[SCRÂTÂT] [FÂNĂ CLIC] CASEY RODRIGUES: Așa că voi demonstra câteva teoreme despre limite, care ne vor permite să calculăm limite, sau cel puțin le putem folosi pentru a demonstra că există alte limite netriviale folosind acestea. teoreme, mai degrabă decât utilizarea directă a definiției. Așadar, această primă teoremă este cea mai ușoară teoremă din lume, deoarece este doar reafirmarea definiției convergenței unei secvențe. Așa că o voi afirma după cum urmează, atât de scurt, încât dacă am o secvență x sub n, atunci aceasta converge către x dacă și numai dacă șirul obținut luând valoarea absolută a lui x din n minus x este egală cu 0 , sau limita acelei secvențe este 0. Deci, care este dovada? Rezultă imediat din definiție. Deci nici nu am de gând să scriu nimic. Îți las pe tine. Dar dovada rezultă din definiție și simplul fapt că x sub n minus x în valoare absolută este egală cu valoarea absolută a valorii absolute a x sub n minus x minus 0, OK. Deci, definiția spune că pentru toți epsiloni pozitivi, trebuie să găsiți un M astfel încât acesta să fie mai mic decât epsilon pentru toți m mai mari sau egali cu M majuscul. Dar dacă ați găsit un astfel de M mare pentru ca acesta să fie mai mic decât epsilon, atunci aceasta va fi mai mică decât epsilon, ceea ce înseamnă că această limită este egală cu 0. Și apoi mergând în cealaltă direcție, este același lucru. Deci, acest lucru este doar o urmare directă din definiție și acest fapt simplu. OK, acesta a fost un fapt foarte prostesc despre limite, dar unul foarte util în legătură cu următoarea teoremă, care nu este atât de banală, care este teorema de strângere. Și scrie următoarele. Deci, fie an, bn și xn șiruri astfel încât următoarele sunt valabile pentru toate n numere naturale, un sub n este mai mic sau egal x sub n este mai mic sau egal cu b sub n. Și a sub n și b sub n sunt secvențe convergente. Și limitele lor se egalează între ele. Și sunt date de un număr, numiți-l x. Atunci concluzia este că limita ca n merge la infinit de x sub n este egală cu x. Așa că atunci când scriu așa ceva, ar trebui, de asemenea, un fel de-- există o jumătate de propoziție înainte de asta, care vine cu această zicală, x din n este o secvență de conversie. Și limita sa este egală cu x. Deci sunt două afirmații într-una când scriu asta. Deci, dacă desenați doar o imagine, teorema stoarsă nu ar trebui să fie prea surprinzătoare. Deci, aceasta este o mică discuție. Deci iată x, limita comună a sub n și b sub n. Și astfel ne putem imagina că încercăm să arătăm limita pe măsură ce n merge la infinit de x sub n este egal cu x. Deci, asta înseamnă că trebuie să găsim pentru fiecare epsilon un M majuscule, astfel încât x sub n să fie între x plus epsilon și x minus epsilon. Deci, dacă ies puțin, aș sper că pot găsi un număr natural, un M majuscul, astfel încât x sub n minus x-- sau x sub n să fie în acest mic interval. Acum, dacă presupun că un sub n și x sub n, dacă un sub n și b sub n strâng x sub n, cu alte cuvinte x sub n este între cele două și b sub n converge către x, atunci pentru n mai mare sau egal cu un număr întreg M0, toate b sub n sunt în acest interval. OK, poate că nu sunt acolo. Poate ar putea fi aici. Dar felul în care l-am desenat este chiar în dreapta lui x. Și, de asemenea, deoarece un sub n converge către x, există un alt întreg M sub 1, astfel încât dacă mă uit la un sub n, este și în acest interval. Poate e aici. Poate că este... ei bine, nu poate fi în dreapta lui b sub n pentru că acea inegalitate acolo sus implică strict că un sub n este mai mic sau egal cu b sub n. Dar este în acest interval. Deci, ce ar spune asta dacă mă uit la n mai mare sau egal cu n plus M1, M0 plus M1, atunci n este mai mare decât M0, tipul ăsta. Și n este mai mare decât ambele și M1, tipul ăsta. Și, prin urmare, dacă mă uit la x sub n, va fi între acestea două. Și în special, va fi în acest interval. Deci asta e dovada într-o poză. Și acum scopul nostru este doar să-l notăm. Deci asta e imaginea dovezii. Dar dacă chiar încerci să ghiciți de ce ar fi adevărat? Adică, vă puteți imagina, sub n-urile b, se apropie foarte mult de x. Sub nurile a se apropie foarte mult de x. x sub n este între cele două, așa că devine strâns la x și, prin urmare, numele. OK, așa că acum trebuie doar să transformăm asta în cuvânt scris. Deci trebuie să arătăm - vom arăta că x sub n converge către x. Deci suntem... tot ce avem este o dovadă epsilon delta. Sau am putea folosi acea teoremă. Dar să mergem cu o dovadă epsilon delta. Adică, nu epsilon delta, epsilon M. Epsilon delta dovezi vor veni mai târziu. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Și deoarece b sub n converge către x, există la M0 în numere naturale astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu n sub 0, b sub n minus x este mai mică decât epsilon în valoare absolută, ceea ce este același cu a spune- - Ei bine, vreau să spun că nu este la fel. Dar implică faptul că b sub n este mai mic decât x plus epsilon. Deoarece un sub n converge și la x, există un M sub 1, număr natural, astfel încât pentru toți n mai mari sau egali M1, un sub n minus x în valoare absolută este mai mic decât epsilon, ceea ce implică un sub n este între x minus epsilon și x plus epsilon, dar voi folosi doar una dintre aceste inegalități. Acum voi alege majusculul M pentru secvența mea x sub n, încerc să arăt convergența către x. Deci alegeți m ca să fie m sub zero plus M sub 1. Adică, ați fi putut alege să fie maximul dintre cele două. Dar și asta funcționează bine. Atunci, dacă n este mai mare sau egal cu m, aceasta implică că n este mai mare sau egal cu M0 și M este mai mare sau egal cu M1, ceea ce implică că ambele aceste inegalități sunt valabile pentru acest n. Deci, x minus epsilon este mai mic decât un sub n, care, prin presupunere, este mai mic sau egal cu x sub n, care este mai mic sau egal cu b sub n, care este mai mic decât x plus epsilon. Acum, aceste șiruri de inegalități, prin urmare, ne spun că x minus epsilon este mai mic decât x sub n este mai mic decât x plus epsilon, ceea ce este echivalent cu a spune valoarea absolută a lui x, deci atunci minus x este mai mic decât epsilon. Și, prin urmare, x sub n converge către x. Deci aceste două fapte împreună ne oferă o modalitate foarte robustă și scurtă de a demonstra limitele secvențelor. Deci, de exemplu, permiteți-mi să vă dau unul simplu. Să arătăm limita pe măsură ce n merge la infinitul lui n pătrat peste n pătrat plus n plus 1 este egal cu 1. Deci, vreau să spun, aceasta este o limită foarte simplă pentru a folosi aceste teoreme. Dar, în practică, nu aveți întotdeauna doar o simplă expresie ca aceasta. Și vom folosi aceste două teoreme împreună pentru a demonstra câteva alte teoreme aici într-un minut. Dar haideți să- l vedem în acțiune o dată. Permiteți-mi să mă uit la - deci această secvență converge la 1 dacă și numai dacă valoarea absolută a diferenței converge la 0. Deci, să ne uităm la valoarea absolută a diferenței. Acest lucru este egal cu - acum doar făcând algebra - acest lucru este egal cu - și luând valori absolute îmi dă n plus 1 peste n pătrat plus n plus 1. Și acesta este mai mic sau egal cu. Acest 1 mărește lucrurile , așa că îl pot renunța. Și acesta este mai mic sau egal cu n plus 1 peste n pătrat plus n. Acum, n pătrat plus n pot factor în n ori n plus 1. Deci, asta se anulează cu acest n plus 1 deasupra. Și am doar 1 peste n. Deci 0 este mai mic sau egal cu n pătrat peste n pătrat plus n plus 1 minus 1, care este mai mic sau egal cu 1 peste n. Acum, 1 peste n am arătat folosind dovada epsilon delta-- Adică, dovada epsilon M. Am arătat că 1 peste n converge către 0. Deci, deoarece 0 converge către 0, partea stângă și 1 peste n converge către 0, partea dreaptă, ceea ce implică, prin teorema strângerii, n pătrat peste n pătrat plus n plus 1 minus 1 converge spre 0 prin teorema de strângere. Ceea ce implică că n pătrat peste n pătrat plus n plus 1 converge la 1 după prima teoremă. OK, acum îți poți imagina că în loc să ai asta la dispoziție, ți-am cerut să faci o dovadă epsilon, o dovadă epsilon M a acestei afirmații, atunci ai fi luat asta și te-ai fi jucat cu ea exact așa cum am făcut noi aici și ai ajuns la 1 peste n. Și, prin urmare, dacă acesta este mai mic decât epsilon, asta ar implica că acesta este mai mic decât epsilon. Deci, ați alege M majuscul pentru a fi - astfel încât 1 peste M capital să fie mai mic decât epsilon. Dar folosirea acestor două teoreme ne economisește puțină muncă și puțin timp. OK, acum, așa că la sfârșitul prelegerii data trecută, am discutat despre noțiunea de subsecvențe. Și am arătat că limitarea-- limitele și subsecvențele interacționează frumos, adică dacă am o secvență convergentă, atunci fiecare subsecvență converge către același lucru. Deci acum o întrebare firească este cum interacționează limitele cu ordinea numerelor reale? R are aceste două proprietăți fundamentale despre el, că este-- deci, în primul rând, că are cea mai mică proprietate superioară și, de asemenea, că este un câmp ordonat. Deci prima întrebare naturală este cum interacționează această definiție a convergenței limită cu ordinea? Deci prima teoremă afirmă, sau acest termen care răspunde la această întrebare este următorul este că limitează respectarea ordinii, practic. Deci, dacă xn, yn, sunt secvențe convergente și pentru tot n, xn este mai mic sau egal cu yn, atunci care ar trebui să fie concluzia? Limita ca n merge la infinit. Deci ceea ce am spus acum un minut ca limitele respectă inegalitatea. Atunci ar trebui să fiu capabil să iau limitele ambelor părți și să am în continuare această inegalitate. Atunci limita pe măsură ce n merge la infinit este mai mică sau egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit pentru y sub n. Și un simplu corolar care decurge din aceasta este că, dacă x sub n este o succesiune convergentă și pentru tot n un număr natural, aveți două numere a și b, astfel încât un sub n este mai mic sau egal cu - sau a este mai mic sau egal cu x sub n este mai mic sau egal cu b, atunci acest lucru implică faptul că limita lui x sub n este, de asemenea, între a și b. Permiteți-mi să spun ceva foarte scurt despre ceea ce spune și nu. Deci ce nu spune asta? S- ar putea să pierzi o inegalitate strictă, adică ce? Se poate întâmpla ca x sub n să fie mai mic decât y sub n pentru toți n, dar limita lui x sub n este egală cu limita lui y sub n. Deci, pur și simplu, a avea mai puțin de x sub n mai mic decât y sub n nu înseamnă că limita lui x sub n este mai mică decât limita lui y sub n. Bine, deci ce vreau să spun cu asta? Aceasta nu înseamnă că limita este mai mică decât y sub n. Acum, în acest moment al orei, aș ruga pe cineva să-mi dea un contra-exemplu. Deci, în acest moment, o să iau o mușcătură din prăjitura mea și să vă las să vă gândiți la asta. Nu a trebuit să iau o mușcătură din prăjitura mea. Puteai să întrerupi videoclipul și să te gândești la el. Dar atunci n-aș lua nici o mușcătură din prăjitura mea. OK, deci care este un exemplu de două secvențe care satisfac asta, dar nu satisfac asta? Dacă x sub n este egal cu 0 pentru tot n, iar y sub n este egal cu 1 peste n, atunci x sub n este mai mic decât y sub n pentru tot n. Și care este limita x sub n? Ei bine, asta este doar 0. Și înainte de limita lui y sub n, asta este doar 0. Și aceste două lucruri sunt egale. Nu este mai puțin decât atât, OK. Așa că vreau doar să subliniez acel punct mic. Ar putea apărea ca o mică întrebare cu privire la unul dintre mandatele de la jumătatea termenului-- Ar trebui să spun termenul de la mijlocul perioadei-- și, eventual, finala. În regulă, deci să demonstrăm... [TUSE] hai să demonstrăm 1. 2 urmează imediat de la unu. Pentru doi, pur și simplu luăm, de exemplu, inegalitatea superioară x sub n este mai mică sau egală cu b, luăm y sub n ca șirul constant b. Și pentru celălalt, am lua ca șirul mai mare x sub n, iar secvența mai mică este șirul constant a. Deci doi urmează imediat de la 1, așa că vom face doar 1. Și nu am făcut o dovadă prin contradicție de ceva vreme, așa că de ce să nu o facem prin contradicție? OK, deci dovada - să etichetăm aceste secvențe, astfel încât să nu trebuie să scriu limită pe măsură ce n merge la infinit și limita pentru x sub n și limită pe măsură ce n merge la infinitul y sub n atât de mult. Deci să numim limitele lor x și y. Și ce vrem să arătăm? x este mai mic sau egal cu y. Acesta este scopul nostru. Și vom demonstra acest lucru prin contradicție. Adică, să presupunem că y este mai mic decât x și să ajungem la o afirmație falsă, care contrazice setarea ipotezelor noastre pe care le avem. Să presupunem că y este mai mic decât x. Acum, permiteți-mi să fac o imagine aici pentru a merge împreună cu ceea ce se va întâmpla. Deci, dacă y este mai mic decât x, toate sub-nurile y trebuie să fie aproape de y dacă merg suficient de departe. Și toate x sub n-urile trebuie să fie aproape de x atâta timp cât merg suficient de departe. Deci asta ar contrazice în cele din urmă faptul că x sub n-urile ar trebui să fie mai mici sau egale cu y sub n-urile, dacă y este mai mic decât x. Și să presupunem că ies afară, să spunem, jumătate din distanța dintre y și x. Deci acesta este ca punctul de mijloc. Și toate sub n-urile y sunt aici, și toate sub-n-urile x sunt aici și sub-n-urile y sunt aici, atunci nu pot avea x sub n mai mic sau egal cu y sub n, care este presupunerea mea, care este ipoteza din teorema mea. Acum, poate ar fi trebuit să scriu asta aici. Uneori este bine să reiterezi care sunt presupunerile tale. Să presupunem că pentru tot n, x sub n este mai mic decât or-- y sub n. Și... așa. Și lucrul pe care încercăm să-l arătăm este acesta, OK. Așa că presupunem negația acestui lucru și ajungem la o contradicție cu lucrurile pe care le presupunem, sau doar cu faptele generale adevărate. A trebuit să adaug cuvântul adevărat pe fapte, pentru că, așa cum am spus, la un moment dat există fapte alternative care zboară pe acolo. OK, deci această imagine, o vom transforma într-o dovadă. Deci, deoarece yn converge către y, există un număr natural M sub 0 astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M sub 0, y sub n minus y este mai mic decât x minus y peste 2. Acum, acesta este un număr pozitiv, pentru că presupunem că x este mai mare decât y. Și prin definiția limitei, având în vedere orice număr pozitiv, pot găsi un număr întreg, astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu acel număr întreg, acest lucru este mai mic decât acel număr mic. Și aleg doar acel număr mic să fie acest număr mic foarte special, pentru că asta mă va ajuta să ajung la o contradicție. Deoarece xn converge către x, există numărul natural M1 astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M1, x sub n minus x este mai mic decât același lucru. OK, deci aceasta este punerea într-o formă precisă a ceea ce spuneam că toate x sub n vor fi aproape de x în cele din urmă. Și toate y sub n-urile să fie aproape de y în cele din urmă. Și cum până la urmă? Ei bine, până la urmă suficient încât să fiu în aceste două intervale disjunse, OK. Fie n M sub 0 plus M sub 1. Atunci n este mai mare sau egal cu M sub 0. Și n este mai mare sau egal cu M sub 1. Deci ambele aceste inegalități sunt valabile pentru acest n și ce înseamnă aceasta ? Ei bine, atunci asta implică faptul că y sub n-- așa că permiteți-mi să abordez încă o inegalitate. Doar prin eliminarea valorilor absolute și adăugarea y, acest lucru îmi spune că y sub n este mai mic decât x plus y peste 2. Și asta îmi spune că x sub n este mai mic decât-- sau în alt mod, îmi pare rău. Ei bine, o să scriem asta aici. Deci, y sub n este mai mic decât y plus x minus y peste 2, care este egal cu x plus y peste 2, care este egal cu x minus x minus y peste 2. Și acesta este mai mic decât x sub n prin a doua inegalitate. Deci aceasta rezultă din prima inegalitate. Aceasta rezultă din a doua inegalitate, care implică pentru acest n specific, y sub n este mai mic decât x sub n. Și aceasta este o contradicție cu presupunerea noastră că y sub n este mai mare sau egal cu x sub n pentru tot n. Deci tocmai descoperisem, pe baza acestei presupuneri de aici, că ajungem la o contradicție cu celelalte presupuneri ale noastre. Și, prin urmare, acest lucru trebuie să fie fals. Așa interacționează limitele cu inegalitățile. Deci, dacă am două secvențe, una mai mare decât cealaltă, atunci limitele respectă acea inegalitate. Aceasta trebuie să se ocupe de faptul că partea de comandă a lui R este un câmp ordonat. Deci, cum rămâne cu partea de câmp din R fiind un câmp ordonat? Deci, cum interacționează limitele cu operațiile algebrice? Bine, destul de bine, se dovedește. Deci haideți la teoremă. Deci, să presupunem că am două secvențe de convergență, limită pe măsură ce n merge la infinitul de x sub n este egal cu x și limită pe măsură ce n merge la infinitul lui y sub n este egal cu y, atunci mai multe lucruri sunt valabile. Primul este că, din nou, ar trebui să citiți acest lucru ca două declarații scrise într-una, limitați pe măsură ce n merge la infinit de x sub n plus y sub n. Deci aceasta este o nouă secvență pe care am format-o luând doar suma termen cu termen a acestor două lucruri. Această secvență, această nouă secvență este convergentă. Și limita este egală cu suma limitelor, bine? Al doilea este, pentru tot c din R, limita pe măsură ce n merge la infinit a noii secvențe obținute luând fiecare intrare a șirului x sub n și înmulțind-o cu acest număr fix c, limita acelui produs este produsul lui c și x. Deci limitele respectă ceea ce s-ar numi multiplicare scalară. Dar am putea fi mai generali decât atât. c vă puteți gândi doar ca un exemplu de succesiune convergentă, doar o secvență constantă. Dar, în general, avem că produsul a două secvențe convergente este convergent. Iar limita produsului este produsul limitei. Și, în sfârșit, dacă avem ceva pentru... scrieți-l aici... dacă avem ceva pentru un produs, atunci poate că avem ceva după coeficient. Și asta atâta timp cât putem împărți lucrurile. Deci, dacă pentru tot n, y sub n nu este egal cu 0, iar limita y nu este egală cu 0, atunci limita coeficientului x sub n peste y sub n este câtul limitelor, OK. OK, așa că o vom demonstra prima folosind această schemă de folosire atât a acestei teoreme simple despre limite, cât și a teoremei de strângere. Și este destul de simplu. Deci folosim doar inegalitatea triunghiului. Prin inegalitatea triunghiului, 0 este mai mic sau egal cu x sub n plus y sub n minus x plus . Și x sub n minus x, y sub n minus y. Și apoi folosesc inegalitatea triunghiului. Primesc x sub n minus x plus y sub n-- oh-- știi ce, zgârie asta. Pentru că, de fapt, încercam să fiu prea inteligent și aș fi ajuns să folosesc teorema pentru a demonstra teorema. Deci să nu facem asta. Nu este niciodată bine să folosiți teorema pe care încercați să o demonstrați pentru a demonstra teorema pe care încercați să o demonstrați. Deci, să ne întoarcem la elementele de bază și să folosim definiția. Fie epsilonul să fie pozitiv. Deci, deoarece x sub n converge către x, există un număr natural M astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M0, x sub n minus x-- se presupune că este un n, dar arată ca un k-- mai mic decât epsilon peste 2. De ce 2? Ei bine, vei vedea într-un minut. Și, în mod similar, pentru șirul y, există numărul natural M1 astfel încât pentru tot n mai mare sau egal cu M1, y sub n minus y este mai mic decât epsilon peste 2. Deci am aceste două numere întregi, care îmi sunt date de faptul că x sub n converge către x, y sub n converge către y și definiția convergenței. Pot găsi întotdeauna aceste două numere întregi pentru orice toleranță mică. Și aleg ca toleranța să fie epsilon peste 2 dintr-un motiv oarecare, pe care îl vei vedea într-un minut. Și deci care este capitalul întreg M pe care îl aleg pentru acest epsilon pentru șirul x sub n plus y sub n? Voi alege M să fie M0 plus M1. Și acum trebuie să arăt că această alegere a lui M funcționează. Și dacă n este mai mare sau egal cu M, aceasta înseamnă că n este mai mare sau egal cu M0. Și M este mai mare sau egal cu M1. Deci ambele aceste inegalități sunt valabile pentru acest n. Și prin urmare obțin x sub n plus y sub n minus x plus y. Și acum fac ceea ce urma să fac acum un minut când aveam de gând să folosesc teorema pentru a demonstra o teoremă. x sub n minus x, y sub n minus y, le grupez împreună. Și apoi am folosit o inegalitate triunghiulară. Acesta este mai mic sau egal cu x sub n minus x plus y sub n minus y. Și acum este mai puțin decât epsilon peste 2. Acesta este mai puțin decât epsilon peste 2, deci este egal cu epsilon. Și acum puteți vedea de ce am ales 2. Pentru că am vrut să arăt că asta a fost mai puțin de epsilon. Și am avut control asupra acestor două lucruri. Și suma controalelor îmi dă epsilon. Așa că aleg controlul să fie epsilon peste 2. Dacă aș avea trei secvențe, atunci probabil ați putea ghici care este epsilon peste 3. Adică dacă aș avea secvențe x sun n y sub n și z sub n și m-am uitat la suma x sub n plus y sub n plus z sub n, aș putea arăta că converge către suma limitelor. Și aș alege aceste numere întregi M sub 0, M sub 1, M sub 2, astfel încât să am epsilon peste 3 aici, astfel încât să însumeze epsilon. Așa că acum demonstrăm 2, că pentru această înmulțire scalară unică, dacă vă place în cazul în care doar înmulțiți fiecare termen cu un singur număr, limita respectă acea înmulțire. Faceți din nou o dovadă epsilon. Deoarece x sub n converge la x -- deci acum încercăm să arătăm acea a doua limită -- există M sub 0, un număr natural, astfel încât pentru tot n decât sau egal cu M sub 0, x sub n minus x este mai mic decât epsilon peste valoarea absolută a lui c plus 1, OK. Și acum trebuie să ai încredere în mine, de ce chestia aia? Ei bine, vei vedea. Va ieși exact așa cum a făcut asta. Deci, pentru secvența c ori x sub n, vom alege M să fie doar acest M sub 0. Atunci, dacă n este mai mare sau egal cu M, care este egal cu M sub 0, aceasta implică că această inegalitate este valabilă. Și, prin urmare, c ori x sub n minus c ori x. Acest c iese din valoarea absolută și devine valoarea absolută a lui c ori valoarea absolută a lui x sub n minus x. Și care este mai puțin decât... așa că scriu mai puțin decât aici. Dar chestia asta este mai puțin decât atât. [INAUDIBLE] este mai mic decât c peste c plus 1 epsilon. Acum, acest coeficient de aici, acest număr peste acest număr plus 1, este întotdeauna mai mic decât 1. Deci acest număr pozitiv care este mai mic de 1 sau un număr nenegativ care este mai mic decât 1 va fi mai mic de 1 ori epsilon, ceea ce îmi dă epsilon. Și poate vă întrebați de ce n-am ales... deci asta este doar o mică picătură de sofisticare, nu mult, doar puțin. De ce nu am ales asta astfel încât să fie epsilon față de valoarea absolută a lui c, astfel încât atunci când îmi rămân în inegalitatea pentru acest tip, să obțin epsilon? Ei bine, ce se întâmplă dacă c este egal cu 0? Deci, vă spun să alegeți capital M sub 0, astfel încât valoarea absolută a lui x sub n minus x să fie mai mică decât epsilon peste 0. Împărțirea cu 0 este un nu nu. Dar dacă o încurcăm puțin adăugând 1, obținem ceva care încă își face treaba. Încă îmi dă un număr care nu este negativ și mai mic de 1, ceea ce este suficient, OK. Deci haideți să demonstrăm că limita produsului este produsul limitelor. Deoarece șirul y sub n converge către y, este o secvență convergentă și, prin urmare, este mărginită. Aceasta înseamnă că există un număr real nenegativ b astfel încât pentru toate numerele naturale n, y sub n este mai mic sau egal cu b în valoare absolută. Apoi mă uit la x sub n ori y sub n minus x ori y și adun și scad de x ori y sub n. Puteți scrie asta ca plus. Și acum folosesc inegalitatea triunghiului că aceasta este mai mică sau egală cu x sub n minus x ori y sub n plus y sub n minus y ori valoarea absolută a lui x. Și y sub n este mărginit de b pentru tot n. Deci, acesta este mai mic sau egal cu - plus y sub n minus y ori valoarea absolută a lui x. Acum, permiteți-mi să afirm că este evident că 0 este mai mic sau egal cu x sub n ori y sub n minus x ori y. Și aceasta este mai mică sau egală cu, așa cum am arătat aici, plus x ori și sub n minus y. Acum, partea dreaptă - deci partea stângă a acestei inegalități converge la 0. Și partea dreaptă converge la 0 pentru că tocmai am arătat cu 1 și 2. Cu 2, aceasta converge către 0. Și după acea teoremă , deoarece xn converge către x, acest produs aici converge către 0. b este un număr fix. Și același lucru pentru asta, care converge la 0. Și, prin urmare, cu 2, această sumă converge către 0. OK, deci aceste două săgeți sunt cu 2. Și aceasta este cu 1. Așa că permiteți-mi să rezumam cu 1 și 2 dreapta -partea de mână a acestei inegalități, b ori x sub n minus x plus o valoare absolută de x ori y sub n minus y. Aceasta converge la 0. Ceea ce, prin teorema de strângere implică faptul că-- aceasta este prin teorema de strângere-- ceea ce implică că x sub n ori y sub n converge la x ori y prin prima teoremă. Deci nu mă voi continua să mă refer la prima teoremă. Pentru că este un fapt atât de simplu, voi continua să- l folosesc fără a-l referi, și anume că șirul, o secvență converge către x dacă și numai dacă valoarea absolută a acestui lucru, această diferență, converge la 0, OK. În regulă, asta dovedește că limita produsului este produsul limitelor. Acum, pentru coeficient putem folosi 3 odată ce l-am dovedit pentru doar 1 peste y sub n. Deci ce vreau să spun? Deci acum presupunem că y sub n nu este egal cu 0 pentru tot n. Și y nu este egal cu 0. Deci, dacă demonstrăm această afirmație că limita ca n merge la infinit de 1 peste y sub n este egală cu 1 peste y, atunci cu 3 implică că limita ca n merge la infinit de x sub n peste y sub n este egal cu x peste y. Deoarece x sub n peste y sub n este doar un produs al lui x sub n și 1 peste y sub n. Deci, trebuie doar să dovedim acest caz special, dacă doriți. Și trebuie să o facem cam la fel. Acum, pentru că împărțim la y sub n, așa că aici folosim că am avut o limită superioară pentru produs aici. Dar când luăm 1 peste y sub n pentru a obține o limită superioară a acesteia, înseamnă că avem nevoie de o limită inferioară pentru y sub n, pe valorile absolute ale y sub n. Și obținem asta prin presupunerea noastră că limita este diferită de zero pentru toți n, la fel și sub n-urile y. Deci, primul lucru pe care îl dovedim, sau permiteți-mi să scriu asta ca o afirmație, există un număr pozitiv b, mic b, astfel încât pentru toate numerele naturale n, y sub n este mai mare sau egal cu b. Și știm că o secvență este mărginită. Deci știm că există întotdeauna un capital B, astfel încât valoarea absolută a lui y sub n este mai mică sau egală cu b. Dar pentru secvențe care sunt non-zero și care converg către o limită diferită de zero, atunci le puteți lega de la 0. Și este cam aceeași dovadă pe care am dat-o pentru a arăta că o secvență convergentă este mărginită mai sus. Așa că lasă-mă să fac o imagine rapidă. Și să presupunem că limita este pozitivă doar de dragul imaginii. Deci, aceasta este o mică discuție despre de ce este adevărat. Și această imagine va arăta - cel puțin explicația va fi oarecum similară cu motivul pentru care o secvență este mărginită. Și acesta este motivul pentru care este mărginit mai jos. Deci să presupunem că limita y este pozitivă. Și să zicem că ies la distanță, să zicem, y peste 2 ca să fiu încă pozitiv. Deci, acesta este y minus y peste 2, valoare absolută. Deci în această imagine y este pozitiv. Deci este doar egal cu y peste 2. Atunci ce pot să spun? Că, în cele din urmă, toate sub- urile y sunt aici în acest interval, departe de 0. Și, de fapt, valoarea lor absolută este mărginită de y peste 2. Așa că permiteți-mi să o scriu așa. Deci, toate sub-nurile y sau n mai mari sau egale cu unele M, toate trebuie să se afle în acest interval deoarece converg către y și y este pozitiv. Și, prin urmare, în valoare absolută, toate sunt mărginite deasupra-- mai jos, vreau să spun-- cu y peste 2. Toate sunt cel puțin distanța y peste 2 la 0. Bine, și atunci tot ce mai rămâne de gestionat sunt... poate numărul finit care au rămas, y sub 1, y sub 2, y sub m minus 1, care sunt împrăștiate pe linia reală, dar sunt diferite de zero. Deci, vom ajunge să luăm minimul acestui număr și valoarea absolută a acestor numere. Deci, deoarece y sub n converg către y, iar y nu este egal cu 0, există un întreg M astfel încât toți n mai mari sau egali cu capital M. Deci această imagine a fost motivul pentru care această afirmație este adevărată. Nu a fost dovada de ce această afirmație este adevărată. Ceea ce scriu acum este dovada reală a motivului pentru care această afirmație este adevărată - astfel încât pentru toate n mai mari sau egale cu M majuscule, y sub n minus y în valoare absolută este mai mică decât y peste 2. Deci, pentru aceasta poza pe care am desenat-o unde y este pozitiv. Ar fi fost y peste 2. Dar trebuie să utilizați o valoare absolută pentru celălalt caz în care y este negativ, deoarece acesta trebuie să fie un număr pozitiv. Atunci, pentru toate n mai mari sau egale cu M, aceasta orice inegalitate și inegalitatea triunghiului îmi dă-- deci dacă mă uit la valoarea absolută a lui y, aceasta este egală cu valoarea absolută a lui y minus y sub n plus y sub n . Și acum folosesc o inegalitate triunghiulară, care este mai mică decât - aceasta este mai mică decât y peste 2 plus y sub n. Și am început cu valoarea absolută a lui y. Deci, când scad asta peste, asta îmi spune că valoarea absolută a lui y peste 2 este mai mică decât valoarea absolută a lui y sub n pentru toate n mai mari sau egale cu M majuscul. Deci, las ca b să fie minimul mai multor numere . stiu ca scriu min, dar ar trebui sa scriu inf. Dar, dacă doriți, permiteți-mi să scriu inf din y1, Ym minus 1 și y peste 2. Și, după ceea ce faceți cu sarcina, cred că a fost sarcina 2, acest inf există întotdeauna într-un set finit. Acesta este un set finit de numere pozitive. Și, prin urmare, infimumul există ca unul dintre aceste elemente. Unul dintre aceste numere M este infimul. Și toate sunt pozitive, deci acesta este un număr pozitiv. Și astfel, pur și simplu, cum este definit acest număr, rezultă că pentru tot n, y sub n este mai mare sau egal cu b. Pentru că, din nou, dacă n este între-- mic n este între 1 și capitalul M minus 1, atunci cu siguranță că valoarea absolută a acelui lucru este mai mare sau egală cu cea mai mică dintre toate acestea, care este mai mare sau egală cu b. Și dacă n este mai mare sau egal cu capitalul M, atunci am demonstrat aici că y sub n este mai mare decât valoarea absolută a lui y peste 2, care este mai mare sau egală cu minimul acestor numere și y peste 2, care egal cu b. Bine, deci asta dovedește afirmația. Asta dovedește afirmația. Dar nu am demonstrat încă ceea ce am vrut să facem că limita ca n merge la infinit de 1 peste y sub n este egală cu 1 peste y. Dar acest lucru rezultă aproape imediat din ceea ce am făcut până acum. Așa că acum vom folosi afirmația pentru a o dovedi. Deci ne uităm la -- calculăm că 0 este mai mic sau egal cu 1 peste y sub n minus 1 peste y. Vom arăta că aceasta ajunge la 0 folosind acele două teoreme. Și, prin algebră, este egal cu - și folosind valoarea absolută, acesta este 1 peste y sub n minus y. Adică, valoarea absolută a lui y sub n minus y peste valoarea absolută a lui y sub n valoarea absolută a lui y. Acum y sub n este mai mare sau egal cu b. Deci, acesta este mai mic sau egal cu 1 peste b ori y ori y sub n minus y. Deci, doar pentru a rezuma, am arătat că 0 este mai mic decât 1 peste y sub n minus 1 peste y este mai mic decât 1 peste b ori 1 peste - b ori valoarea absolută a lui y ori sub n minus y. Acum, aceasta merge la 0 pentru că este doar o secvență constantă. Aceasta converge la 0 deoarece y sub n minus y în valoare absolută ajunge la 0. Acesta este doar un număr fix de ori. Și prin ceea ce am dovedit pentru 2, acest produs converge la 0. Deci, prin teorema de strângere, obținem acel 1 peste y sub n, acesta converge la 0, ceea ce implică -- OK. Deci, o altă mare proprietate despre numerele reale pe care am demonstrat-o după ce am afirmat existența numerelor reale, ceea ce nu uitați că acesta este definit ca acest câmp ordonat cu o proprietate minimă. Am demonstrat că rădăcina pătrată a lui 2 există ca număr real. Nu a fost nimic special la 2. De fapt, ai putea dovedi că rădăcina pătrată a lui x există ca număr real pentru orice x care este un număr pozitiv sau nenegativ. Deci rădăcina pătrată a unui număr real este bine definită. Sau rădăcina pătrată a unui număr nenegativ este bine definită și există întotdeauna ca număr real. Deci vă puteți întreba cum interacționează limitele cu rădăcinile pătrate? Și interacționează exact așa cum crezi că ar trebui. Dacă am o secvență astfel încât pentru tot n, x sub n este mai mare sau egal cu 0 și este o secvență convergentă, care converge către un număr x, atunci limita rădăcinilor pătrate ale acestor băieți este egală cu rădăcina pătrată a limită, ok. Acum, vreau să luați o secundă aici și să înțelegeți că aceasta este o declarație semnificativă. Pentru că, din moment ce x sub n sunt toate nenegative printr-o teoremă care-- să vedem, am șters-o deja? Cel care a trebuit să se ocupe de limite și ordine, deci din moment ce x sub n sunt toate nenegative, asta implică că x este nenegativ, astfel încât rădăcina pătrată are sens. OK, deci mai întâi verificați de fiecare dată când cineva spune că aici este această teoremă, sau această teoremă este -- cred că această teoremă este adevărată -- trebuie să verificați pentru a vă asigura că o teoremă are sens. Deci haideți să demonstrăm asta. Deci sunt două cazuri de luat în considerare, x este egal cu 0 sau x este diferit de zero. Deci, să facem primul caz. Deci limita este 0. Deci vom face această demonstrație folosind definiția limitelor, adică definiția epsilon M. Deci vrem să arătăm că limita rădăcinii pătrate a lui x sub n este egală cu 0. Fie deci epsilon pozitiv. Și deoarece x sub n converge la 0, există un număr natural n sub 0 astfel încât, dacă n este mai mare sau egal cu M0, atunci x sub n minus limita, care este doar 0, și luând valoarea absolută, care este doar x sub n, care este egal cu x sub n deoarece x sub n este nenegativ, este mai mic decât epsilon pătrat. Amintiți-vă, pot găsi întotdeauna, indiferent de ce se află sub mâna mea, deoarece x sub n converge la 0, pot găsi un număr natural, astfel încât acel lucru să fie mai mic decât ceea ce este sub mâna mea. Și lucrul pe care îl voi avea sub mâna mea care va face lucrurile să meargă pentru rădăcina pătrată este epsilon pătrat, OK. Alegeți M ca să fie M sub 0. Deci voi arăta că acest M funcționează pentru secvența rădăcină pătrată a lui x sub n. Și n mai mare sau egal cu M. Rădăcina pătrată a lui x sub n minus 0, care este doar x sub n. Acum, este, de asemenea, deci nu am demonstrat asta strict vorbind, dar nu este prea greu să arătăm că rădăcinile pătrate respectă inegalitățile. Deci x sub n este mai mic decât epsilon pătrat. Deci rădăcina pătrată este mai mică decât epsilon pătrat, ceea ce este egal cu epsilon. Deci, al doilea caz este x nu este egal cu 0. Și pentru a face acest caz, vom folosi din nou acele două teoreme. Și să ne uităm la rădăcina pătrată a lui x sub n minus rădăcina pătrată a lui x. Acum, dacă scriu asta ca-- și înmulțesc sus și jos cu x sub n plus rădăcina pătrată a lui x, rădăcina pătrată a lui x sub n plus rădăcina pătrată a lui x, care este un număr pozitiv. Este bine să împărțiți și la el , deoarece x este diferit de zero. Deci aici nu este doar diferit de zero, este pozitiv. Pentru că x trebuie să fie nenegativ. Acum, acesta este produsul a ceva minus altceva cu ceva plus altceva. Deci asta va fi diferența de pătrate. Deci este egal cu-- peste-- și, din nou, acestea sunt numere pozitive, astfel încât să iasă din valoarea absolută. Și asta nu este negativ. Deci, de fapt, face lucrurile mai mari în partea de jos și, prin urmare, lucrurile mai mici în general. Deci, acesta este mai mic sau egal cu -- doar dacă îl înlocuiesc cu rădăcina pătrată a lui x. Deci ce am dovedit? 1 peste rădăcina pătrată a lui x-- în regulă. Și astfel, prin presupunere, x sub n converge către x. Deci, acesta merge la 0. Acesta este un număr fix înmulțit cu acest lucru care merge la 0. Deci, prin numărul 2 și teorema pe care am demonstrat-o mai înainte, întregul produs converge la 0. Deci și, desigur, acesta converge la 0. Deci acest lucru în mijloc trebuie să convergă la 0 prin teorema de strângere. Deci asta este rădăcina pătrată. Și permiteți-mi doar să remarc că - deci acest număr 3 de aici, că limita produsului este un produs al limitelor, aceasta implică astfel că limita lui xn pătrat converge către x pătrat. Deci pătratul lui x sub n converge către pătratul limitei. Și prin inducție, puteți arăta că puterea a patra cubului, puterea a cincea a lui x sub n converge către puterea a patra, puterea a cincea a lui x. Și nu numai atât, poți și dovedi... așa că nu voi face asta. Și nici nu te voi forța. Dar știți că acestea sunt fapte, că nu trebuie să iau doar rădăcina pătrată, aș putea lua rădăcina k-a. Și această afirmație este încă adevărată că, dacă x sub n este mai mare sau egal cu 0 pentru tot n, și am o limită, atunci rădăcina k-a a lui x sub n converge către rădăcina k-a a lui x. Deci, teorema finală pe care o vom demonstra astăzi, care va concluziona faptele noastre despre limite, este că avem... Adică, am folosit-o tot timpul, deși nu i-am acordat o atenție specială. Numerele reale de acolo, acesta, din nou, așa cum am spus, un câmp ordonat cu o proprietate minimă. Deci am văzut cum interacționează limitele cu această structură a numerelor reale. Dar au asociată și o distanță , valoarea absolută. Distanța de la două numere a și b este valoarea absolută a a minus b. Sau distanța de la un număr la 0 este doar valoarea absolută a acelui număr. Deci s-ar putea întreba, cum interacționează limita cu această structură suplimentară a valorii absolute? Și așa cum totul a fost bine până acum cu limitele, este la fel și cu valoarea absolută și anume că limitele respectă valoarea absolută. Deci, dacă x sub n este secvența convergentă, limita x, atunci șirul de valori absolute este de asemenea o secvență convergentă. Și limita pe măsură ce n merge la infinit de valori absolute este egală cu valoarea absolută a limitei. Acum, permiteți-mi, din nou, să încercăm să ne gândim puțin mai profund la acest lucru rapid. Dacă am o secvență de convergență și valorile absolute converg, este valabil inversul? Dacă valorile absolute converg, aceasta implică faptul că secvența inițială converge? Și răspunsul este, desigur, nu. Ei bine, nu desigur. Nici măcar nu ți-am dat un minut să te gândești la asta. Dar de ce inversul nu este adevărat? Așa că permiteți-mi să fac asta o remarcă. Reversul nu este adevărat, deoarece ați putea privi la x sub n egal cu minus 1 la n. Apoi, valorile absolute ale acestor tipi converg, dar secvența originală nu converge. Deci aceasta este o stradă cu sens unic pentru convergență și convergența valorilor absolute. Așadar, înainte de a demonstra această teoremă, permiteți- mi să demonstrez o inegalitate rapidă pe care cred că am spus că o voi pune pe sarcină și apoi am uitat să o pun pe sarcină. Dar ar trebui să știi. Deci, această teoremă este inegalitatea triunghiului invers care afirmă pentru tot numărul real a, b, valoarea absolută a diferenței în valori absolute este mai mică sau egală cu valoarea absolută a diferenței. OK, deci demonstrația acestei inegalități triunghiulare inversă folosește doar inegalitatea triunghiului original. Deci valoarea absolută a lui a, aceasta este egală cu valoarea absolută a lui a minus b plus b. Și aceasta este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui a minus b plus valoarea absolută a lui b. Și astfel valoarea absolută a lui a minus valoarea absolută a lui b este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui a minus b. Acum, acestea sunt doar două numere, mă refer la două litere, inversează literele. În acest argument înlocuiți a cu b și b cu a. Deci, primesc b minus valoarea absolută. Valoarea absolută a lui b minus valoarea absolută a lui a este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui b minus a, care este aceeași cu aceasta. Și, prin urmare, permiteți-mi să înmulțesc cu minus 1 și asta îmi spune: OK, deci am că aceasta este mai mică sau egală cu valoarea absolută a minusului b. De asemenea, am că este mai mare sau egal cu minus valoarea absolută a minus b. Și, prin urmare, valoarea absolută a lui a minus valoarea absolută a lui b este mai mică sau egală cu valoarea absolută a lui a minus b. Deci, este tabu să scriu pe tabla din spate, dar o voi face oricum. Deci asta a fost dovada inegalității triunghiului invers. Iată demonstrația teoremei înaintea acesteia. Rezultă doar din inegalitatea triunghiului invers și acea combinație a acestor două teoreme de acolo. Avem că valoarea absolută a lui x sub n minus valoarea absolută a lui x. Aceasta este mai mică sau egală cu, prin inegalitatea triunghiului invers , valoarea absolută a lui x sub n minus x. Deci aceasta este prin inegalitatea triunghiului invers. Și prin presupunere, aceasta converge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Deci, după teorema de strângere, aceasta ajunge la 0. Și, prin urmare, valoarea absolută a lui x sub n converge către valoarea absolută a lui x. Și asta este tot pentru acea dovadă pentru această prelegere și pentru această săptămână.