta este mai mică sau egală cu măsura exterioară a lui B, care este, prin definiție, măsura lui B. Deci, ideea este că măsura Lebesgue moștenește multe proprietăți din măsura exterioară. În special, avem asta. Și mai avem, din moment ce știm... lasă-mă să mai fac unul. Fiecare interval este măsurabil. Să spunem așa. Dacă I ​​este un interval, atunci I este măsurabil și măsura lui I este egală cu lungimea lui I. Deci am arătat că toate intervalele deschise sunt măsurabile. Asta am făcut acum un minut când am prezentat... așa că mai întâi, lasă-mă să nu mă devansez. Dacă am arătat că fiecare I este măsurabil, atunci deoarece măsura Lebesgue este doar o restricție a măsurii exterioare, iar măsura exterioară a unui interval este lungimea intervalului, aceasta este imediată. Așa că trebuie doar să verific dacă fiecare interval este măsurabil. Acum, am arătat că fiecare interval deschis este măsurabil, dar de acolo, nu este dificil să înțelegem că fiecare interval este măsurabil. Deci, de exemplu, dacă iau un interval închis și mărginit, acesta este egal cu - cu ce este egal? Acesta este egal cu b infinit infinit intersect minus infinit a complement. Deci b complement infinit îmi dă b la infinit, inclusiv b. Complementul minus infinit la a este a la infinit, inclusiv a, iar intersecția lor îmi dă a, b. Acum, intervalele deschise sunt măsurabile. Prin urmare, complementul este măsurabil. Deci fiecare dintre aceste lucruri este măsurabil și, prin urmare, intersecția lor este măsurabilă. Deci asta e măsurabil. Și este același joc dacă i-aș lua pe unul dintre acești tipi, doar că acum am folosi un fel de truc ca acesta. Așa că lasă-mă să fac una dintre ele. Să presupunem că ne uităm la a, b. Ei bine, adică nu cred că trebuie să facem așa ceva. Să presupunem că mă uit la ceva de genul acesta -- acesta este egal cu complementul b intersect. Deci un interval semideschis care include a, fără a include b, este egal cu minus infinitul b intersectarea minus infinitul a complement. Pentru că atunci, asta îmi dă a la infinit, inclusiv a. Și aceasta este măsurabilă, aceasta este măsurabilă, complementul este măsurabil și, prin urmare, intersecția este măsurabilă. Deci acest lucru este măsurabil. Și acestea sunt singurele două exemple pe care le voi face. Și practic, luând complementele acestora, obțineți celelalte tipuri de intervale. Deci, acesta este unul bun pentru că aceasta este una dintre proprietățile, amintiți-vă, pe care le-am dorit de măsurare. Am vrut măcar să putem măsura intervalele. Și am vrut ca măsura unui interval, sau cel puțin o măsură Lebesgue a unui interval, să fie lungimea acelui interval. Și acum, să verificăm acea altă condiție pe care am dorit-o, că măsura unei uniuni disjunctive numărabile este suma măsurilor. Deci, să presupunem că E n este o colecție numărabilă de mulțimi măsurabile disjunctive. Atunci măsura Lebesgue a unirii este egală cu suma măsurării Lebesgue a mulțimilor. Acum, aceasta, avem una dintre inegalitățile de aici sau avem întotdeauna că aceasta este mai mică sau egală cu aceasta pur și simplu pentru că aceasta decurge din măsura exterioară. Amintiți-vă, măsura exterioară a satisfăcut acest lucru cu o inegalitate acolo, cu stea M și stea M, dar nu cu egalitate. Specializarea în aceste seturi bine comportate ne oferă egalitate, după cum vom vedea. Așa că, permiteți-mi să reiterez că avem unul -- vom demonstra acest lucru arătând că unul este mai mic sau egal cu celălalt și invers. Avem întotdeauna că acest lucru este mai mic sau egal cu acesta din cauza măsurii exterioare. Deci, în primul rând, știm că avem această uniune numărabilă este măsurabilă, deoarece M este o algebră sigma. Am arătat asta deja. Prin urmare, măsura unirii este, prin definiție, egală cu măsura exterioară a unirii, care este mai mică sau egală cu suma măsurilor exterioare ale E n-urilor. Și amintiți-vă, toate acestea sunt măsurabile. Deci, prin definiție, măsura exterioară este măsura. Deci asta este ceea ce am vrut să spun prin faptul că avem întotdeauna o inegalitate sau avem deja o latură a acestei inegalități din măsura exterioară. Deci acum trebuie doar să arătăm inegalitatea opusă. Acum arătăm că suma n măsură a lui E n este mai mică sau egală cu - deci cum arătăm asta? Fie m un număr natural. Atunci care este măsura unei uniuni finite a acestor tipi? Ei bine, pot scrie asta și ca măsură. Deci, acest lucru este măsurabil și, prin urmare, pot scrie asta ca, de fapt, R intersect. Acesta este un fel de o modalitate stupidă de a scrie, dar o fac doar astfel încât să pară ceva ce am demonstrat deja. Mai devreme, am demonstrat că pentru mulțimi măsurabile, mulțimi măsurabile disjunse, măsura exterioară a unei mulțimi intersectează o uniune finită de mulțimi măsurabile disjunse este egală cu suma acestor măsuri. Și aceasta este egală cu E sub n. Și măsura exterioară a unei mulțimi măsurabile este, prin definiție, din nou, măsura mulțimii. Deci, acesta este egal cu n egal cu 1 cu E sub n. Deci ceea ce am arătat este că, de fapt, pentru o uniune disjunctă finită , măsura este egală cu suma măsurilor. Adică, am demonstrat deja asta, cu excepția unui A acolo. Dar aceasta ne dă inegalitatea opusă odată ce ne dăm seama că avem această sumă care este egală cu măsura și care este mai mică sau egală cu măsura marii uniuni totale. Pentru că acest set este conținut în acest set. Deci ceea ce am este că N a fost arbitrar. Am avut acel lucru din partea stângă este mai mic sau egal cu acest lucru din partea dreaptă pentru N arbitrar. Așa că acum l-am lăsat pe N să meargă la infinit pentru a concluziona că... după cum doriți. Deci aceasta este acea altă proprietate pe care am dorit-o, că măsura unei uniri disjunctive este suma măsurilor. Acum, a fost ultima proprietate pe care am dorit-o că măsura este invariantă de translație. Asta va fi în sarcină, așa că permiteți-mi să o spun aici. Deci ceea ce veți dovedi în sarcină este dacă E este o mulțime măsurabilă și x este în R, atunci deplasarea mulțimii x E plus x, care este mulțimea tuturor y plus x astfel încât y este în E, este măsurabile. Și măsura lui E este egală cu măsura lui E plus x. Așa că aceasta va fi în următoarea sarcină, care va fi atribuirea, cred, 4, care este a treia proprietate pe care ne-am dorit-o. Deci măsura Lebesgue, care este doar o măsură exterioară limitată la clasa de submulțimi măsurabile, care este o algebră sigma, satisface cele trei lucruri majore pe care le doream de la o măsură. Din păcate, măsura nu este definită pe toate submulțimile, dar este definită pe o clasă mare de -- o clasă foarte bogată de submulțimi de numere reale, deoarece conține mulțimi deschise, mulțimi închise și, așa cum am spus, algebrele sigma sunt închise sub luare. intersecții și complemente numărabile. Deci ați putea lua o colecție de mulțimi deschise și să luați intersecția acesteia, care nu este neapărat o mulțime deschisă, dar asta ar fi în algebra sigma. Și apoi ați putea lua o uniune numărabilă a acestor tipuri de mulțimi și să rămâneți în continuare în algebra sigma. Și apoi ați putea să luați complemente ale acestor tipuri de mulțimi și să rămâneți în algebra sigma. Deci, așa cum a spus instructorul meu, dacă poți nota setul, sunt șanse să fie măsurabil. Deci o ultimă teoremă o vom demonstra despre măsură, apoi o vom numi zi și o vom numi pentru teoria măsurării în sine. Apoi vom trece la funcțiile măsurabile, iar apoi integrarea Lebesgue a funcțiilor măsurabile este următoarea, dacă vă place continuitatea măsurării, care este următoarea. Deci, să presupunem că E k este o colecție de mulțimi măsurabile astfel încât E1 este conținut în E2 este conținut în E3 și așa mai departe. Apoi măsura lui k de la 1 la infinitul lui E k-- aceasta este egală cu limită pe măsură ce n merge la infinitul măsurării lui k este egal cu n al lui E k, care este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinitul măsurării lui E n. Acum, trebuie doar să arăt că acest lucru este egal cu asta. Și asta voi arăta, este că aceasta este egală cu aceasta. Faptul că aceasta este egală cu aceasta rezultă din ipoteza că sunt imbricate. E1 este conținut în E2 este conținut în până la E n, deci uniunea este egală cu E n. Așa că voi arăta doar că aceste două lucruri subliniate cu galben sunt egale între ele. Și apoi faptul că acest lucru este egal cu acesta rezultă doar din această presupunere de aici. Deci, pentru dovadă, voi face din nou acest truc unde vom scrie uniunea, această uniune numărabilă, ca o uniune de mulțimi disjunctive. Deci, lăsăm F1 egal cu E1 F k plus 1 egal cu E k plus 1 luăm E k pentru k mai mare sau egal cu 1. Și permiteți-mi doar să remarc, aceasta este egală cu E k plus 1 intersectare E k complement, deoarece sunt imbricate, deoarece E1 este conținut în E2 este conținut și așa mai departe. Și rețineți că, deoarece E k-urile sunt măsurabile, aceasta este măsurabilă, aceasta este măsurabilă. Complementul său este măsurabil. Intersecția este măsurabilă. Deci fiecare dintre acestea sunt măsurabile. Atunci, F k este o colecție disjunctă de mulțimi măsurabile. Și pentru toți n din N, dacă mă uit la uniunea k este egală cu 1 la n din F k-- deci cum construiesc acești tipi? Eu iau F1 pentru a fi E1. F2 va fi E2, ia tot ce era deja conținut în E1. F3 este orice ar fi E3, ia tot ce apărea deja în E2. Deci puteți verifica dacă uniunea de la k este egală cu 1 la n a lui F k este egală cu E n și, prin urmare , de asemenea, că uniunea este egală cu această unire. Și acum, concluzionăm că, dacă iau măsura lui k este egală cu 1 la infinitul lui E k, aceasta este egală cu această uniune aici, care este o uniune de mulțimi măsurabile disjunctive. Deci, aceasta este egală cu suma lui k este egală cu 1 până la infinit a măsurii lui F sub k, care este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit k este egal cu 1 la n măsura lui F k. Și din nou, dacă doriți, pot rescrie aceasta ca limită pe măsură ce n merge la infinit, această sumă finită de măsuri a acestor mulțimi disjunctive, deoarece măsura lui k este egală cu 1 la n din F k care este egală, așa cum am observat chiar aici, este egală cu măsura lui E n. Deci asta are grijă de definiția măsurii Lebesgue. Data viitoare, vom defini funcțiile măsurabile Lebesgue, care sunt, într-un anumit sens -- în ceea ce privește integrarea -- analogul funcțiilor continue. Deci, funcțiile continue au proprietatea că, dacă am un set deschis în țintă, deci dacă F este o funcție care merge de la x la y, dacă am un set deschis în y, atunci imaginea inversă a acelui set deschis este un set deschis în x. Funcțiile măsurabile vor fi similare cu acestea, cu excepția acum cu seturi măsurabile, dar nu chiar. Nu vom cere să ia seturi măsurabile Lebesgue la seturi măsurabile Lebesgue, dar seturile măsurabile Borel la imaginea inversă ar trebui să fie un set măsurabil Lebesgue. Ne oprim acolo.