[SCRÂȘIT] [FOȘIT] [CLIC] CASEY RODRIGUEZ: Bine, așa că am demonstrat aceste două teoreme data trecută și le-am folosit pentru... și am avut câteva aplicații ale acestora. Deci prima teoremă, teoremă simplă, a fost că o secvență converge către x dacă și numai dacă limita ca n merge la infinitul valorii absolute a lui xn minus x merge la 0. Și atunci am avut și teorema strângerii , că dacă au două -- dacă aveți trei secvențe -- a sub n, b sub n și x sub n -- astfel încât x sub n să fie între a sub n și b sub n, iar a sub n și b sub n converg către același lucru, apoi șirul x sub n converge și converge către [? comun?] limita a sub n și b sub n. Deci x sub n este strâns între a sub n și b sub n. Ultima dată am folosit asta pentru a demonstra un fel de limită specială că aceasta este egală cu 0 dacă valoarea absolută a lui c este mai mică de 1. Așa că am dovedit-o pentru c pozitiv, și poate c mai mic decât 1 -- dar aceeași dovadă funcționează cu absolut valori, doar pentru că valoarea absolută a lui c la n este egală cu valoarea absolută a lui c ridicată la a n-a putere. Deci, să folosim asta pentru a face câteva limite speciale, dacă doriți. Dar mai întâi voi enunț teorema binomială. Nu o să demonstrez, dar este un exercițiu simplu care folosește inducția. Iar teorema binomului spune că [? pentru toți ?] [? N, numerele naturale ?], x, y în R, x plus y ridicate la n este egală cu suma de la k este egală cu 0 la n din n alegeți k, x la n minus k y la k. Și aici n alegeți k-- acesta este egal cu n factorial peste k factorial împărțit la n minus-- ori n minus k factorial. BINE. Deci, din nou, puteți demonstra acest lucru prin inducerea pe n. În regulă. BINE. Avem o teoremă, așa că vom demonstra câteva limite speciale. Am un număr real care este pozitiv. Atunci limita ca n merge la infinitul lui 1 peste n p este egal cu 0. Dacă p este pozitiv, atunci limita ca n merge la infinitul lui p la 1 peste n este egal cu 1. Și a treia este -- doar că o anumită limită există - limită pe măsură ce n merge la infinit de n la 1 peste n este egal cu 1. OK? Permiteți-mi să fac un mic comentariu aici. Până acum, în discuția noastră despre numerele reale, am definit doar ce înseamnă să duci un număr real la o putere întreagă, dar-- și rădăcini a n-a. Deci avem a n-a puteri și a n-a rădăcină. Deci, folosind asta, putem defini cum să ducem un număr real la o putere rațională -- deși trebuie să existe ceva care să fie verificat pentru a ne asigura că acest lucru este bine definit, deoarece puteți scrie întotdeauna un număr rațional nu unic ca un număr întreg. peste alta. Deci putem defini un număr real pozitiv la o putere rațională, dar folosind de fapt doar faptele elementare despre numerele reale, faptul că are cea mai mică proprietate superioară și faptul că rațiunile sunt cumva dense în numerele reale, putem defini apoi ce înseamnă să duci un număr real pozitiv la o putere a numărului real pozitiv. BINE? Toate acestea sunt doar pentru a spune că pentru a defini un număr real pozitiv la un număr real pozitiv sau la un număr real de putere nu necesită introducerea exponențialului sau a logaritmului -- deși, în cele din urmă, și ei -- ambele de acord, odată ce ai exponențialul și logaritmul. Deci toate acestea sunt doar pentru a spune că ceea ce am făcut până acum... aceste lucruri chiar au sens. Nu aveți nevoie de exponențial și de logaritm pentru a înțelege un număr real pozitiv la un număr real de putere. BINE? Dar vom folosi proprietățile de bază ale exponenților în toate acestea, așa că nu-- nici măcar nu am vorbit despre continuitate, sau derivate, sau ceva de genul acesta, așa că vom folosi doar mijloace elementare pentru a să poată dovedi aceste afirmații. BINE? Deci, pentru primul, vom demonstra acest lucru de fapt folosind definiția limitei, care, rețineți, înseamnă că pentru fiecare epsilon pozitiv de acolo, ar trebui să putem găsi un număr mare M, astfel încât dacă n este mai mare decât sau egal cu capitalul M, 1 peste n la p este mai mic decât epsilon. Deci, epsilonul să fie pozitiv. Alegeți M, un număr natural, astfel încât M este mai mare sau egal cu - este mai mare decât 1 peste epsilon față de 1 peste p. BINE? Și dacă n este mai mare sau egal cu M, 1 peste n la p minus 0, care este egal cu 1 peste n la p-- acesta este mai mic sau egal cu 1 peste M capital la p. Deci, aici, din nou, folosesc - un fapt elementar pe care îl știm cu toții este că, dacă am o putere pozitivă aici, atunci - și mic n este mai mare sau egal cu capitalul M, atunci în p ar fi mai mare decât sau egal cu M majuscul la p. Știm asta pentru exponenții întregi, dar credeți-mă că se pot defini exponenți non-întregi și că inegalitatea rămâne adevărată atâta timp cât puterea pe care o utilizați este pozitivă. Deci am 1 peste n la p este mai mic sau egal cu 1 peste M capital la p. Și, după alegerea noastră, M majuscule, aceasta este mai mică decât epsilon. Deci asta dovedește numărul unu. Deci numărul doi o să facem... trebuie să facem doar două cazuri. Una este p. Deci p egal cu 1 este bine. Acest lucru este clar, pentru că atunci primesc doar 1 pentru întreaga secvență. Deci acesta este un caz. Acum lasă-mă să fac p mai mare decât 1. OK. Și dacă p este mai mare decât 1, valoarea absolută a lui p la 1 peste n minus 1-- aceasta este doar p la 1 peste n minus 1. Și așa vreau să arăt că această cantitate aici merge la 0. OK? Deci avem o inegalitate pe care am demonstrat-o de fapt în a doua prelegere, cred, folosind inducția, dar de fapt puteți obține și din teorema binomială. Așa că permiteți-mi doar să amintesc asta chiar aici, că am avut această inegalitate care, dacă x este mai mare sau egal cu minus 1, atunci 1 plus x ridicat la n este mai mare sau egal cu 1 plus nx. BINE? Și deci folosim această inegalitate acum cu x egal cu p minus 1. Deci p-- acesta este egal cu 1 plus p la 1 peste n minus 1 ridicat la a n-a putere. Îmi pare rău. x este p la 1 peste n minus 1, nu p minus 1. Și acum folosim această inegalitate. Acesta este mai mare sau egal cu acest lucru ori n plus 1. Deci, voi trece aici. Deci acum scăderea lui 1 și împărțirea la n îmi spune că p la 1 peste n minus 1 este mai mic sau egal cu p minus 1 peste n. Și așa cum am observat aici, deoarece p este mai mare decât 1, acesta este mai mare sau egal cu 0. OK? Și acum aplicăm teorema de strângere. Prin teorema de strângere, aceasta este doar 0. p minus 1 împărțit la n-- este doar un număr peste n. Aceasta merge la 0 pe măsură ce n merge la infinit. Și, în fapt, care este conținut în numărul 1 pentru p egal cu 1, și, de asemenea, prin faptele noastre limită pe care le-am demonstrat de data trecută, că limita respectă operațiile algebrice ale numerelor reale. Deci, după teorema de strângere, deoarece aceasta converge la 0 și aceasta converge la 0, aceasta converge la 0, ceea ce implică faptul că. BINE? Deci se ocupă de cazul p este mai mare decât 1. Pentru a trata cu p mai mic de 1, folosim cazul p mai mare de 1 și, din nou, faptul că limitele respectă operațiile algebrice. Apoi scriem limita ca p-- arata urat p-- scriem asta mai bine-- limita ca n merge la infinit pana la 1/n. Acum p este mai mic decât 1, deci 1/p este mai mare decât 1. Aceasta este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de 1 peste 1 peste p la 1/n. Și acum 1/p este mai mare decât 1-- ridicată la puterea 1/n converge la 1 în cazul pe care l-am făcut înainte. Și astfel 1 peste aceasta converge către 1/1 este egal cu 1. OK? OK, deci permiteți-mi doar să remarc că, deși am demonstrat această inegalitate pentru... prin inducție, de fapt rezultă din teorema binomială. Și vom folosi teorema binomială pentru a obține o mică inegalitate diferită pe care o vom folosi pentru numărul 3. Deci, pentru numărul 3, vrem să demonstrăm limita pe măsură ce n merge la infinit de n peste 1 peste n este egal cu 1. Deci, în loc să continui să scriu n la 1 peste n minus 1, care vreau să arăt convergența la 0 acum, voi scrie xn. Deci, fie xn egal cu n cu 1/n minus 1, despre care observăm că este mai mare sau egal cu 0 pentru tot n. BINE? Și așa că scopul meu pe care vreau să-l arăt este limita pe măsură ce x, pe măsură ce n merge la infinit de x sub n este egal cu 0, pentru că atunci asta dovedește că aceasta converge la 0. Și, deoarece aceasta este egală cu valoarea sa absolută, asta înseamnă că n la 1/n converge la 1. Și modul în care vom face asta este să folosim o inegalitate pe care o obținem din teorema binomială - și să folosim acest truc aici. Acum, dacă ne uităm la plus x la n ridicat la n, acesta este doar -- asta este doar n -- permiteți-mi să-l mutăm puțin -- plus x la n a ridicat n-ul. x la n-- x sub n este n la 1/n minus 1. Adaugă 1. Intru în n la 1/n-- ridicat la n, primesc n. Acum, după teorema binomială, aceasta este egală cu suma de la k egal cu 0 la n, n alegeți k. Și am 1 ridicat la puterea n minus k, x la n creșterea k. BINE? Acum, aceasta este o sumă de lucruri nenegative, deoarece, x sub n este întotdeauna nenegativ. Și acești coeficienți sunt doar coeficienti de factoriali, deci sunt întotdeauna nenegativi. Această sumă este întotdeauna mai mare sau egală cu 1 termen din sumă. Deci este mai mare sau egal cu k egal cu 2 [INAUDIBIL] y2-- vei vedea-- x sub n pătrat. Acum, n alegeți 2-- acesta este egal cu n factorial peste 2 factorial n minus 2 factorial x la n pătrate x ale n pătrat, care este egal cu n ori n minus 1 peste 2 x din n pătrat. În regulă? Acum, am început cu n și am dovedit că aici este mai mare sau egală cu această cantitate. Așa că acum împart ceea ce este în fața lui x din în și iau rădăcini pătrate. Deci, asta implică că, pentru n mai mare decât 1-- pentru că trebuie să împart la n minus 1-- 0, care este mai mare sau egal cu n, x sub n este mai mic sau egal cu 2 peste n minus 1 rădăcină pătrată. BINE? Și acum acesta este doar 0, deci converge către 0. Această latură dreaptă este rădăcina pătrată a lui 2 peste n minus 1. Acum, limita ca n merge la infinit de 2 peste n minus 1 este 0. Rădăcina pătrată a acesteia de asemenea, converge la 0. Acesta este un fapt pe care l-am făcut de la sfârșitul ultimei oară. Deci, toată chestia asta converge la 0. Deci, prin teorema de strângere, limitează pe măsură ce n merge la infinitul lui x sub n-- care, ține minte, acesta este doar n la 1 peste n minus 1, ceea ce implică-- OK? Și asta completează dovada. Bine, așa că acum vom studia câteva obiecte legate de o secvență mărginită. Care este întrebarea de bază la care vom încerca să răspundem? Ori de câte ori este introdus ceva, ar trebui să vă gândiți la asta în termeni de: care este întrebarea la care a fost adresată la care încearcă să răspundă? Deci trecem acum la subiectul limsup și liminf a unei secvențe. Deci iată întrebarea. Așa că am văzut secvențe care nu converg neapărat, cum ar fi minus 1 la n, dar-- și știm despre subsecvențe acum, în care doar alegeți intrări de-a lungul secvenței. Alegeți unul, vă deplasați la dreapta și alegeți următorul. Acum, dacă te uiți la minus 1 la n, dacă mă uit doar la subsecvența constând în alegerea intrărilor impare - intrările cu numere impare din secvență, atunci aș obține doar minus 1 minus 1 minus 1 pentru noul meu ulterior. Și asta converge. Este doar constantă. Sau dacă le-aș alege pe cele pare , aș obține 1, 1, 1, 1, 1. Și asta converge. Deci această secvență, care este mărginită, are o subsecvență convergentă. Acum, nu toate secvențele au subsecvențe convergente. De exemplu, dacă te uiți la secvența x sub n este egal cu n -- deci x sub n este doar 1, 2, 3, 4, 5, 6 și așa mai departe -- asta nu va avea subsecvențe convergente, deoarece orice subsecvență din asta trebuie să fie nemărginit. BINE? Este destul de ușor de arătat. Și știm că o secvență convergentă este mărginită. BINE? Deci la ce ajung? Deci întrebarea la care vom pune și vom încerca să răspundem este următoarea. Fiecare șir mărginit are o subsecvență convergentă? BINE? Și ceea ce tocmai vorbeam acolo este că știm că acest lucru este adevărat, de exemplu, pentru secvența minus 1 la n. Acest lucru este valabil și pentru secvențele convergente. Secvențele convergente sunt mărginite, deci-- și au subsecvențe convergente. Doar luați ca subsecvența să fie întreaga secvență pentru început. Și trebuie să introducem această parte mărginită, pentru că există șiruri care nu au subsecvențe convergente. După cum tocmai am spus, x sub n este egal cu n este un exemplu de succesiune nemărginită care nu are subsecvențe convergente. Deci răspunsul la această întrebare, după cum vom vedea, este da, aceasta este o declarație foarte... foarte puternică. Și asta se datorează lui Bolzano și Weierstrass. Și o voi repeta puțin când vom ajunge la afirmația acelei teoreme - și anume că fiecare șir mărginit are o subsecvență convergentă. Există mai multe moduri diferite de a demonstra această teoremă. O vom demonstra prin introducerea limsup și liminf, pentru că acestea sunt, de asemenea, două obiecte importante care apar în analiză. Deci, să trecem la definiția acestor băieți. Deci, fie xn o secvență mărginită. Și definim-- dacă există, vor exista anumite limite, așa că nu este clar că ele există pentru început. Dar vom arăta că ele există întotdeauna. Definim limsup x sub n. Și uneori voi scrie n merge la infinit dedesubt. Uneori voi scrie doar limsup sau voi avea doar un n sub el. Acesta se presupune a fi un număr, iar acesta este egal cu limita pe măsură ce n merge la infinitul unei noi secvențe obținute din vechea secvență x sub n. Care sunt intrările acestei noi secvențe? Aceasta este sup de x din k, k mai mare sau egal cu n. BINE? Și liminf-ul este similar, doar că acum este cu infs. BINE? Deci, pentru fiecare număr natural n, iau supremamul mulțimii de elemente x sub k pentru k mai mare sau egal cu n. Deci aceasta este o mulțime mărginită, deoarece succesiunea este mărginită. Deci, acest supremum este bine definit - același lucru pentru inf. BINE? Deci primesc un număr, un număr nou pentru fiecare n. BINE? Și iau limita acelor numere și o definesc ca fiind limsup, una ca fiind liminf, dacă ele există -- pentru că limitele nu există întotdeauna, așa că nici măcar nu este clar că aceste două limite sunt de fapt semnificative. Și primul lucru pe care îl vom face este să dovedim că aceste limite există de fapt întotdeauna. Deci, mai degrabă decât să continui să scriu asta, o să le dau acestea... să scriu câteva simboluri pentru aceste două lucruri. Deci, lasă un sub n să fie... desigur, dacă uit să spun asta cel puțin în ceea ce vorbesc în ceea ce privește limsup și liminf, vorbesc întotdeauna despre o secvență legată. Dar permiteți-mi să continui să afirm asta ca una dintre ipotezele mele. Fie x din n o secvență mărginită și fie a sub n supremul mulțimii tuturor elementelor x sub k, unde k este mai mare sau egal cu n și b să fie infimul lui x sub k, a mai mare decât sau egal cu n. BINE? Deci, mai sunt câteva afirmații. Una este că secvența a sub n-- așa că permiteți-mi să pun aici ce legătură au aceste lucruri cu limsup și liminf. Apoi limsup-ul lui x sub n-- aceasta este definită a fi limita pe măsură ce n merge la infinitul a sub n-urilor. Și limita lui x sub n-- aceasta este definită a fi limita pe măsură ce n merge la infinitul b sub n-urilor. BINE? Ceea ce vom arăta este că limita unui sub n ca n merge la infinitul unui sub n există, iar limita ca n merge la infinitul lui b sub n există. Deci, cum vom arăta asta, vom arăta că un sub n este monoton descrescător și mărginit. Și deci acestea sunt concluziile. Deci [INAUDIBLE] ar trebui să spună atunci. Secvența b sub n este monotonă crescătoare și mărginită. Deci, în special, din moment ce știm că, dacă avem o secvență monotonă care este mărginită, aceasta trebuie să convergă, înseamnă că aceste două limite există. Și apoi a doua parte a acestui termen este afirmația simplă că liminf-ul lui x sub n este mai mic sau egal cu limsup [INAUDIBIL] x sub n. BINE? OK, pentru a demonstra una -- deci, de fapt, înainte de a demonstra această teoremă, permiteți-mi să demonstrez mai întâi o mică teoremă simplă. Să punem în așteptare demonstrația acestei teoreme doar pentru o secundă și acum să demonstrăm o teoremă foarte simplă că, dacă A și B sunt submulțimi de numere reale, A, B, ambele nu sunt egale cu mulțimea goală și este o submulțime a numerelor reale. B-- deci trebuie și mărginite. Deci, dacă luăm două submulțimi nevide de numere reale, astfel încât [INAUDIBIL] mărginit și A este o submulțime a lui B, iar concluzia este că inf lui B este mai mic sau egal cu inf lui A. Și aceasta este întotdeauna mai mic sau egal cu sup lui A, iar acesta este mai mic sau egal cu sup lui B. Deci ceea ce spune aceasta este că, dacă iau o submulțime a lui B, atunci aceasta crește inf și scade sup. BINE? Deci sup-ul unui set mai mic este mai mic decât sup-ul setului mai mare. Și acea inegalitate se inversează pentru infs. Inf-ul setului mai mic este mai mare sau egal cu inf-ul setului mai mare. În regulă? Și asta decurge imediat din definiția sup și inf, așa că voi demonstra afirmația sup. Deci, deoarece sup lui B este o limită superioară pentru B și A este o submulțime a lui B, acest lucru implică faptul că sup B este o limită superioară pentru A. Sup B se află deasupra tuturor și B. A este o submulțime a lui B, deci se află deasupra totul pentru A. Acum, supremul lui A ar trebui să fie cea mai mică limită superioară și, prin urmare, dacă iau orice limită superioară pentru A, aceasta trebuie să fie mai mare sau egală cu sup lui A. Deci, deoarece sup B este o limită superioară pentru A, aceasta implică faptul că sup A este mai mică sau egală cu sup B - și în mod similar cu infs, așa că nu voi scrie - atât de similar pentru infs. OK, deci să ne întoarcem la demonstrația acestei teoreme aici, că dacă am o secvență mărginită, atunci limsup și liminf există. Și arătăm că, demonstrând că aceste două secvențe au aceste proprietăți de monotonitate. Deci dovada acum a teoremei am fost... am început să dovedim... OK. Deoarece mulțimea de xk, cu k mai mare sau egal cu n plus 1, este o submulțime de xk pentru k mai mare sau egal cu n-- pentru că acum sunt-- am o mulțime în care k începe de la n plus 1 Iată o mulțime cu k începând de la n, deci aceasta este conținută în mod clar aici. Acest lucru implică faptul că un sub n plus 1, care este sup din partea stângă, prin această mică teoremă pe care am afirmat-o aici, este mai mic sau egal cu sup al mulțimii mai mari. Și acesta este doar un sub n. Deci am demonstrat, pentru tot n, un sub n plus 1 este mai mic sau egal cu un sub n. BINE. Prin urmare, această secvență este monotonă descrescătoare. BINE? Și astfel, aceasta folosește partea sup a acestei teoreme anterioare, dar dacă folosim partea inf, atunci obținem și declarația pentru b sub n. Deci, mai degrabă decât să scrieți detaliile, vă las pe voi doar să răsturnați inegalitățile pentru inf din notele dvs. Deci, în mod similar, pentru tot N, un număr natural, b sub n este mai mare sau egal cu b sub n plus 1-- sau în alt mod. BINE? Acum, asta arată că aceste două secvențe sunt monotone. Acum arătăm că sunt delimitați. Și aceasta rezultă pur și simplu din faptul că x sub n sunt mărginite. Deoarece există un b mai mare sau egal cu 0, astfel încât toate N numere naturale, x sub n în valoare absolută este mai mică sau egală cu b, ceea ce este același cu a spune b este -- x sub n este mărginit între minus B și capitalul B. Deci, luate ca elemente ale fiecăreia dintre aceste mulțimi, dacă vă place acest x din k, k mai mare sau egal cu n, înseamnă că minus B este întotdeauna o limită inferioară pentru aceste mulțimi și B este întotdeauna o limită superioară pentru aceste seturi. Deci, acest lucru implică faptul că minus B este întotdeauna mai mic sau egal cu x sub k, k mai mare sau egal cu n. Și aceasta se află întotdeauna sub supremum. Deoarece toate acestea sunt mărginite mai sus de B, supremul trebuie să fie mai mic sau egal cu B, ceea ce îl voi afirma în termeni de sub n și b sub n - înseamnă că minus B este mai mic sau egal cu b sub n este mai mic sau egal cu un sub n este mai mic sau egal cu b. Deci aceste secvențe sunt mărginite. BINE? Deci, de fapt, aceste două implică faptul că-- bine, așa că am arătat că aceste două secvențe care definesc-- pe care le folosim pentru a defini limsup-ul și liminf-ul sunt monotone și mărginite, deci, limita acestor două secvențe -- limitele, care definesc limsup și liminf, există de fapt. Deci limsup și liminf sunt întotdeauna un obiect bine definit. Acum, asta dovedește una. Pentru a dovedi două, aceasta rezultă imediat din ceea ce am dovedit aici. Deci, prin această parte, avem b sub n este mai mic sau egal cu un sub n. Deci, pentru toate n, am aceste două secvențe, una sub cealaltă. Și ultima dată am dovedit că luarea limitei respectă inegalitatea, așa că limita când n merge la infinitul lui b sub n-- care este liminf-- se află sub limită când n merge la infinitul unui sub n, care este limsup. Și asta completează dovada. Așa că am arătat că aceste două obiecte pe care le-am definit -- limsup și liminf -- există și sunt bine definite pentru fiecare secvență mărginită. Deci, acesta este un fel de-- poate fi un pic cam descurajantă de obiecte pe care să le întâlnești atunci când... mai ales la prima ta oră de analiză. Deci cel mai bun lucru de făcut este să te uiți la exemple. Ori de câte ori dai peste ceva pe care pur și simplu nu prea înțelegi, începe să scrii câteva lucruri reale. Deci, de exemplu, să ne uităm din nou la exemplul nostru preferat de secvență mărginită care nu converge, x sub n este egal cu minus 1 la n. Apoi, dacă mă uit la această mulțime x sub n, n mai mare sau egal cu k și scriu -- în loc de x sub n, permiteți-mi să scriu ce este, minus 1 la n. Deci ce este acest set? Acesta este doar un set format din două elemente, 1 și minus 1. Da? Prin urmare, supa acestei mulțimi, care este supa acestei mulțimi, este doar 1. Oops-- deci dacă iau-- ceea ce implică că limsup-ul de minus 1 la n, care este limita pe măsură ce n merge la infinitate de sup minus 1 la n, n mai mare sau egal cu k-- așa cum tocmai am văzut, aceasta este doar supa acestei mulțimi formată din două elemente, 1 și minus 1. Aceasta este egală cu limita ca n merge la infinit de 1 este egal cu 1. Deci limsup-ul de minus 1 la n este 1. Acum, dacă schimb toate aceste sup în infs, atunci inf-ul acestei mulțimi va fi inf-ul acestei mulțimi, care este doar minus 1. Și prin urmare, obținem și... OK? Deci limsup este 1. Liminf este minus 1 pentru acest set. Ar trebui să fie doar o linie ondulată, care nu arată neapărat ca sigma. OK, deci există o secvență. Ce zici de următoarea noastră secvență preferată, x sub n este egal cu 1/n? Deci mulțimea de elemente 1/n, astfel încât n este mai mare sau egal - deci 1/k ar trebui să scriu. Oh, deci foloseam niște... asta ar fi trebuit să fie un k. Hope nu a făcut această greșeală pe tot parcursul. Nu, am tot scris x sub k. Deci ar trebui să fie x sub k. OK, toate acestea sunt scrise corect. Acesta ar fi trebuit să fie minus 1 la k-- minus 1 la k. În regulă, foarte bine. Deci ne uităm acum la mulțimea 1 peste k, unde n este -- unde k este mai mare sau egal cu n. Deci, acesta este doar un set 1/n, 1/n plus 1, 1/n plus 2, 1/n plus 3 și așa mai departe. BINE? Deci, pe măsură ce trec la următoarea intrare, lucrurile devin din ce în ce mai mici. Și, de fapt, această secvență chiar aici acum, scrisă ca... gândindu-mă la asta ca pe o nouă... deci aceasta nu este o secvență... acesta este un set. Luând intrările pentru a fi acești tipi, este ușor de văzut că converge la 0. Deci, oricum, să presupunem că iau supremamul acestui set, care este ceea ce am nevoie pentru a calcula limsup-ul. Deci acum iau supremația acestui set. 1/n plus 1-- este întotdeauna mai mic decât 1/n, la fel și 1/n plus 2 și așa mai departe și așa mai departe. Și 1/n este un element al mulțimii care este mai mare sau egal cu orice altceva din mulțime. Și cred că există un exercițiu în temei care... așa cum arătați, că dacă aveți un set care conține un element care este o limită superioară pentru setul, atunci acesta trebuie să fie supremul. Deci supremul acestei mulțimi este pur și simplu 1/n. BINE? Deci acest supremum este egal cu 1/n. Deci, pe măsură ce n merge la infinit, limita supremului de aici, care este egală cu limita pe măsură ce n merge la infinit de 1/n, este egală cu 0. OK? Deci limsup-ul lui 1/n este egal cu 0. OK? Dar acum să presupunem că mă uit la inf-urile acestui set. Așa că a trebuit să iau sup-uri ca să mă uit la limsup. Acum să presupunem că iau infs. BINE? Acum, inf-ul acestei mulțimi - acestea sunt elemente care se apropie din ce în ce mai mult și mai aproape de 0. Deci există 0, 1/n, și apoi continuă să devină din ce în ce mai mici și mai mici și mai mici, convergând la 0. Și Puteți, de fapt, să demonstrați acest lucru cu rigurozitate, dacă doriți, dar cred că este ușor să vă convingeți cel puțin că infimumul acestui set este egal cu 0. Cel mai mic lucru - deci, în primul rând, 0 este o limită inferioară pentru acest set. Și dacă iau ceva mai mare decât 0, acel lucru nu poate fi o limită superioară pur și simplu pentru că, dacă vă place proprietatea arhimediană, pot găsi întotdeauna ceva din mulțime mai mic decât acel număr real -- real pozitiv. Deci 0 trebuie să fie cea mai mică limită superioară. Deci, în rezumat, liminf de 1/n, care este inf-- limita pe măsură ce n merge la infinitul inf din această mulțime, este doar limita, când n merge la infinit de 0 este egal cu 0, în regulă. Deci limsup-ul lui 1/n este egal cu 0. Liminf este egal cu 0. BINE. Așa că haideți să ne uităm puțin la aceste două exemple și permiteți-mi doar să fac câteva observații. În primul rând, ceea ce este de observat despre această secvență este faptul că limsup este 1. Liminf este egal cu minus 1. Deci limsup nu este egal cu liminf. Cu toate acestea, în acest exemplu, limsup, care este 0, este egal cu liminf, care este 0. Acum, care este diferența dintre aceste două secvențe? Care este proprietatea pe care o deține unul, dar unul o are, dar celălalt nu? Aceasta este o secvență convergentă și aceasta nu este. Și vom vedea că acesta este un fapt general, că dacă avem o secvență convergentă, atunci limsup și liminf sunt egale între ele și sunt egale cu limita secvenței inițiale, deoarece această secvență converge la 0. Dar asta nu este doar o stradă cu sens unic. Este o stradă cu două sensuri pe care, de fapt, vom demonstra, dacă limsup este egal cu liminf, atunci secvența originală converge. Deci secvența converge dacă și numai dacă limsup este egal cu liminf. Și am văzut aici că în-- pe afișaj, că limsup-ul și liminf-ul nu se egalează unul cu celălalt, iar secvența originală, pe care o știm-- sau afișată data trecută-- nu converge. Și un alt lucru pe care aș dori să-l subliniez este că-- deci limsup-ul acestui tip este 1. Liminf-ul acestui tip este un minus 1. Acum, putem găsi și o subsecvență care converge la 1, care este limsup-ul. Luăm doar intrările pe care le alegem să fie intrări cu număr pare și asta dă doar -- produce o secvență 1. Și acea secvență converge la 1. Dacă luăm intrările impare ale secvenței, acea subsecvență este doar minus 1 și converge la minus 1, care este liminf. Și acesta este, de asemenea, un fapt general care va dovedi că pentru orice secvență mărginită, există unele secvențe care converg către limsup și liminf. Și asta ne va oferi demonstrația acestei teoreme Bolzano-Weierstrass . În regulă. Și cred că acestea sunt toate remarcile pe care vreau să le spun. Și permiteți-mi să fac un alt comentariu important. Deci această secvență, pe care o folosim pentru a defini limsup-ul și, de asemenea, liminf-- în trei din aceste patru cazuri, au fost subsecvențe reale. Deci supa acestui set este egal cu 1, pe care îl pot considera ca o subsecvență a tipului original - și același lucru pentru liminf. Inf-ul acestei mulțimi a fost minus 1, pe care îl pot considera ca o subsecvență a minus 1 la n. Și pentru supa acestui set, am primit 1/n, ceea ce pot - aceasta este doar egală cu secvența originală. Cu siguranță, o pot considera ca o subsecvență a secvenței originale. Dar dacă iau infimumul acestui set, pe care trebuie să-l definesc liminf, am primit 0 pentru fiecare intrare, care nu este o subsecvență a acestei secvențe originale. BINE? Deci toate acestea înseamnă că secvențele pe care le obțin prin acest proces pentru a defini limsup și liminf nu sunt neapărat subsecvențe ale secvenței originale. BINE? Ceea ce tocmai am spus acum un minut despre existența unor secvențe care converg către limsup și liminf-- acesta este un fapt nebanal, pe care îl vom demonstra. BINE. Deci teorema - și aceasta ne va oferi Bolzano-Weierstrass în esență imediat imediat după aceasta - să fie xn o secvență mărginită. Apoi există subsecvențe xn sub k și xm sub k -- deci nu trebuie să fie neapărat aceeași subsecvență -- astfel încât limita pe măsură ce k merge la infinit de x sub n sub k este egală cu limsup -- deci este o convergentă subsecvența-- iar limita pe măsură ce k merge la infinit de xm sub k produce liminf. BINE. Și așadar, înainte de a demonstra acest lucru, aceasta dă imediat teorema Bolzano-Weierstrass , care este că fiecare secvență mărginită are o subsecvență de convergență. BINE. Deci, din nou, aceasta decurge imediat din teorema anterioară, deoarece dacă iau o secvență mărginită, de teorema anterioară, pot găsi o subsecvență care converge către limsup, care există întotdeauna pentru o secvență mărginită. BINE? Și apoi este [INAUDIBIL]. De fapt, avem ceva mai puternic, prin faptul că avem cel puțin două subsecvențe care converg către aceste două numere, care pot fi sau nu aceleași. BINE? Deci, motivul pentru care acest lucru este atât de puternic și atât de puternic este că -- pentru a pune mâna pe ceva, nu este nevoie să arăți ceva la fel de puternic ca să arăți că există o secvență care converge către asta. Deci, destul de des, poți gândi în termeni de probleme variaționale, în care vrei să arăți că un minim de ceva există întotdeauna sau un maxim de ceva există întotdeauna. Ei bine, ceea ce puteți încerca să faceți este să luați o secvență de tipi pe care îi înfigeți în dvs., deci aceasta este o prostie generală pe care o introduceți în mașină sau în funcție care scuipă ieșire. Și aceste ieșiri se apropie de maxim sau de minim. Și ceea ce ați dori să spuneți este că, de fapt, există un element pe care îl puteți lipi în mașina dvs. și să produceți cantitatea maximă de ieșire. Acum, poate nu este clar cum se face asta. Deci, mai întâi, luați o secvență care se apropie - astfel încât valorile să se apropie de aceea - ieșirile se apropie de maxim. Poate ați putea arăta că intrările converg către ceva, dar de obicei este foarte greu. Dar nu trebuie să muncești atât de mult, așa spune această teoremă. Spune că ceea ce trebuie să faci cu adevărat, și care este mult mai simplu, sau mai simplu, sau imposibil într-adevăr, este să arăți că acea secvență de intrări pe care o pui în mașina ta pentru a obține ieșirile este o secvență mărginită. BINE? Apoi ați putea trece la o subsecvență, care de fapt converge către ceva prin această teoremă și să procedați în acest fel, arătând că aveți un minim sau un maxim - o intrare care produce o ieșire maximă sau o ieșire minimă. Deci, aceasta este o mică divagație despre motivul pentru care această teoremă este atât de utilă este că, din nou, este... pentru a pune mâna pe ceva pe care de obicei doriți să îl studiați, este foarte dificil să arătați convergența cu acel lucru pe care doriți să îl studiați, sau acel lucru există, pentru că există o secvență cu care ai venit ad- hoc, de fapt, converge către acel lucru. Dar această teoremă spune că nu trebuie să muncești atât de mult sau să încerci să faci imposibilul. Și de obicei, este mult mai ușor să continuați doar arătând că secvența dvs. de intrări este mărginită. OK, deci este suficientă din acea divagație despre motivul pentru care această teoremă este atât de utilă. Este util și în studiul PDE-urilor, ceea ce studiez eu. Deci am un punct slab pentru asta. De fapt, una dintre generalizările sale -- în regulă, deci să demonstrăm această teoremă că există unele secvențe care converg către limsup și liminf. Deci, ca și înainte, voi folosi-- în loc să continui să scriu supremația acestui set și-- de fapt, nici măcar nu voi face această declarație. O să las asta ca un exercițiu. Am de gând să fac această afirmație. Voi folosi această notație a sub n, ca înainte -- un sub n b sup de x sub k, k mai mare sau egal cu n. Așa că vreau să arăt că există ceva care converge către limită pe măsură ce n merge la infinitul sub n-urilor a. Și așadar, ceea ce voi face este să încerc o subsecvență de elemente între un sub n și un sub n minus ceva care converge la 0 și nu chiar un sub n. Deci va fi și de-a lungul unei secvențe ulterioare. Deci, știm că există un n sub 1 mai mare sau egal cu 1 pur și simplu prin modul în care acesta este definit ca un supremum și prin exercițiul din sarcina 3 că există un n sub 1 mai mare sau egal cu 1, astfel încât un sub 1 minus 1 este mai mic sau egal cu este mai mic decât x sub 1 este mai mic sau egal cu un sub 1. OK? În regulă. un sub 1 minus 1 nu este o limită superioară pentru mulțimea a sub 1, care este x sub k, unde k este mai mare sau egal cu 1. Prin urmare, ar trebui să pot găsi un element din acest set strict mai mare decât atât. Și, desigur, este întotdeauna mai mic sau egal cu supremum, care este un sub 1. OK. Deci, acum, din moment ce un sub n sub 1 plus 1-- deci un sub n sub 1 plus 1, nu 1 plus 1-- deoarece acest lucru este egal cu supremul lui xk, astfel - k este mai mare sau egal cu 1 plus 1, există un sub n sub 2 -- cel puțin există un n sub 2 mai mare decât n sub 1 -- de fapt, trebuie să fie mai mare sau egal cu n sub 1 plus 1 -- astfel încât un sub n plus 1 minus 1/2 este mai mic decât un sub n sub 2 este mai mic sau egal cu un sub n plus 1. OK? Deci, de ce n sub 1 plus 1 se datorează faptului că am vrut să obțin o nouă intrare din secvența care vine de la mai departe decât indicele n sub 1. OK? Încerc să construiesc o succesiune. Și, așa cum am spus, ideea este că vreau să fac sandwich-- acesta ar trebui să fie x sub n-- vreau să construiesc o subsecvență care să fie cuprinsă între lucrurile care converg către limsup și să folosesc teorema squeeze. În regulă? OK, deci, din moment ce acesta este supremul acestei mulțimi, și pentru că acest lucru nu este o limită superioară pentru această mulțime, există ceva din mulțime, deci un element k mai mare sau egal cu n sub 1 plus 1, pe care îl voi numi n sub 2, astfel încât x sub n sub 2 este mai mare decât un sub n plus 1 și un sub n sub 1 plus 1. Și apoi continui să fac asta. Deoarece un sub 2 plus 1 este egal cu supremul lui x din k, astfel încât k este mai mare sau egal cu n sub 2 plus 1, există un n sub 3 mai mare decât n sub 2, astfel încât un sub n sub 2 plus 1, minus acum o treime, este mai mic decât x sub n sub 3 este mai mic sau egal cu un sub n sub 2 plus 1. OK. Dar acum suntem practic liberi acasă. Vom continua doar în acest fel. Lasă-mă să scriu. Acum, strict vorbind, trebuie să precizez construcția acestei secvențe ca argument inductiv, dar în scopul acestei clase, nu voi face asta. Am să spun doar... continuând în acest fel. Și asta va fi ceea ce voi spune pentru această parte. Deci, continuând în acest mod, obținem o succesiune de numere întregi, numere naturale-- n sub 1 mai mic decât n sub 2 mai mic decât n sub 3, așa mai departe-- astfel încât ce este valabil-- astfel încât, pentru toate k [? N, ?] număr natural, un sub n sub k minus 1 plus 1 minus 1/k este mai mic sau egal cu x n sub k mai mic sau egal cu un sub n sub k minus 1 plus 1. OK? Și aici, dacă doriți, nu am definit ce este n sub 0, așa că-- deci, într-adevăr, ne interesează doar n sub 1, n sub 2. Dar de dragul ca toată această chestiune să aibă sens pentru toate numerele întregi k, cu n sub 0 fiind definit a fi 0-- OK? Acesta este doar primul caz cu care ne-am ocupat. Deci obținem această subsecvență x sub n sub k care este intercalată între această subsecvență a lui a și minus 1 peste k și această secvență a sub n sub k minus 1. Deci, deoarece n sub 1 este mai mic decât n sub 2 și așa mai departe , acest lucru implică faptul că-- scrieți-l așa-- n plus 1 este mai mic decât [INAUDIBIL] 2 plus 1 este mai mic decât n sub 3 plus 1. Deci aceasta este o subsecvență-- un sub n sub k minus 1 plus 1 este o succesiune a sub n-urilor. Acum, ce știm" Știm că convergerea sub n-ului la limsup. Și am demonstrat data trecută că fiecare subsecvență a unei secvențe convergente converge la același lucru. Aceasta este limita pe măsură ce k merge la infinitul unui sub n sub k minus 1 plus 1 este egal cu limita secvenței inițiale, care este, prin definiție, limsup. OK? Deci acum am această subsecvență. Deci acum am această subsecvență de x-uri plasate între două secvențe - acest tip din stânga , acest tip din dreapta. Acest tip din dreapta converge către limsup. Acest tip din stânga converge către limsup minus 0, pentru că 1/k converge către 0. Deci, prin teorema squeeze, obținem că limita ca k merge la infinitul lui x sub n sub k este egal cu limita, așa cum k merge la infinitul acestui și întregul lucru, care este limsup. OK. Și din nou, așa că vă las pe voi să faceți partea liminf. Dar Ideea este că acum, practic, acest 1/k este mutat aici, iar acesta devine un sub n sub k minus 1 plus 1 plus 1/k. Și acum am doar asta când stau sub acest tip. În regulă? Aceasta este într-adevăr singura schimbare pentru infs pentru a obține o subsecvență care converge către liminf. BINE? Acum, am arătat că există o subsecvență care converge către limsup și liminf, ceea ce ne oferă teorema Bolzano-Weierstrass. Și acum permiteți-mi să revin la afirmația pe care am făcut-o despre aceste două secvențe aici - și anume, că limsup este egal cu liminf dacă și numai dacă secvența originală converge. Deci haideți să dovedim asta acum. Fie x sub n o secvență mărginită. Atunci xn converge dacă și numai dacă limsup este egal cu liminf. Și mai este o parte. Mai mult, dacă xn converge, atunci toate aceste limite sunt de acord -- este egal cu limsup, este egal cu liminf. BINE? Deci secvența converge dacă și numai dacă limsup este egal cu liminf-- și în cazul în care avem această limită a secvențelor date de această valoare comună a limsup și liminf. OK, deci hai să mergem într-o direcție. Pentru a face această direcție, vom folosi teorema de strângere. Deci, să presupunem că L este egal cu limsup x sub n este egal cu liminf pentru x sub n. Presupunem că aceste două lucruri sunt egale. Ele sunt date de o valoare comună L. Și ceea ce vom sfârși să arătăm este că această secvență converge la L. Așadar, aceasta oferă de fapt a doua parte a enunțului acestei teoreme aici. Deci, să presupunem că L este acest număr comun, limsup și liminf. Atunci, pentru tot N, [? un ?] număr natural, avem că inf al x sub k, care este pentru k mai mare sau egal cu n-- deci x sub n este în această mulțime, deci este cu siguranță mai mare sau egal cu acest inf. Și este mai mică sau egală cu sup a acelui set, din nou, deoarece x sub n se află în acest set. În regulă? Dar, pe măsură ce n merge la infinit, această secvență de numere converge către liminf, care este L. Pe măsură ce n merge la infinit, această secvență de numere converge către limsup, care este L. Deci, prin teorema de strângere, lucrul dintre, care este x sub n, converge la L. Deci, pentru a doua parte, este -- rezultă din ceea ce am demonstrat -- ceea ce am demonstrat pentru a obține Bolzano-Weierstrass și ceea ce știm despre secvențele convergente și subsecvențele lor. Deci, aceasta este pentru această direcție - și anume, acea convergență implică că limsup este egal cu liminf. Fie L limita pe măsură ce n merge la infinitul lui x sub n. Deci acum presupunem că secvența converge către ceva pe care îl numim L-- nu trebuie să fie același L din-- deci este doar L pe care îl folosesc doar pentru această limită. Prin teorema anterioară, există o subsecvență x sub n sub k, astfel încât limita pe măsură ce k merge la infinit de x sub n sub k îmi dă limsup pentru x sub n. Dar aceasta este o subsecvență a unei secvențe convergente, iar o subsecvență a unei secvențe convergente este convergentă și converge către același lucru. Deci chestia asta din stânga este egală cu L. OK? În mod similar, există o subsecvență x sub n sub k, astfel încât limita ca k merge la infinit de x sub n sub k este egală cu liminf pentru x sub n. Și din nou, aceasta este o subsecvență a unei secvențe convergente, deci este convergentă și convergentă a aceluiași lucru, L. Deci asta implică că acest lucru este egal cu L. În regulă. Și, prin urmare, limsup și liminf sunt egale între ele și, de asemenea, sunt egale cu limita secvenței originale. Deci, acesta este sfârșitul demonstrației acestei teoreme că limsup și liminf-- atunci când coincid și vă spun că secvența originală converge. Deci, acesta este un alt mod de a gândi despre limsups și liminfs este că ele măsoară cumva cât de divergentă este secvența ta, sau cel puțin diferența dintre ele. Dacă această diferență este 0, atunci secvența ta inițială este convergentă. BINE? Bine, deci cred că ne vom opri aici.