[SCRÂȘIT] [FOȘTIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Bine. Deci ultima prelegere, ne-am încheiat discuția despre funcțiile măsurabile, adică seturile măsurabile. Și amintiți-vă că motivația noastră inițială a fost aceea că încercăm să construim o integrală care depășește cumva proprietățile integralei Riemann prin aceea că, sperăm, această clasă mai mare de funcții care sunt integrale în raport cu această integrală formează un spațiu Banach spre deosebire de la funcţiile integrale Riemann. Și am început prin a pune întrebarea cum am integra cele mai simple tipuri de funcții, care sunt doar una într-un set și zero din el. Și asta ne-a condus la cum să definim măsura. Și apoi definim mulțimi măsurabile Lebesgue, am demonstrat că ele formează acest tip special de colecție de mulțimi numită algebră sigma și că conțin o mulțime de mulțimi, o mulțime de mulțimi interesante, deschise, închise, uniuni, uniuni numărabile de închise. , care nu sunt neapărat închise, intersecții numărabile ale deschiderilor, care nu sunt neapărat deschise și așa mai departe. Acum nu fiecare set este Lebesgue măsurabil. Nu vom trece prin acea construcție a unui set nemăsurabil. Construcția mulțimii sau modul în care o obținem ar oferi, de asemenea, o dovadă că nu am putea construi o măsură care este definită pe toate submulțimile de numere reale care au aceste trei proprietăți care sunt invariante de translație. Măsura unui interval este lungimea intervalului. Iar măsura unei uniuni disjunctive este suma măsurilor. Dar aceasta este o clasă de analiză funcțională. Scopul nostru este de a construi un spațiu Banach de funcții integrale, așa că a trebuit să definim o noțiune de integrală mai bună decât Riemann. Îmi imaginez că într-o clasă de teorie măsurată, ați vedea o astfel de construcție, dar nu o vom acoperi aici. Deci, într-un anumit sens, dacă am construit o măsură, știm cam, aproximativ vorbind, cum am integra cel mai simplu tip de funcție, care este una într-un set măsurabil și zero din ea. Acum, care ar fi o metodă de a încerca să integreze funcții mai generale? Deci asta este, cred... deci acum vom vorbi despre măsurabile - așa se scrie -- funcții măsurabile. Deci, pentru a motiva definiția unei funcții măsurabile, permiteți-mi să vă spun câteva minute de ce am introdus această definiție, ce se află cu adevărat în spatele ei. Deci din punct de vedere istoric, când Lebesgue s-a gândit la teoria sa de integrare, dacă am avea o funcție pe un interval închis, AB-- și permiteți-mi să o desenez. Să zicem că doar crește. Deci ceea ce face Riemann, desigur, este să împărțiți ab. Și apoi formați, în esență, aceste casete care au lățimea dată de modul în care ați tăiat ab și înălțimea dată de f, funcția f, evaluată la un moment dat în acele subintervale. Dreapta. Și faci o sumă Riemann și iei o limită. Da. Și asta vă oferă integrala Riemann. Și astfel, ceea ce s-a gândit Lebesgue să facă a fost, în loc să taie domeniul, să tăieze gama. Deci, să ne imaginăm... deci această funcție are doar această înălțime. Deci, ceea ce ar face el, sau ceea ce ar face cineva, este să-- și să spunem că suntem doar interesați să integrăm lucruri nenegative-- să tăiem gama și așa mai departe până la un punct finit. Și acum cum vă formați cutiile, dacă doriți, pe care o veți lua dimensiunea? Ei bine, te uiți la bucata de f care se află între o partiție dată. Și această porțiune din f va... OK. În această imagine, vom numi acest punct c. Deci, luați această porțiune din f care este aici. Și atunci ac ar fi dat de setul f invers, în această imagine - și o voi scrie în acest fel - yi, y, yi minus 1, yi. Și ați putea construi o cutie luând-o acum ca fiind valoarea mai mică y2 și având lățimea dată de la a la c. Și pot face asta, deoarece aceasta este o funcție în creștere, așa că aceasta va fi o cutie reală. Acum la ce ajung? Și apoi ați spune ceva de genul am dori să definim integrala lui f peste ab. Deci toate acestea sunt motivație, discuție informală. Nu lua asta prea mult la inimă. Atunci am dori să definim integrala de la ab la f să fie cumva această limită. Și nici măcar nu voi scrie când ceva merge la zero sau la infinit la care te poți gândi, deoarece partițiile devin mai mici dintr- o sumă acum, unde însumez de la i este egal cu 1 la n din y minus 1, deci partea inferioară, ori acum lungimea, cel puțin pentru această imagine - deci aceasta ar fi lungimea intervalului dată de f inversul lui yi minus 1, yi. BINE? Deci, aceasta ar fi un fel de procedură analogă cu ceea ce face Reimann pe domeniu, cu excepția concentrării acum pe interval. Acum am scris lungimea aici, deoarece această funcție pe care am desenat-o crește, astfel încât imaginea inversă a unuia dintre aceste intervale va fi un alt interval. Deci lungimea este semnificativă. Dar dacă f este mai general, f invers nu trebuie să fie de yi minus 1, yi, nu trebuie să fie un interval. Așa că luarea lungimii acesteia nu ar fi un lucru semnificativ. Dar amintiți-vă că acum avem această noțiune de măsură, care ar trebui să înlocuiască lungimea pentru mulțimi mai generale, mulțimi măsurabile. Deci, această procedură ar putea funcționa în continuare dacă, în loc să solicite ca acesta să fie un interval, să fie necesar ca acesta să fie un set măsurabil Lebesgue. Și atunci poate s- ar putea defini integrala în acest fel. Și acolo astfel de lucruri nu ar mai fi cutii. Deci asta ar trebui să motiveze de ce poate ar trebui să ne uităm la funcții astfel încât imaginea inversă a intervalelor închise să fie o mulțime măsurabilă, astfel încât să putem lua măsura ei și poate să facem această procedură de definire a unei integrale. Acum, toate acestea sunt un pic-- din nou, aceasta este o discuție informală menită să fie motivație. De fapt, în modul în care vom defini integrala Lebesgue, nu o vom defini în acest fel, deoarece ceea ce suferă acest mod de a face este că nu este clar că acest lucru este independent de modul în care am împărțit intervalul. Deci, poate dacă iau o limită pe măsură ce partițiile devin mai mici de-a lungul unei secvențe de partiții, primesc un număr diferit de celelalte, așa că ar trebui verificat. Dar, după cum vom vedea când definim integrala Lebesgue, acest număr, îl puteți calcula în esență prin această procedură pe care am dat-o aici, în care tăiați intervalul lui f și luați aproximări pentru f care sunt mai generale decât funcțiile pas, care este asta. Este o funcție care are o valoare dată off pe un interval și apoi zero în afara. Și acesta va fi un mod de a vedea că această motivație se leagă de modul în care definim integrala Lebesgue. Dar, din nou, scopul a ceea ce spun este că-- încercăm să motivăm este că ar trebui, și cel puțin din punct de vedere istoric, acesta este motivul pentru care se ia în considerare aceste lucruri, să luăm în considerare funcții astfel încât imaginea inversă a intervalelor închise să fie măsurabile. BINE. Și aceasta este motivația pentru funcțiile măsurabile. Acum, așa cum am văzut când discutam ce mulțimi sunt măsurabile, nu am ajuns la concluzia directă că intervalele închise sunt măsurabile. Am început cu ceva mai de bază, care au fost intervale pe jumătate infinite, am demonstrat că acestea sunt măsurabile și apoi am ajuns la concluzia că intervalele apropiate sunt măsurabile. Orice interval este măsurabil. Și atunci când definim de fapt funcții măsurabile, vom folosi ca intrare mai multe dintre aceste intervale jumătate infinite care sunt măsurabile, mai degrabă decât aceasta. Deci să trecem la asta. Să definim funcția măsurabilă. Deci acum doar asta vine cu teritoriul. Dar vom lua în considerare funcții extinse cu valoare reală în ceea ce facem. Deci nu ar fi trebuit să notez asta. Ar fi trebuit să notez numere reale extinse. Ce înseamnă acest lucru? Aceasta înseamnă doar setul de numere reale împreună cu plus și minus infinit. Deci, când scriu intervalul minus infinit, infinit, aceasta este uniunea noastră, cele două simboluri plus sau minus infinit. Acum vom avea expresii în care permitem unei funcții să ia valoarea plus infinit sau minus infinit. Așa că ar trebui să stabilim ce ne referim când înmulțim unele dintre aceste lucruri împreună. Deci, sumele sunt definite ca x plus sau minus infinit este egal cu plus sau minus infinit pentru tot x din r. Deci, dacă am două funcții ale căror valori ar putea fi în numere reale extinse și am una este finită și cealaltă este infinită, atunci doar, prin convenție, suma lor este definită ca fiind plus infinit. Dar nu am voie să iau infinit minus infinit sau infinit plus minus infinit. Deci aceasta și produsele sunt definite pe măsură ce luăm convenția că zero ori plus sau minus infinit este egal cu zero. Și nu ne vom confrunta cu asta până nu discutăm integrala, de ce am avea nevoie de astfel de expresii. Dar ați putea avea o funcție care este, să spunem, identic egală cu infinitul, dă în mod identic acest simbol plus infinit. Dacă înmulțesc acea funcție cu zero, atunci ar trebui să obțin zero. Totuși, acest lucru nu are nimic de-a face cu limitarea proceselor. Acestea sunt expresii pur algebrice cu care ne vom ocupa. Nu spun că tot ce ai învățat în 18100 Real Analysis despre a fi atent când ai infinit peste infinit sau zero ori infinitul este... Nu spun să arunci asta. Spun doar că atunci când avem anumite expresii algebrice, acestea sunt convențiile pe care le adoptăm. Și x ori plus sau minus infinitul este egal cu plus sau minus infinit pentru tot x din R ia zero. BINE. Și permiteți-mi să vă amintesc doar ce înseamnă pentru... vom face câteva afirmații limitative despre anumite numere care se apropie de alte numere. Deci, ce ar însemna ca o succesiune de numere să se apropie de plus infinit sau minus infinit? Vreau să vă amintiți că o secvență a n de numere reale converge la infinit. Și atunci puteți face o definiție similară pentru minus infinit dacă, pentru fiecare R pozitiv, există un număr natural N astfel încât pentru tot N mai mare sau egal cu N un sub n este mai mare decât R. OK. BINE. Și vreau să spun că am folosit ceva egal cu infinitul deja când am discutat doar despre măsură, măsura exterioară a ceva fiind egală cu infinitul. În cele ce urmează, vom avea expresii în care permitem ca ceva să fie egal cu infinitul. Și vom avea expresii algebrice de acest tip, așa că trebuie doar să stabilesc convenția că, dacă am un număr real plus sau minus infinit, acesta este, prin definiție, egal cu plus sau minus infinit. Dacă am de zero ori ceva care este egal cu plus sau minus infinit, atunci acesta este prin convenție egal cu zero și așa mai departe. În regulă. Deci, funcțiile măsurabile pe care le-am spus că ar trebui să fie acele funcții cel puțin motivate de această discuție anterior. Acele funcții sau funcțiile care ne interesează sunt acele funcții astfel încât imaginea inversă a intervalelor închise să fie măsurabilă. Deci, așa vom defini aproape funcțiile măsurabile. Și modalitatea echivalentă, cu care este puțin mai ușor de lucrat, este următoarea. Deci, să fie E un set măsurabil și f de la E la rolele extinse. Spui că f este măsurabil Lebesgue - asta e o terminologie nouă - dacă, pentru toate alfa din R, dacă iau imaginea inversă a intervalului semi-infinit, alfa la infinit, ar trebui să spun că aceasta este măsurabilă. Am avut o notație data trecută, scriptul M fiind colecția de mulțimi măsurabile, adică este măsurabil Lebesgue. BINE. După cum vom vedea într-un minut, aceasta este o definiție echivalentă a necesității ca imaginea inversă a unui interval închis și mărginit să fie măsurabilă, sau cel puțin vom vedea o direcție de ce este echivalent. Și apoi, în timpul tău, poți să-ți dai seama de ce este de fapt echivalent. Deci acum de ce să nu includeți alfa? De ce trebuie să mă uit la imaginea inversă a acestui interval pe jumătate deschis? Și de ce merg de la alfa la infinit și nu, să zicem, de la alfa la minus infinit sau să includ alfa acolo? De ce acest tip specific? Și atunci, ceea ce vreau să vă spun mai întâi este că a privi aceste tipuri de seturi și a vedea dacă acestea sunt măsurabile este echivalent cu această definiție pe care o dau aici. Deci, să luăm o funcție dintr-o mulțime măsurabilă E, o submulțime a lui R la realele extinse. Atunci următoarele sunt echivalente. Una este un fel de proprietate care este în definiția de a fi măsurabil. Pentru toate alfa din R, f inversul infinitului alfa este măsurabil. Două. Pentru toate alfa din R, f invers, inclusiv alfa este măsurabilă. Trei. Toate alfa în R, imaginea inversă a minus infinit la alfa este măsurabilă. Și ultima condiție este, pentru toate alfa din R, imaginea inversă a acum include alfa este măsurabilă. Deci, pentru a verifica ce obțineți din aceasta, pentru a verifica dacă o funcție este măsurabilă Lebesgue, este suficient să nu dovediți doar această proprietate sau să verificați această proprietate. Puteți verifica și pe alte tipuri de seturi. Este suficient să-l verifici doar -- este suficient să-l verifici fie pe aceste tipuri de seturi, fie pe aceste tipuri de seturi, fie pe aceste tipuri de seturi. Deci, dacă puteți demonstra că pentru toate alfa, acest tip de mulțime sau imaginea inversă a acestor tipuri de intervale sunt măsurabile, atunci este echivalent cu a spune că f este măsurabil Lebesgue. BINE. BINE. Acum, dovada nu este dificilă pe baza a ceea ce știm despre mulțimile măsurabile Lebesgue, care, din nou, am demonstrat data trecută că formează o algebră sigma. Sunt închise prin luarea de uniuni numărabile, intersecții și complemente și așa mai departe. Deci, să demonstrăm mai întâi că unul implică două. Așa că spun că toate sunt echivalente, ceea ce înseamnă că toate ar trebui să se implice reciproc. Deci, să demonstrăm mai întâi că unul implică doi. Deci, să presupunem că unul este valabil, apoi pentru toate alfa din R, acum vreau să verific că două sunt valabile. Pot scrie alfa până la infinit ca intersecție peste numerele naturale n ale alfa minus 1 peste n infinit, ceea ce implică lucrul grozav în a face imagini inverse este că respectă toate operațiunile pe care le poți face pe platou. Deci imaginea inversă a oricărui tip de intersecție este intersecția imaginilor inverse. Și dacă presupun că fiecare dintre acestea este măsurabilă cu 1, atunci aceasta este o intersecție numărabilă a mulțimilor măsurabile Lebesgue. Din nou, când spun care sunt seturile măsurabile Lebesgue, vorbesc despre imaginea inversă a acestui set, nu despre acest set aici. Vorbesc despre imaginea inversă a acestui interval. Deci, fiecare dintre acestea este o mulțime măsurabilă Lebesgue, astfel încât intersecția lor este măsurabilă Lebesgue. BINE. Și, prin urmare, pentru fiecare alfa din R, imaginea inversă a acestor intervale închise este măsurabilă. Și cum arăt două implică unul? Cu un joc similar. Să presupunem că două reține. Apoi, pentru toate alfa din R, intervalul semideschis acum pot scrie ca uniune peste n alfa plus 1 peste n la infinit. Și, prin urmare, imaginea inversă a lui alfa la infinit este egală cu unirea imaginilor inverse ale acestor mulțimi. Și din nou, dacă presupun două, atunci presupun că fiecare dintre acestea pentru fiecare n este o mulțime măsurabilă Lebesgue. Și știm că uniunile numărabile ale seturilor măsurabile Lebesgue sunt din nou măsurabile Lebesgue. Deci acesta este Lebesgue măsurabil. BINE. Deci asta dovedește că unu și doi sunt echivalenti. BINE. Și obținem trei și patru. Deci, în primul rând, doi este echivalent cu trei pur și simplu pentru că dacă iau -- să vedem -- minus infinit la alfa, acesta este egal cu complementul infinit alfa. Și, prin urmare, din nou, când iau imagini inverse și știind că complementul unei mulțimi măsurabile Lebesgue este măsurabil Lebesgue, obțin că doi este echivalent cu trei și unul este echivalent cu patru. Din nou, din moment ce am acest ultim tip de mulțime, minus infinitul față de alfa, acesta este egal cu -- deci este pentru toate alfa din R, deoarece pentru toate alfa din R, aceasta este egală cu complement. Deci, din nou, dacă iau imaginea inversă a acestui set, voi obține complementul imaginii inverse a acestui set. Și dacă aceasta este măsurabilă, acea imagine inversă este măsurabilă, atunci complementul său este măsurabil, ceea ce implică că este măsurabil. Deci este un joc simplu sau este o dovadă simplă bazată doar pe faptul că știm că seturile măsurabile Lebesgue sunt închise prin uniuni, intersecții și complemente numărabile. BINE. Deci, obținem următoarea teoremă că, dacă E este măsurabil, deci E este o submulțime a lui R este măsurabilă, iar f de la E la R este o funcție măsurabilă -- în viitor, probabil că voi spune doar f este măsurabil, nu o funcție măsurabilă - atunci pentru toate f din algebra sigma Borel, f inversa lui F este măsurabilă. Imaginea inversă a lui f este măsurabilă. BINE. Deci care este dovada? f măsurabil implică faptul că, pentru toate ab, a mai mic b, f invers al intervalului deschis ab, care este egal cu f inversul celor două intersectări este egal cu f invers al -- Deci, dacă iau imaginea inversă a acestui interval deschis ab , atunci este egală cu imaginea inversă a acestei intersecții, care este egală cu intersecția acestor două imagini inverse. Și dacă presupun că f este măsurabil, atunci fiecare dintre aceste mulțimi - fiecare dintre aceste pre-imagini este măsurabilă prin teorema anterioară pe care tocmai am demonstrat-o și, prin urmare, este măsurabilă. Așa că am arătat că intervalele deschise sunt măsurabile. Și, similar cu cum am ajuns la concluzia că seturile deschise sunt măsurabile, atunci puteți-- folosim faptul că fiecare set deschis, pe care l-ați demonstrat în sarcina 3, că fiecare set deschis poate fi scris ca o uniune numărabilă de intervale deschise disjunse, astfel f inversul lui u este măsurabil pentru toate mulțimile deschise, submulțimile lui R. OK. Și din moment ce mulțimea-- să-l numim A, care este mulțimea tuturor F, astfel încât acesta este a-- așa că demonstrați și în atribuire această colecție de mulțimi, astfel încât imaginile inverse sunt măsurabile Lebesgue, aceasta este o algebră sigma care conține-- deoarece acum am demonstrat că toate mulțimile deschise sunt în mulțime, aceasta implică că algebra sigma Borel, care este, din nou, cea mai mică algebră sigma care conține toate mulțimile deschise, este un submult al acesteia aici, care este enunțul teoremei. BINE. În regulă. Și așa că permiteți-mi să adaug aici un alt lucru care... OK. Deci acum știm că, dacă avem o funcție măsurabilă, aceasta ia imaginea inversă a mulțimilor Borel. Deci seturile care aparțin algebrei sigma Borel sunt măsurabile. Aceasta include toate seturile deschise. Ce zici de aruncarea cu plus sau minus infinit în amestec? Deci, dacă f trece de la o mulțime măsurabilă E la R este măsurabilă, atunci mulțimile-- ei bine, permiteți-mi să o scriu astfel. Imaginea inversă a unde f este infinit sau egal cu minus infinit, acestea sunt de asemenea măsurabile. Și cum se dovedește asta? Deci dovada. Din nou, am putea folosi doar definiția modului în care funcționează acest lucru și faptul că știm că funcțiile măsurabile Lebesgue, sau mulțimile măsurabile Lebesgue , sunt închise întreprinzând intersecții, uniuni și complemente numărabile. Avem că f inversul infinitului, acesta este egal cu intersecția globală n a lui f invers, imaginea inversă a lui n la infinit. Și dacă presupun că f este măsurabil, atunci fiecare dintre acestea este o mulțime măsurabilă. Imaginea inversă a lui n la infinit este o mulțime măsurabilă. Voi folosi adesea imagine inversă sau pre-imagine. Acestea sunt menite să fie considerate ca spunând același lucru. Fiecare dintre acestea este un set măsurabil, deci este măsurabilă intersecția numărabilă a seturilor măsurabile . Deci asta e măsurabil. Și, în mod similar, dacă mă uit la mulțimea în care este egală cu minus infinit, aceasta este egală cu intersecția imaginii inverse a minus infinit cu n. Să luăm aceste aspecte pozitive, așa că atunci voi pune minus n aici. Și prin această teoremă pe care tocmai am demonstrat-o acum un minut, fiecare dintre acestea-- ei bine, vreau să spun că tocmai am demonstrat că imaginea inversă a mulțimilor Borel sunt măsurabile Lebesgue, așa că-- ei bine, asta nu se va aplica. Nu face nimic. Uită ce tocmai am spus. Teorema pe care tocmai am demonstrat-o acum un minut că funcțiile măsurabile Lebesgue duc mulțimi de acest tip la mulțimi măsurabile Lebesgue implică că fiecare dintre acestea este măsurabilă Lebesgue și, prin urmare, este o uniune a mulțimilor măsurabile Lebesgue, deci pentru toate n, deci este măsurabilă. Deci, dacă am o funcție de valoare reală extinsă și imaginea inversă a fiecărui set Borel - poți chiar să arunci cele două infinite dacă vrei. Imaginea inversă a acestor seturi este măsurabilă Lebesgue. Deci, în special, concluzionăm că imaginile inverse ale intervalelor închise și mărginite sunt măsurabile Lebesgue pentru funcții măsurabile. BINE. Acum care sunt cele mai simple tipuri? Din nou, vedeți o definiție. Ar trebui să ceri un exemplu. Care sunt cele mai simple tipuri de funcții măsurabile? Deci, dacă f de la R la R este continuă, atunci asta implică că f este măsurabil. Deci, în cele din urmă, atunci când ne construim definiția integralei Lebesgue, ar trebui să includem și integrarea Reimann. Cu alte cuvinte, ar trebui să putem integra și funcții continue. Și mai târziu vom vedea, și ceva ce ne dorim, de asemenea, este că integrala Lebesgue a unei funcții continue ar trebui să se reducă la integrala Reimann a unei funcții continue. Deci, cel puțin, atunci când construim aceste concepte, ar trebui să verificăm ca un fel de verificare a sensului că includem funcții continue în aceste funcții posibile pe care le vom integra. Deci, dacă f este continuă, f este măsurabilă, de ce este aceasta? Acest lucru se datorează faptului că pentru toate alfa din R, dacă mă uit la imaginea inversă a infinitului alfa - deci, mai întâi, aceasta este egală cu acest set. Și acesta este un set deschis, așa că acesta este deschis. Deci imaginea inversă a unui set deschis pentru o funcție continuă este deschisă. Și, prin urmare, este măsurabil. Dreapta? BINE. Deci ce zici de un exemplu diferit? Să luăm o submulțime măsurabilă E a lui R. Fie F o altă submulțime măsurabilă. Și definiți funcția indicatoare chi a lui F din x să fie 1 dacă x este în F, 0 dacă x nu este în F. Atunci această funcție chi F-- acum, dacă mă gândesc la ea ca fiind o funcție de la E la R, aceasta este măsurabilă. Acum, de ce este asta? Ei bine, putem doar să calculăm. Dacă alfa este în R, dacă mă uit la imaginea inversă a lui alfa la infinit, aceasta este egală cu unul din trei lucruri. Deoarece chi preia numai valorile 1 și 0, dacă alfa este mai mare decât 1, acesta este setul gol, care este măsurabil dacă alfa este mai mare sau egal cu 1, deoarece acest set nu include -- nu ar include 1. Dacă alfa este mai mare sau egal cu 1. este între 0 și mai puțin de 1, atunci imaginea inversă a acestei mulțimi este egală cu E intersectarea F. E este măsurabilă. F este măsurabil. Deci intersecția lor este măsurabilă. Și dacă alfa este mai mică de 0, atunci imaginea inversă a acestui set - cu alte cuvinte, ceea ce stabilește mapa în -- de la un număr negativ la infinit - ei bine, atât 1, cât și 0 se potrivesc acolo. Și acesta este întregul set E. Și deci orice tu... indiferent ce este alfa, imaginea inversă a acestora... a acelui set este măsurabilă. Deci acestea sunt proprietăți de bază ale funcțiilor măsurabile. Să continuăm ce ne- am dori mai mult -- deci ce alte proprietăți ale funcțiilor măsurabile, din nou, pe care am spera să le integrăm sau vom integra cel puțin o clasă din acestea până la urmă pentru a le satisface. Ei bine, ne-am dori ca acestea să fie închise, întreprinzând combinații liniare și, de asemenea, produse, pentru că în cele din urmă, vom avea spații LP, care sunt produse de-- integrale ale produselor de funcții integrale. Deci avem următoarea teoremă. Deci, să presupunem că E este măsurabil. Și am două funcții care merg de la E la R care sunt măsurabile. Și am un scalar în R. Atunci c ori f, f plus g și f ori g-- deci acestea sunt acum toate funcțiile de la E la R-- sunt măsurabile, sunt funcții măsurabile. Deci care este dovada? Să începem cu înmulțirea scalară. Acesta este egal cu 0. Și c ori f este egal cu 0, care este o funcție continuă. Este o funcție constantă. 0 este continuu, prin urmare măsurabil. Deci, să presupunem că c este diferit de zero. Deci... am ieșit din cazul prostesc. Dacă c nu este egal cu 0 și alfa este un element al lui R, atunci c ori f de x mai mare decât alfa - aceasta este echivalentă cu f din x este mai mare decât alfa peste c. Deci, acest lucru implică faptul că, dacă vreau imaginea inversă, dacă mă uit la c ori f și mă uit la imaginea inversă a lui alfa la infinit, aceasta este egală cu imaginea inversă a - prin f a setului alfa peste c infinit. Și acum, dacă presupun că f este măsurabil, atunci imaginea inversă a acestui set este măsurabilă. Deci, acesta este un set măsurabil. Și, prin urmare, c ori f este o funcție măsurabilă. Deci, acum, să ne uităm la funcția f plus g. Să presupunem că alfa este în R. Atunci să facem ceva similar. Atunci f din x plus g din x este mai mare decât alfa. Aceasta este dacă și numai dacă f din x este mai mare decât alfa minus g din x. Deci nu am spus asta. Dar când mă uit la o astfel de condiție, mă uit la acele x care vor fi în această imagine inversă. Așa că încerc doar să-mi dau seama o modalitate echivalentă de a exprima această condiție, care am văzut că este această condiție. Deci, ceea ce mă uit cu adevărat sunt acele x care ar sta în... această imagine prealabilă de aici. Și ceea ce am făcut acum un minut a fost să arăt că este egal cu această imagine prealabilă de aici. Deci, acesta este motivul pentru care iau în considerare f de x plus g de x plus alfa. Aceasta este condiția ca... deci poate voi scrie asta. Atunci x este în această mulțime dacă și numai dacă f din x plus g din x este mai mare decât alfa, ceea ce este echivalent cu f din x plus - f din x este mai mare decât alfa minus g din x. Acum, ați învățat în 18.100-- A, B, P, Q, orice-- că dacă am două numere reale, unul mai mare decât celălalt, atunci pot găsi un număr rațional între ele. Deci, dacă acest număr este mai mare decât acest număr, există un număr rațional, r, astfel încât f din x este mai mare decât r este mai mare decât alfa minus g din x. Deci asta... presupunând că asta implică asta. Și, desigur, această condiție implică și această condiție. Dacă există un număr rațional astfel încât f din x este mai mare decât r este mai mare decât alfa minus g din x, atunci, desigur, f din x este mai mare decât alfa minus g din x. Deci aceste două condiții sunt echivalente. Deci, acest lucru este echivalent cu a spune că există un r în Q astfel încât x este în imaginea inversă a lui f r până la intersectarea infinitului și r este mai mare decât alfa minus g a lui x, ceea ce se poate afirma ca x este în imaginea inversă a lui alfa minus r la infinit. Deci, această ultimă expresie aici... lasă-mă să vin aici și am început să șterg. Deci am arătat că x este în imaginea inversă a acestei mulțimi, f plus g, imaginea inversă cu f plus g a acestei mulțimi, dacă și numai dacă există un număr rațional, astfel încât x să fie în intersecția acestor două tipuri de seturi, despre care știm că sunt măsurabile. Deci putem exprima acest lucru, sau rezumând ceea ce tocmai am descoperit - că f plus g imagine inversă a infinitului alfa - aceasta este egală cu uniunea dintre numerele raționale Q, r și Q, astfel încât - sau imaginea inversă a lui f inversa sau imaginea inversă a lui r infinit se intersectează alfa minus r infinit -- deci, din nou, exprimăm ceea ce am făcut acolo. Și acum ce știm? Dacă presupunem că f este măsurabil, atunci întregul set este măsurabil. Și presupunem că g este măsurabil. Deci întregul set este măsurabil. Și, prin urmare, această intersecție a acestor două mulțimi este măsurabilă. Și acum am uniunea numărabilă pentru că, din nou, numerele raționale sunt numărabile. Unul dintre primele lucruri pe care le dovediți în analiză este că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Aceasta este o uniune numărabilă de seturi măsurabile. Deci asta e măsurabil. Acum, ce zici de f ori g? Aici, vom face un mic truc. Deci vom demonstra că dacă f este măsurabil, atunci pătratul său este măsurabil. Și apoi vom folosi o identitate simplă pentru a concluziona că f ori g este măsurabil. Deci acum susțin că f pătrat este măsurabil. Fie alpha un subset al lui R. Dacă alpha este mai mare sau egal cu 0, ei bine, să facem mai întâi acest caz stupid . Dacă alfa este mai mică de 0, atunci f pătrat - aceasta este o funcție nenegativă. Deci, dacă duc imaginea inversă a lui alfa la infinit, aceasta este doar egală cu domeniul E. Deci, aceasta este măsurabilă. Amintiți-vă, acesta este un set de toate x-urile care sunt mapate de f pătrat la alfa la infinit. Și dacă alfa este negativă, atunci indiferent de ce este x în E, f pătratul lui x va fi în alfa la infinit, din nou, pentru alfa mai mică de 0. Deci, această imagine inversă este egală cu E, care este măsurabilă prin presupunere. Și apoi celălalt caz mai puțin trivial este dacă alfa este mai mare sau egal cu 0, atunci f pătratul lui x este mai mare decât alfa dacă și numai dacă fie ce? f din x este mai mare decât rădăcina pătrată a lui alfa sau f din x este mai mică decât minus rădăcina pătrată a lui alfa. Și, prin urmare, deci, din nou, această expresie aici este... această expresie se exprimă. Dar această relație aici exprimă x este în imaginea inversă a lui alfa la infinit. Deci, aceasta spune că imaginea inversă a lui alfa la infinit este egală cu mulțimea tuturor x-urilor care îndeplinesc această condiție din dreapta acesteia, dacă și numai dacă, care este -- poate fi scris ca x este în imaginea inversă a -- f este mai mare decât rădăcina pătrată a lui alfa, uniune, din nou, provenind din sau, f invers de-- și din nou, dacă avem o funcție măsurabilă, atunci nu numai că aceste tipuri de pre-imagini ale acestor tipuri de mulțimi sunt măsurabile , dar preimaginile acestor tipuri de seturi sunt și ele măsurabile. Acesta a fost primul lucru pe care l-am dovedit. Și astfel, deoarece fiecare dintre aceste imagini prealabile este măsurabilă, uniunea lor este măsurabilă. Deci asta e măsurabil. Deci am demonstrat că f pătrat este măsurabil. Și acum concluzionăm că f ori g este măsurabil printr-o identitate simplă care de f ori g-- aceasta este egal cu 1/4 f plus g pătrat minus f minus g pătrat. Deci f ori g este egal cu această funcție la pătrat. Dacă f și g sunt măsurabile, suma lor este măsurabilă. Și prin urmare, prin ceea ce tocmai am demonstrat, pătratul este măsurabil. Și din nou, aici, acest lucru va fi măsurabil. Și prin multiplu scalar de minus 1, acel lucru este măsurabil. Multiplu scalar de 1/4 la exterior este bine de asemenea. Deci concluzionăm că acest lucru este măsurabil deoarece fiecare operație din această expresie păstrează funcția fiind măsurabilă, așa cum am demonstrat înainte de această expresie. Și asta e... asta încheie dovada. Deci suma a două funcții măsurabile este măsurabilă. Produsele scalare sunt măsurabile. Produsele sunt măsurabile-- mare lucru pentru că în ceea ce privește integrarea Riemann, asta e-- încă se menține. Deci, ceea ce deosebește o funcție care este măsurabilă și, în cele din urmă, integrabilă Lebesgue este că are mai bine - este închisă sub limite de luare, spre deosebire de a fi integrabilă Riemann. Deci aceasta este următoarea teoremă. Dacă am o mulțime măsurabilă și apoi am o secvență de funcții, fn, care merg de la minus infinit la infinit - oh, și așa ar fi trebuit să spun acum un minut - doar mă prind. Oh nu. Totul este în regulă. Așa că am vrut doar să mă asigur că am mers la R, deoarece f plus g este definit doar mergând de la E la R. Dar din nou, dacă am o funcție finită peste tot și o altă funcție care este o funcție extinsă cu valoare reală, puteți verificați dacă f plus g va fi și măsurabil. Nu pot înțelege suma a două funcții extinse cu valori reale, deoarece aș putea să mă aflu într-o situație în care am plus infinit minus infinit, care este o expresie nedefinită. Dar ceea ce spun este că pot lua un-- pentru toate acestea, ca unul dintre ele să fie extins cu valoare reală este în regulă. Și, de asemenea, produsul valorii reale extinse este în regulă, deși l-am lăsat în afara listei de reguli, plus infinitul de ori minus infinitul este definit ca fiind minus infinit și cu regulile obișnuite ale semnelor. Deci, înapoi la teoremă - dacă am o secvență de funcții măsurabile - deci și alte funcții sunt măsurabile. Apoi funcția g1 a lui x egală cu sup n fn a lui x-- deci acum este o funcție definită pe E. Aceasta este, de asemenea, măsurabilă. Așa că voi enumera funcțiile și apoi voi spune că toate sunt măsurabile. g2 din x este egal cu inf peste n fn din x. 3 x este egal cu limsup pe măsură ce n merge la infinitul lui fn al lui x, pe care ne vom aminti definiția pe care o puteți scrie ca inf peste tot n al sup peste tot k mai mare sau egal cu n fk pentru x. Și 4... deci nu știu de ce le etichetez dublu. Am 1, 2, 3 și 4. Dar am și 1, 2, 3 și 4 aici. Și limita de-- liminf- ul punctual al acestor funcții, pe care o voi aminti este egală cu sup peste m de inf-- toate acestea sunt funcții măsurabile. Deci haideți să demonstrăm asta. Deci dovada nu este prea dificilă. Deci, să începem cu primul. De fapt, al treilea și al patrulea urmează după primul și al doilea. Dar deci x este în imaginea inversă cu g1 alfa la infinit dacă și numai dacă, desigur, sup n fn lui x este mai mare decât alfa. Și aceasta este echivalentă cu sup peste tot n din fn al lui x este mai mare decât alfa dacă și numai dacă există unele n, astfel încât fn din x este mai mare decât alfa. Dacă toate fns rămân sub alfa atunci când sunt evaluate la x, atunci sup este mai mică sau egală cu alfa. Deci, deoarece sup este cea mai mică limită superioară - deci dacă și numai dacă există un n astfel încât - dacă și numai dacă există un n, astfel încât x este în fn invers de - și, prin urmare, am demonstrat că imaginea inversă a mulțimii de g1 este egală cu uniunea peste tot n din f invers f sub n invers imaginea inversă a lui alfa la infinit. Și acum presupunem că fn-urile sunt toate măsurabile. Deci fiecare dintre acestea este măsurabilă. Este o uniune numărabilă de seturi măsurabile. Deci este, din nou, un set măsurabil. Așa că am demonstrat că pentru toți alfa, acesta este un set măsurabil. Deci g1 este măsurabil. Acum, dacă trecem la g2, este același lucru. Pot dovedi că imaginea inversă a... să vedem. Ce fac aici? Acum voi include alpha aici. Imaginea inversă a lui alfa la infinit - deci aceasta este egală cu necesitatea ca inf peste fn a lui x să fie mai mare sau egală cu alfa. Aceasta este echivalentă cu intersecția acum a f inversului acestor tipi. Acum, fiecare dintre acestea este, din nou, măsurabilă prin presupuneri. Și, prin urmare, este numărabil. Intersecția este măsurabilă. Deci am demonstrat că luarea sups și infs de secvențe de funcții sunt măsurabile. Dar prin modul în care sunt definite limsup și liminf -- așa că acum am demonstrat că pentru orice secvență de funcții măsurabile, sup și infs sunt funcții măsurabile. Dar limsup-ul este sup-- este mai întâi acest sup, urmat de un inf. Acum, dacă toate f sunt măsurabile, acest sup este măsurabil pentru toate n. Și, prin urmare, acest inf este măsurabil. Deci g3 fiind măsurabil decurge imediat din demonstrarea faptului că sups și infs ale funcțiilor măsurabile sunt măsurabile și același lucru cu liminf. Dacă f sub k este măsurabil pentru toți k, atunci am demonstrat deja că inf-urile peste k-- mai mare sau egal cu n nu contează-- este măsurabilă, o funcție măsurabilă. Și, prin urmare, sup peste n-urile tuturor acestor funcții măsurabile sunt, din nou, măsurabile. Deci, faptul că g3 și g4 sunt măsurabile rezultă din expresiile for-- și din cele două cazuri anterioare, ceea ce înseamnă că am demonstrat că infs și sups ale funcțiilor măsurabile sunt funcții măsurabile. Acum, ce obținem din asta? Deci o teoremă imediată este următoarea. Dacă E este măsurabil, fn pleacă de la-- și fn este măsurabil pentru tot n. Și ele converg punctual către o funcție f a lui x. Atunci f este măsurabil. Nu ar trebui să o scriu ca o teoremă. Ar trebui să o scriu ca un corolar. De ce? Pentru că dacă acestea converg, atunci f este egal cu limsup. Este, de asemenea, egal cu liminf. Dar f este egal cu limsup. Deci f-- deci dovada este o singură linie. Pentru tot x din E, f din x este egal cu limsup din fn din x. Și este, de asemenea, egal cu liminf dacă fns converg către f. Ai acoperit acest lucru în 18.100. Aveți o limită a unei secvențe dacă și numai dacă limsup este egal cu liminf. Și acest lucru este valabil și dacă includ plus sau minus infinitul ca fiind elemente posibile ale numerelor reale extinse care se află în succesiunea sau limita posibilă. Deoarece aceasta este măsurabilă prin teorema anterioară, f este măsurabilă. Deci asta spune ceva care este un indicator că facem ceva care este sau construim ceva care este mai puternic decât a fi integrabil Riemann. După cum am spus, funcțiile pentru care vom defini o integrală Lebesgue vor fi un anumit subset de funcții măsurabile. Și luându-i drept posibili candidați, permiteți-mi doar să fac următoarea remarcă, care acum separă funcțiile măsurabile, care sunt -- din nou, sunt candidați pentru a fi integrabile Lebesgue de integrabile Riemann este că acest lucru eșuează dacă înlocuiesc măsurabil cu integrabil Riemann. Dacă fn-- să trecem de la a, b la chiar R-- este Riemann integrabil. Și fns converg către f punctual, ceea ce înseamnă doar asta. Pentru tot x din a, b, limita pe măsură ce n merge la infinit de fn de x este egal cu f de x. Atunci f nu trebuie să fie integrabil Riemann. Cu alte cuvinte, când mă uit la funcțiile integrabile Riemann, ele nu sunt închise prin luarea de limite punctuale. Deci, totuși, pentru integrala Lebesgue, cel puțin pentru candidații noștri ai funcțiilor măsurabile Lebesgue, acestea sunt închise cu limite punctual, așa cum tocmai am demonstrat. Acum, ceea ce spune că suntem pe cale să dovedim ceva care este un... care are calități mai bune decât integrala Riemann. Acum, după cum se dovedește, limita punctual a funcțiilor integrabile Lebesgue nu trebuie să fie integrabilă Lebesgue. Dar dacă adăugați o altă condiție foarte minoră, răspunsul este, da, este integrabil Lebesgue. Dar cel puțin, ne-am dori ca candidații noștri -- din nou, funcțiile măsurabile Lebesgue -- să fie închise cu respectarea limitelor punctuale sau, cel puțin, asta ar trebui să ne indice că facem ceva care va avea proprietăți mai bune decât Funcții integrabile Riemann. Deci de ce este asta? Care este o secvență de funcții care sunt integrabile Riemann, dar nu -- dar limita lor punctuală nu este integrabilă Riemann? Deci, de exemplu, ai putea lua funcția fn ca fiind... deci știi ce? De fapt, o să adaug asta la sarcină. Și nu va fi... nu. Așa că voi continua și voi spune de ce este așa. Să scriem-- deci numerele raționale Q și-- să spunem că se intersectează 0, 1-- aceasta este o mulțime numărabilă. Este un submult al numerelor raționale. Deci, acesta este un set numărabil. Deci le putem enumera. Acesta este egal cu r1, r2 și așa mai departe. Dacă definesc fn din x ca fiind 1 dacă x este în r1 până la rn și 0 în caz contrar, acum aceasta este o funcție care este continuă pe bucăți pe 0, 1. Deci este integrabilă Riemann. Dar ce se întâmplă când iau n merge la infinit? Limita punctuală a acestor funcții converge către funcția indicator a numerelor raționale-- intersectează 0, 1. Și, sperăm, asta a fost ceva ce ai verificat când ai aflat despre integrarea Riemann. Dacă tocmai ați învățat despre integrala Riemann a funcțiilor continue, atunci este bine și asta. Dar oricum, această funcție este 1 pe raționale și 0 în altă parte. Și-- care este o funcție care este discontinuă peste tot, sau-- să vedem-- nu peste tot, sau-- da, peste tot. Și te poți convinge că este o funcție prea nebunească pentru a fi integrabilă Riemann dacă tot ce știai era că funcțiile continue sunt integrabile Riemann. Dar dacă ați învățat mai multe despre integrala Riemann, atunci unul dintre lucrurile pe care le-ați învățat a fost că această funcție nu este integrabilă Riemann. Deci, luarea limitei punctuale a funcțiilor integrabile Riemann poate să nu fie integrabilă Riemann. Totuși, ceea ce am dovedit este că candidații pentru a fi integrabili Lebesgue - și anume acele funcții măsurabile - sunt închise prin luarea de limite punctuale, ceea ce este, așa cum am spus, un indiciu că această teorie a integralei pe care o suntem construirea va fi o teorie mai puternică, în sensul că putem demonstra mai multe lucruri decât cea a lui Riemann. Și unul dintre acele lucruri pe care le vom demonstra este că spațiul lui Riemann -- adică, funcțiile integrabile Lebesgue cu o normă care este integrala valorii absolute este, de fapt, un spațiu Banach spre deosebire de integrala Riemann. Așa că acum permiteți-mi doar să fac câteva declarații finale. Și apoi vom numi o zi pentru această prelegere. Deci aceasta este doar o terminologie care, atunci când fac o afirmație P pentru x și spun că cu x la-- un element al unei mulțimi măsurabile E-- Dacă spun că această afirmație este valabilă aproape peste tot pe E și, de obicei, voi spune-- o voi scurta doar la „ae” pe E sau doar la „ ae” dacă șterg și mai mult din ceea ce scriu-- asta se aplică aproape peste tot dacă setul nu-- unde este... - nu deține măsura 0. Așa că spun -- ați putea crede că spun două lucruri aici, că această mulțime este măsurabilă și măsura sa este 0. Dar amintiți-vă, când am dezvoltat teoria măsurii, mai întâi lucru pe care l-am învățat despre seturile măsurabile este că, dacă are măsura exterioară egală cu 0, atunci este măsurabilă. Și amintiți-vă, exterioară-- măsura unui set măsurabil este doar măsura sa exterioară. Așadar, poate voi spune cu-- în paranteze-- Deci, o declarație este valabilă aproape peste tot dacă mulțimea în care nu este valabilă are o măsură Lebesgue 0, ceea ce este echivalent cu a spune că are măsura exterioară egală cu 0 pentru că am demonstrat că mulţimile care au măsura exterioară egală cu 0 sunt măsurabile Lebesgue. Și astfel, teorema finală pe care o vom demonstra astăzi este că dacă am două funcții-- una măsurabilă, cealaltă diferă prin acea funcție măsurabilă de pe a-- pe un set de măsură 0-- atunci a doua funcție este și ea măsurabilă. Deci, cumva, seturile de măsură 0 nu afectează faptul că este o funcție măsurabilă. Deci, dacă fg trece de la o mulțime măsurabilă E la numerele reale extinse , f este măsurabilă. Și f este egal cu g aproape peste tot pe E, adică mulțimea de x unde f nu este egală cu g este o mulțime de măsuri 0 în E. Atunci g este măsurabil. Deci, dacă luați o funcție măsurabilă f, o schimbați pe un set de măsură Lebesgue 0, veți obține totuși o funcție măsurabilă. Și din nou, acest lucru decurge doar din faptul că toate seturile de Lebesgue măsoară 0 sau măsura exterioară egală cu 0 sunt măsurabile Lebesgue. Și apoi, din nou, faptul că știm că mulțimile măsurabile sunt închise prin luarea de uniuni și complemente - deci să fie n mulțimea de x din E astfel încât f de x nu este egal cu g de x. Atunci acesta este un set de măsuri exterioare 0. Și, prin urmare, este măsurabil Lebesgue. Deci, acum, dacă iau un alfa în R și definesc o altă mulțime - numiți-o N sub alfa - să fie mulțimea tuturor x-urilor din N astfel încât g de x este mai mare decât alfa, acesta este un submult de N doar prin definiție . Deci, așa definesc acest set. Deci are măsura exterioară egală cu 0. Și, prin urmare, este măsurabilă deoarece N are măsura exterioară 0. Atunci, dacă iau imaginea inversă a lui alfa la infinit, aceasta este egală cu imaginea inversă prin f de alfa la infinit, unde se intersectează egale între ele. Deci vom intersecta complementul N uniune această mulțime, N sub alfa. Acum N are măsura exterioară 0. Deci este măsurabil Lebesgue. Și, prin urmare, complementul său este măsurabil. Acest lucru este măsurabil prin presupunere. Și, prin urmare, această intersecție este măsurabilă. Și acest set de aici este măsurabil. Deci, unirea acestui set măsurabil cu acest set măsurabil este, din nou, măsurabilă. Și concluzionăm că acest lucru este măsurabil. Așadar, am definit funcții cu valoare reală extinsă măsurabile și am demonstrat unele proprietăți ale acestora, dintre care cea mai izbitoare fiind aceea că măsurabil este închis sub limite punctual și că puteți schimba o funcție pe un set de măsură 0 și tot puteți fi măsurabil. Data viitoare, vom extinde această noțiune într-un mod trivial la funcții care iau valori complexe, nu extinse, doar numere complexe finite, fără a include -- îndreptat către infinit. Și apoi vom trece la definirea... așa că odată ce le vom avea... așa că iată planul de joc. Deci vom extinde această noțiune de măsurabil la funcții cu valori complexe. Și apoi vom arăta că există o anumită clasă de funcții numite funcții simple care, din nou, sunt cele mai simple, în sensul că doar iau un număr finit de valori și arătăm că acestea sunt funcțiile măsurabile universale. Și de acolo, vom defini apoi integrala Lebesgue a unei funcții măsurabile nenegative și vom demonstra unele proprietăți ale acesteia. Și apoi, odată ce am făcut asta, astfel încât să puteți defini -- o integrală a unei ne-negative-- o funcție măsurabilă arbitrară nenegativă. Ne vom limita apoi la acele funcții pe care le numim integrabile Lebesgue, care acum pot -- nu neapărat nenegative, dar vor avea integrală Lebesgue finită și apoi vom demonstra că acestea sunt -- și apoi vom demonstra unele proprietăți ale acestora, inclusiv marea convergență. teoreme, și apoi închidem secțiunea sau capitolul despre măsură și integrare demonstrând că funcțiile integrabile Lebesgue formează un spațiu Banach cu o normă naturală pusă pe el, spre deosebire de funcțiile integrabile Riemann. Ne oprim acolo.