[SCRÂTÂND]
[FOȘIT]
[CLIC]
PROFESOR: Recuperarea
formelor obiectelor utilizând
măsurătorile luminozității imaginii.
Și am vorbit oarecum
despre stereo fotometric,
care a fost o metodă care
ne aduce rezultatul.
Dar este oarecum
nefiresc prin faptul că
necesită expuneri multiple.
Și suntem pe cale să
trecem la formă
de la umbrire, care este
o metodă de a face acest lucru
cu o singură imagine.
Și am vorbit deja
despre câteva tipuri diferite
de materiale de suprafață și
proprietățile lor reflectorizante.
În special, am vorbit
despre suprafețele Lambertiene
și am început să
vorbim puțin
despre Hapke, care este un
model pentru reflectarea
planetelor stâncoase.
Și vreau să introduc
un al treilea, care
are legătură cu microscopia.
Deci, acesta este un
microscop electronic cu scanare.
Dar mai întâi, pentru
comparație, iată
câteva imagini cu
microscoape electronice cu transmisie.
După cum probabil
știți, ele vă permit
să obțineți o
mărire uriașă, mult mai mare
decât în ​​cazul luminii vizibile,
deoarece sunteți limitat
de lungimea de undă a luminii.
Și lungimea de undă a
electronilor la energii kilovolt
este mult mai scurtă,
permițându-vă potențial
să imaginiți molecule mari.
Și încă nu și-au
atins limita.
Teoretic, ar fi capabili
să rezolve molecule
și atomi individuali și, în
unele cazuri, o fac.
Oricum, dacă faci o căutare,
transmisie electronică,
microscop electronic, dai
clic pe Imagini,
obții toate aceste imagini cu
aceste tipuri de microscoape.
Și apoi, în cele din urmă,
obțineți niște imagini
cu lucruri care ar fi putut
fi fotografiate cu un
microscop electronic, ca acest
lucru din dreapta.
Și aceasta este o celulă cu un
nucleu și niște vacuole
și așa mai departe.
Și este o
tehnică extrem de utilă
pentru a vedea detaliile fine,
dar are limitările sale
în ceea ce privește interpretarea.
Deci, te uiți la... ei
bine, ceea ce vom
face în acest moment
este să ne uităm la comparația cu
alte tipuri de microscopie.
Deci, să vedem.
Voiam să dau
clic pe chestia asta.
Deci, cred că poți
înțelege,
dar este o felie foarte subțire
de ceva
și ar trebui să știi
detaliile despre ce este asta.
Acum, dacă în comparație, facem o
căutare pe microscoapele electronice de scanare
și facem clic
pe Imagini, obținem asta.
Și trebuie să
derulați în jos înainte de a
obține o fotografie a unui microscop.
De ce este asta?  Ei
bine, pentru că
microscoapele electronice cu scanare
fac aceste imagini grozave
pe care oamenii le plac.  Microscopul
electronic cu transmisie
realizează imagini grozave pe
care oamenii de știință implicați
în cercetare le plac,
dar nu sunt
ușor de interpretat,
în timp ce aceste
imagini cu microscopul electronic de scanare
sunt foarte populare.
Sunt doar fabuloase.
Adică, uită-te la asta.
Adică, poți
vedea imediat capul
acestui păianjen săritor și
este șase din cei opt ochi
și așa mai departe.  De
ce, mă rog?
Imagini frumoase care ni se
par foarte usor de interpretat,
stiu exact ce este.
Și aceasta este o suprafață
a cine știe ce.
Dar puteți
spune imediat forma și unde
sunt crăpăturile și așa mai departe.
Deci, ideea este că aceste
microscoape electronice cu scanare
produc imagini pe care ni se
pare ușor de interpretat.
Deci nu stiu.  Vă
puteți gândi la un motiv pentru care
nu ni se pare că
imaginile cu microscopul electronic de transmisie sunt
atât de ușor de interpretat,
dar acestea le putem oferi
unde ne aflăm în curs?  Ei
bine, dacă te uiți
la aceste imagini,
vezi că există o
variație de luminozitate.
Deci asta e destul de evident.
Dar este o variație
oarecum specială.
Pe măsură ce te apropii de
margini, lucrurile
devin mai strălucitoare, în timp ce dacă te
uiți la suprafața frontală,
acestea devin mai întunecate.
Deci, există o variație
a luminozității în
funcție de
orientarea suprafeței.
Ta-da,
despre asta vorbim.
Deci, motivul pentru care ni se pare că aceste
imagini sunt atât de atrăgătoare și ușor
de interpretat este pentru că
au umbrire.
Au o dependență
de luminozitate
de orientarea suprafeței.
Și deci acesta este, evident,
capul unei molii.
Puteți vedea ochii compuși.
Puteți vedea schnozzle-ul
acolo, totul suflat.
Deci este atât de ușor să
vezi ce se întâmplă.
Există o aterizare extraterestră pe...
și singurul lucru
care este puțin ciudat
este dacă te uiți la aceste
forme, deci aceasta este, evident,
o formă ovoidă asemănătoare fotbalului,
este cel mai întunecat în mijloc
și devine strălucitor
spre margini.
Deci este un fel de
anti-lambertian.
Cu Lambertian, obținem cea mai
strălucitoare reflexie a suprafeței
acolo unde suprafața este
perpendiculară pe
lumina incidentă.
Și așa ne așteptăm ca pe măsură ce te
apropii de conturul de ocluzie,
acesta se întunecă.
Deci, dacă ne uităm la izofotele
de pe, să zicem, imaginea unei sfere,
vor fi curbe concentrice
care vor coborî
spre margine.
Și astea merg pe cealaltă direcție.
Și, deci, este destul
de interesant
pentru că dacă am crește într-o lume în
care majoritatea lucrurilor ar fi un fel
de Lambertian, ne-am pricepe
foarte bine
la interpretarea formei lucrurilor
care au acest tip de suprafață.
Și totuși suntem capabili să interpretăm
foarte bine forma acestuia.
Și la un moment dat, am avut un UROP să
facă o grămadă din aceste poze
și să inverseze contrastul
pentru că ar trebui să
fie mult mai ușor de interpretat.
De ce nu s-a gândit nimeni la asta?
Și ei bine, nu a fost o
sarcină UROP foarte reușită
pentru că cu
contrastul invers,
imaginile nu
arătau mai bine.
De fapt, au fost puțin mai
greu de interpretat
și am avut câteva
explicații pentru asta.
Deci arată câteva lucruri.  În
primul rând, această modalitate
de imagistică microscopică
este foarte drăguță din
punctul nostru de vedere
pentru că putem
înțelege aceste imagini.
Nu avem nevoie de un
calcul complicat.
Și celălalt este că
sistemul vizual uman se pare că
poate face acest lucru
și nu este
programat să avem o
idee anume despre ce
este materialul de suprafață.  Se
poate adapta și face față...
Adică, putem vedea că aceasta
nu este o suprafață lambertiană.
În același timp, putem
avea o idee destul de bună
despre care este forma.
Adică, poate că nu este
metric precis,
dar asta e altă poveste.
OK, deci despre asta vom
vorbi în continuare.
Așa că lasă-mă să scap de asta.
Cum facem asta?
Cum implementăm acest lucru?
Da, vreau să închid.
Deci, mai întâi, o mică notă despre
cum funcționează aceste microscoape electronice cu scanare
.
Probabil că sunteți prea tineri
pentru a vă aminti tuburile cu raze catodice,
dar oamenii obișnuiau să creeze imagini
prin devierea fasciculelor de electroni
și făcându-le să afecteze
fosforul, care apoi ar
străluci.
Și acele dispozitive aveau
o sursă de electroni.
Practic, faci un fel de
fierbere de electroni
de pe o suprafață.
Deci este o mică bobină încălzită.
Deci aceasta este
sursa de electroni.
Și au un fel de
bule de pe suprafață.
Și apoi le accelerezi
având un electrod, pe care îl vom
numi anod.
Și, ei bine, mulți
electroni ajung acolo.
Dar alți electroni sunt
accelerați.
Și apoi avem lentile.
Și acestea sunt de obicei
magnetice.
Și pot fi, de asemenea,
lentile electrostatice.
Și ideea este că vom
concentra
acest fascicul pe un obiect.
Așa că faceți puțin spațiu pentru
un obiect aici jos.
Deci, cu inteligența potrivită
și destui bani,
puteți concentra acel fascicul până
la un punct foarte mic.
Și atunci ce faci?
Ei bine, electronii lovesc acel
obiect, iar unii dintre ei
sară.
Deci avem retrodifuzare,
retrodifuzare a electronilor.
Dar majoritatea pătrund.
Și în acest proces,
ei pierd energie
și creează electroni secundari.
Așa că poți să te gândești la
ele ca se lovesc de molecule
și pierd ceva
energie și creează--
elimină electroni
de pe obiecte ionizante.
Și unii dintre acești
electroni secundari
ies din
obiect și sunt
adunați de un fel de
electrod, care este, de asemenea, și
alte efecte.
De exemplu, va exista o oarecare
fluorescență la energiile de raze X.
Deci unii oameni măsoară
razele X care ies.
Și poate exista și
lumină vizibilă și așa mai departe.
Dar ne vom concentra
pe electronii secundari
pentru că asta este
folosit în imagistica
și crearea acelor
imagini pe care vi le-am arătat.
Deci, de ce curentul de
electroni secundari
, pe care îl măsurăm
aici, variază în funcție de suprafață?  Ei
bine, în primul rând,
modul în care l-am desenat,
nu este foarte
folositor pentru că obținem doar
o măsurătoare.
Deci, ceea ce vrem cu adevărat
să facem este să scanăm asta.
Deci unii dintre acești
electrozi...
de obicei, se
fac magnetic.
După cum știți, electronii dintr-un
câmp magnetic se vor întoarce.  Prin
urmare, folosind două
câmpuri magnetice ortogonale pe
care le puteți controla
de la computer,
puteți direcționa acel
fascicul oriunde doriți
și puteți scana obiectul
într-o manieră raster,
de exemplu.
Așa că asta îmi amintește întotdeauna de
dl Farnborough, care are...
pretenția sa la faimă este că
are un drum de pământ numit după el,
la câteva mile de unde locuiesc.
El este tipul care
a inventat televiziunea.
Nimeni nu-i acordă
vreun credit pentru asta,
și asta pentru că era o
persoană foarte deșteaptă, dar nu
un bun om de afaceri,
și a fost înșelat
de oamenii care
conduceau RCA, etc.
Oricum, probabil că
n-am auzit niciodată de el.
Dar când a fost
întrebat de un reporter,
știi, cum ți-a
venit ideea asta...
Adică, pentru noi acum,
totul pare destul de evident.
Dar la momentul respectiv,
ce era disponibil?  Ei
bine, a existat telegraful,
începuturile telefonului,
iar marea întrebare era audio
este un semnal unidimensional.
Deci înțelegem cum să măsurăm
asta, cum să o transmitem,
cum să o reproducem.
Dar această imagine este 2D.
Cum faci asta?
Și au existat tot felul de
scheme nebune și nebunești.
Și se presupune că
inspirația lui au fost brazdele
din
ferma tatălui său pentru că bănuiesc că
trebuia să meargă în spatele
boilor și să țină plugul.
Și a decis că, ei bine, așa cum
pot să arat toată această zonă
transformând-o într-o problemă 1D,
pot face același lucru cu imaginile.
Sincer să fiu, cred că aceasta este
o explicație pe care a venit
cu el atunci când un reporter a întrebat
pentru că de multe ori oamenii
au nevoie de o modalitate de a
înțelege cum ai
ajuns vreodată la soluție.
Și atunci trebuie să
visezi un motiv.
Deci, oricum, asta a făcut.
Și asta se aplică aici.
Așa că scanăm într-un mod raster.
Și atunci ce facem?
Folosim curentul măsurat
aici pentru a modula un fascicul de lumină
pe afișaj, fie un alt
CRT, fie îl citim într-un computer
și îl afișam pe un LCD.
Și apoi puteți controla
mărirea.
Cum faci asta?
Ei bine, tu controlezi doar
devierea.
Deci, dacă devii
foarte mult fasciculul,
nu obții prea multă
mărire.
Și pe măsură ce reduceți
deviația,
obțineți din ce în ce mai
multă mărire.
Și astfel puteți obține
mii, zeci de mii
în comparație cu
microscopia optică, care ajunge la maxim
sub 1.000 aproape
în ciuda a tot felul de
trucuri incredibil de inteligente.
OK, de ce creăm
imagini umbrite?
Deci trebuie să ne uităm la
modul în care suprafața interacționează
cu fasciculul.
Deci iată fasciculul care intră,
electroni la câțiva electroni
volți.
Și au lovit acest material
și încep să interacționeze.
Se lovesc de lucruri și
creează electroni secundari.
Și își pierd energie pe măsură ce merg.
Așa că primele câteva
energie destul de ridicată, apoi
obțin energie mai mică, iar
tipii ăia se lovesc de lucruri.
Și cei mai mulți dintre acești electroni
pur și simplu dispar în acest obiect,
dar unii dintre aceștia care sunt
aproape de suprafață scapă
și sunt măsurați de
colectorul nostru secundar de electroni.
Și, deci, practic,
ceea ce afișăm
este ce fracțiune din
fasciculul de intrare
o face de fapt
înapoi din nou.
Apropo, una
dintre limitări
este că acest lucru este
mai bine să fie conductiv
pentru că pompezi
toți acești electroni.
Nu este un curent mare,
micro amplificator sau mai puțin.
Dar totuși, această
insectă este acolo
și pui un
micro amper de curent
și, destul de curând, se
va încărca până la
o parte semnificativă de
Coulomb și va exploda.
Deci, pentru a face acest lucru,
de obicei placați cu aur
aceste obiecte, astfel încât să
fie conductoare.  De
ce aur?  Ei
bine, pentru că nu eliberează gaze.
Toată chestia asta
trebuie făcută în vid.
OK, deci asta avem
în situația verticală.
Acum imaginați-vă că avem
un element de suprafață, fascicul foarte înclinat
.  Ei
bine, acum mulți alți
electroni vor
scăpa pentru că
sunt generați mai aproape
de suprafață.
Deci, asta înseamnă că momentul pe care îl
măsurăm va fi mai mare
atunci când avem de-a face cu o
suprafață înclinată.
Și așa este.
Acesta este mecanismul pentru a
transforma orientarea suprafeței
în luminozitate.
Și treaba noastră este să inversăm asta.
Deci, o modalitate prin care putem
înțelege acest lucru
este să trasăm
harta reflectanței, ceea ce
am făcut deja pentru
suprafețele Lambertian
și suprafețele Hapke.
Luminozitate versus
orientare - deci, în acest caz, coborârea
directă înseamnă că
obținem o imagine relativ întunecată,
deoarece mulți
electroni secundari
nu vor
ieși niciodată de la suprafață.
Apoi, pe măsură ce trecem la o înclinare mai mare a
suprafeței,
aceasta devine mai strălucitoare, deoarece mai mulți
electroni secundari scapă.
Și în aranjamente tipice,
lucrul este simetric axial.
Deci, indiferent dacă acești
electroni ies
în această direcție
sau în acea direcție,
dacă ies de pe suprafață,
vor fi numărați.
Și asta înseamnă că acest lucru
va fi simetric.
Și așa că, dacă reprezentăm
izofotele,
vom obține
așa ceva.
Pune numere pe ea.
Unde devine mai mare, cu cât
ajungem mai departe, cu atât
suprafețele sunt mai înclinate.
Și da, poți modifica asta.
Puteți elimina unii
dintre colectori
sau puteți conecta acest colector la
un alt senzor și așa mai
departe și faceți acest lucru asimetric.
Dar modul standard
de utilizare este doar
măsurarea
curentului total de electroni secundari.
Și asta ne oferă acel
tip de hartă a reflectanței.
OK, deci acum, dacă
măsoară luminozitatea
într-un anumit
punct al imaginii,
obțin panta suprafeței.
Așa că pot
traduce direct asta.
Dacă este 0,7, atunci panta
este oricare ar fi distanța
de la origine.
Dar nu înțeleg gradientul.
Corect, ceea ce aș dori să știu este
care este orientarea la suprafață.
Și, ca de obicei, avem
două necunoscute, p și q.
Avem o singură constrângere.
Măsurăm luminozitatea.
Și deci da, am redus
numărul de posibilități,
dar mai avem
un
set infinit de posibilități unidimensionale.
Deci, panta
este considerată de obicei un scalar,
în timp ce acesta este un vector.
Deci este un pic ca
viteza versus viteza.
Adică, nu toată lumea este de acord
cu aceste definiții.
Dar pentru mine, viteza este o
cantitate scalară care merge cu 50 de mile pe oră,
în timp ce viteza este
un vector direcționat.  Deci
bine.
Deci ce să fac?  Ei
bine, este doar un alt
exemplu al acestei forme
de la problema umbririi.
Vom avea
o distribuție
a unui model de luminozitate.
Iar treaba noastră este să estimăm
care este forma suprafeței
și avem o
hartă a reflectanței care ne ajută cu asta,
deoarece ne permite să căutăm
orice luminozitate anume pe care o
măsurăm care este panta,
din păcate nu și gradientul.
Dacă ar fi gradientul, atunci am
fi într-o formă mai bună.
Și vom face asta
pentru diverse cazuri speciale
și apoi pentru
cazul general, unde putem folosi
orice hartă de reflectanță ne place.
Și asta este important pentru că
nu vrem ca acest lucru să funcționeze doar
pentru, de exemplu, Lambertian, suprafețe sau
suprafața lunară sau orice altceva.  Deci
bine.
Așa că, când aveți
ocazia, căutați imagini cu microscopul
electronic de scanare

și admirați-vă
lumea minunată care există acolo
și cum suntem capabili să
o înțelegem atât de bine.
Și, știi,
puzzle-uri precum de ce,
dacă inversezi
contrastul, nu
este mai ușor să
interpretezi imaginea, ceea ce
te-ai aștepta.
Te-ai aștepta ca
o suprafață care este cea mai
strălucitoare în locul în care se confruntă cu tine
ar fi mai ușor de înțeles
asta decât una care este mai întunecată.
Bine, așa că, ca pregătire
pentru asta,
vreau să vorbesc puțin despre
cum să trec de la o diagramă a acului
la formă.
Acum, unde
mergem cu asta este că
mergem direct la
o metodă care ne duce
de la o singură imagine la o formă.
Dar între timp,
avem câteva instrumente
și vreau să le
exploatez.
Deci, de exemplu, ce este
o diagramă cu ac?  Ei
bine, este doar
orientarea la suprafață la fiecare pixel.
Și care sunt acele?  Ei
bine, vă puteți gândi la
fiecare fațetă a suprafeței
ca având o normală
care iese în afară.
Și te uiți de sus
la acel normal.
Acesta este acul.
Și din punctul de vedere al acesteia,
vă puteți aminti încă
de la prima
clasă, dacă
priviți drept în jos
perpendicular pe suprafață,
atunci acel acul
este doar un punct.
Și dacă nu este, atunci va
fi îndreptată într-o direcție.
care vă spune care
este direcția gradientului de suprafață.
Și lungimea acestuia vă va spune
cât de abruptă este suprafața.
Deci de unde luăm astea?  Ei
bine, nu o să-i
luăm de acolo.
Deci mai este de lucru.
Dar, de exemplu, obținem acest lucru
din stereo fotometric.
Deci, în
stereo fotometric, nu
calculăm z în
funcție de x și y.
Ceea ce obținem în schimb este p
și q în funcție de x și y,
bineînțeles amintindu-ne că
p este dzdx și q este dzdy.  Ei
bine, este estimarea noastră
bazată pe măsurătorile noastre de luminozitate a imaginii
.
OK, deci pare
o problemă foarte simplă.
De ce?
Ei bine, în
cazul discret, avem
un număr de necunoscute egal
cu numărul de pixeli.
Încercăm să recuperăm z
la fiecare pixel, să spunem.
Deci sunt
milioane de necunoscute.
Dar la fiecare pixel avem și
două informații -
p și q.
Deci, dacă avem o
imagine de un milion de pixeli,
avem 2 milioane
de informații.
Deci este supradeterminat.
De fapt, avem mai multe
informații decât avem nevoie.
Și după cum am văzut,
asta este întotdeauna la îndemână,
deoarece asta înseamnă
că am fi
capabili să reducem zgomotul și să obținem un
rezultat mai bun decât dacă nu ar fi
supradeterminat.
Deci, de fapt, avem de
două ori mai multe constrângeri
decât se cunosc.
OK, deci ce putem face?  Ei
bine, un lucru pe care îl putem face
este să presupunem că începem aici
și doar integrăm p,
care este dz dx de-a lungul acestei axe.
Și ceea ce vom obține este
schimbarea înălțimii.
Deci z de x este z de, să spunem, 0. Să
presupunem că începem de la
origine plus de la 0 la x.
Corect, pentru că dz dx
este derivata.
Voi integrați
aici derivatul.
Știi toate astea.
Deci OK, ca să pot obține înălțimea
oriunde de-a lungul axei x.
Și, în mod similar,
pot obține înălțimea
oriunde de-a lungul
axei y integrând
celălalt lucru pe care îl cunosc.
Deci, de acolo,
le pot combina
și pot merge parțial în
sus pe axa y
și transversal pe axa x.
Așa că pot ajunge parțial
pe x-- astfel încât să
pot completa întreaga zonă
în diferite moduri ca acesta.
Și de fapt, aș
putea face o curbă.
Deci hai să luăm acea curbă.
Și așa că de-a lungul acelei curbe,
ceea ce ne uităm
este o combinație.
Corect, deci ce este asta?  Ei
bine, acesta este doar
produsul scalar al gradientului pq dot
dx dy.
Deci asta îmi spune doar
schimbarea în înălțime.
Deci, acesta este de fapt
delta z, dacă doriți.
Aceasta este o schimbare a
înălțimii dacă fac
un pas mic în direcția x
și apoi un pas mic
în direcția y.
Destul de evident.
Și așa pot face asta
pentru toate aceste puncte.
Doar aleg contururi
și integrez.  Ei
bine, dar
dacă
vine altcineva și spune, oh,
nu-mi place conturul pe care l-ai
ales?
Am de gând să merg pe aici.
Și ceea ce ați spera, desigur,
este că vor primi același răspuns.
Dar nu există nicio garanție pentru
că aceste p și q sunt
determinate experimental.
Sunt supuse
zgomotului de măsurare.
Deci nu sunt perfecte.
Ele nu sunt de fapt
derivatele lui
z față de x și
derivatele lui z față
de y.
Sunt estimările noastre,
care includ ceva zgomot.
Deci, bine, bine, ceea ce am spera este
că vor ieși la fel.
Și ceea ce înseamnă că, de
fapt, ceea ce sperăm
este că, dacă ocolim
bucla,
dacă mergem pe aici, da da da,
acolo sus, și apoi ne întoarcem, cu
ce ar trebui să fie egal?
STUDENT: Zero.
PROFESORUL: Deci ar
trebui să fie zero.
Da multumesc.
Și fiecare jogger știe
că nu este adevărat.
Dacă faci jogging în buclă, se pare că
mergi în sus până la capăt.
Bine, cred că nu
avem mulți joggeri aici.
Deci... oh, parcă...
bine, bine.
Deci asta ar trebui să fie adevărat.
Deci nu există nicio
garanție că atunci când
măsurăm p și
q experimental, le
estimăm, că
acest lucru va fi adevărat.
Deci ce facem cu asta?  Ei
bine, un lucru la care ne
putem gândi
este să transformăm acest lucru într-un
fel de condiție pe p și q.
Adică, p și q trebuie să
satisfacă o constrângere pentru ca aceasta să
fie adevărată.
Și acest lucru trebuie să fie valabil pentru
orice buclă, nu doar pentru aceea.
Și pot descompune o
buclă mare ca aceea în bucle mici.
Deci să presupunem că este
adevărat pentru acea buclă.  Ei
bine, atunci pot
pune o altă buclă
lângă ea și o altă buclă.
Și acum, în loc să
ocolesc aceste patru bucle,
pot elimina părțile interioare
și se anulează reciproc.
Vedeți, dacă mă duc
de aici încolo
și apoi mă duc
de acolo în aici,
mă întorc în același loc.
Deci, acesta este un
mod grosolan de a demonstra
că, dacă este adevărat pentru o
buclă mică, pentru orice buclă mică,
pot descompune orice
buclă mare în o mulțime de bucle mici.
Și atunci va fi adevărat
și pentru bucla mare.
Deci OK, deci să vedem ce--
deci să avem un
grup mic de dimensiunea delta
x în această direcție și
delta y în acea direcție.
Și să presupunem că
acesta este punctul xy.
Și să vedem cum se
schimbă înălțimea
pe măsură ce ocolim această buclă.
Începe de aici, să zicem.  Ei
bine, atunci trebuie să
știm care este panta
în direcția x.  Deci
asta e p.
Și să luăm panta din
centrul acestei întinderi, care va
fi p de x și
y minus delta y peste 2.
Și aceasta este panta și
mergem în delta x cu acea pantă.
Așa că facem această
buclă suficient de mică,
astfel încât să putem folosi această
aproximare liniară,
încât panta este destul de
constantă pe acea întindere.
Apoi urcăm.
OK, deci asta va
fi... avem nevoie de panta
în direcția y, care este q.
Și vom lua panta
și o vom estima pe baza
centrului acestei linii.
Deci este la x plus delta
x peste 2 și delta y.
Îmi pare rău.
Și apoi
trecem peste vârf,
minus p xy plus delta y peste 2.
Oh, aceasta este ori delta y.
Și apoi coborâm.
Deci acesta este minus q.
Și ar trebui să fie 0.
Ar trebui să fim înapoi
la punctul zero.
Deci ceea ce obținem aici este că dacă
facem extinderea seriei Taylor
a acesteia, obținem--
și aici jos, obținem p de
x virgulă y plus
termeni de ordin superior.
Și apoi extindem asta.
Obținem q de x virgulă y
plus delta x peste 2qx-- să
vedem-- plus.
OK și, desigur,
acești termeni se anulează.
Așa că ajungem cu py delta x
delta y minus qx delta x delta
y este 0.
Sau, cu alte cuvinte,
acestea două sunt aceleași
și anulează părțile
laterale ale acestei mici casete.
Și astfel obținem pi este qx.
Deci, dacă acest lucru este valabil
pentru zone foarte mici,
atunci acea condiție
trebuie să fie adevărată.
Și asta are sens
pentru că p trebuia
să fie măsurarea noastră
a dz dx și q
trebuia să fie
măsurarea noastră a dz dy.
Și deci acesta este z sub x
y și acesta este z sub y x.
Acum este ușor confuz,
deoarece acest lucru este, evident, adevărat
pentru suprafața originală, atâta
timp cât este suficient de netedă
încât următoarele
derivate parțiale să nu
depind de ordine.
Bine, deci dacă p și q ar fi într-adevăr
derivatele suprafeței
z a lui xy, atunci acest lucru
ar fi adevărat.
Dar le măsurăm
din date experimentale.
Deci, de obicei, acest lucru nu va fi adevărat
și, dacă luăm această integrală,
vom obține
rezultate diferite în funcție
de direcții diferite.
Și așa este ca niște ecuații
liniare supradeterminate
.
Nu există nicio soluție.
Tot ce putem face este să găsim o
aproximare a celor mai mici pătrate.  La fel și
aici - nu există nicio
suprafață z a lui x,y care ne va oferi
exact p și q pe care le-
am măsurat din
stereo fotometric sau
altă metodă vizuală.
OK, acum, de fapt,
putem ajunge acolo într-
un mod mai elegant, care
este la îndemână pentru că
îl vom folosi din nou mai târziu.
Deci, ca multe teoreme importante,
aceasta are multe nume.
Bănuiesc că este
atribuit lui Gauss
și este un caz special de
teoreme mai generale utilizate
în dinamica fluidelor.
Dar ceea ce face este că
leagă integrala conturului
cu o integrală a zonei în care-- să
desenăm un fel de formă.
Deci l este acest contur
și D este acea zonă.
Deci de ce ne pasă?  Ei
bine, în
viziunea artificială, de multe ori
avem calcule care
ne iau peste toți pixelii.
Și sunt o mulțime de pixeli.  De
fiecare dată când poți
reduce acel calcul
la un calcul despre
limita unei regiuni,
ai un câștig uriaș.  Ai
trecut de la
milioane de calcule
la mii de calcule.
Deci, există mai multe
locuri în viziunea artificială
în care folosim un truc ca
acesta pentru a transforma o integrală
peste o zonă într-o
integrală doar pe
o curbă, cu un beneficiu imens.
Desigur, este un
lucru foarte specializat.
Sunt doar atâtea lucruri
care au proprietatea specială,
și anume lucruri care pot
fi scrise în această formă.
Dar știi, să
presupunem, de exemplu, că
vrei să calculezi
aria unui blob.
Ei bine, poți număra pixelii.
Puteți merge pur și simplu
rând cu rând, să
vedeți, OK, acest pixel este în
blob, acela nu
și așa mai departe.
Sau puteți
urmări doar conturul.  Se
pare că puteți
calcula zona
doar urmărind conturul.
De fapt, a fost un
instrument minunat, care
este diabolic de greu
de înțeles.
Dar le-a permis oamenilor să calculeze
integrale într-o manieră analogică.  Ar
trebui să cauți.
Este un instrument care de multe ori a
fost făcut din metale prețioase,
deoarece era doar pentru
oameni speciali, cum ar fi geodezii.
Și practic ai
ține o parte din ea
și ai trasa conturul
și ai calcula zona.
Odată ce ați finalizat bucla,
ați calculat aria.  Îl
poți citi
de pe instrument.
Și acesta este un
exemplu în care
transformăm o integrală de zonă,
integrala lui 1 peste acea zonă,
într-o integrală de contur.
Pe măsură ce ocoliți
marginea, există
o roată mică care alunecă pe
hârtie în mod corect
și așa mai departe.
Deci, acesta nu este doar ceva
util în domeniul digital.  A
fost folosit
și în lumea analogică.
Deci, zona este un
exemplu de ceva în
care aceasta este o formulă utilă,
deoarece putem calcula suprafața
făcând ceva
la graniță
în loc să facem
ceva în interior.
Dar se dovedește că
sunt multe alte lucruri pe care
vrem să le facem.
De exemplu, în
viziune, de multe ori vrem
să știm unde este ceva.
Și în cazul simplu, este
un blob, și unde este?  Ei
bine, centroidul
este o modalitate foarte bună
de a vorbi despre poziția
unui blob într-o imagine.
Și deci cum
calculezi centroidul?
Ei bine, din nou, puteți merge pixel
cu pixel și cumulați de x ori
ceva, aruncați-
l în acumulator,
iar când ați
terminat, împărțiți
și obțineți centroidul.
Sau poți ocoli
granița, care este mult mai rapid.
Și continuând de-a lungul
acestei linii de raționament,
există lucruri
numite momente în care

calculul centrului este primul,
iar calculul ariei
este zero.
Dar, în general,
puteți calcula momentele
doar
ocolind granița.
Iar momentele sunt utile
în descrierea formelor.
Până acum, am vorbit despre
zonă și poziție, centroid.
Dar s-ar putea să vrei și să
poți spune ceva de genul,
oh, este alungit.
Și astfel aceste momente
sunt utile pentru asta
și toate pot fi
calculate în acest mod inteligent.
Deci, să aplicăm teorema lui Green.
Există o versiune 3D a acesteia,
transformând integrale 3D,
integrale de volum, în
integrale de suprafață.
Dar, deoarece imaginile noastre sunt 2D,
de obicei nu avem nevoie de asta.
OK, așa că aplicăm
acest lucru la problema noastră.
Deci încercăm să potrivim
ceva din această formulă
cu ceea ce
făceam și cred că am
avut pdx plus qdy aici.
Deci hai să încercăm asta.  Să
încercăm să folosim teorema lui Green.
Deci m este q dq dx minus l este p.
Și spunem că
este zero, nu?
Ocolim bucla.
OK, și acest lucru trebuie să fie valabil pentru
toți, nu doar pentru o anumită buclă,
ci pentru orice buclă - buclă mică,
buclă mare, orice.
Și asta poate fi adevărat numai
dacă qdx este egal cu dpdy,
deoarece să presupunem că acea
cantitate, acea interbrand,
a fost diferită de zero la un moment dat.
Tot ce trebuie să fac este
să construiesc bucla
care include acel punct
și aș avea o contradicție.
Deci asta confirmă din nou
concluzia la care
am ajuns dureros aici
făcând un pătrat mic
și apoi folosind seria Taylor.
Acesta este un mod puțin
mai elegant
de a ajunge la același lucru.
OK, deci ce să faci?
p și q nu satisfac
această constrângere.
Deci am putea încerca să introducem
asta ca o constrângere.  Ați
putea spune, OK,
găsiți z-ul lui x și y
care are aceste p și q
drept derivate aproximativ
și, de asemenea, satisface
această constrângere.  Ei
bine, nu am
vorbit despre cum să
rezolvăm
problemele de optimizare a constrângerilor.
Este puțin
mai greu decât cele mai mici
pătrate pe care le-am făcut până acum.
Deci haideți să încercăm o altă abordare.
Deci, să facem practic doar cele
mai mici pătrate cu forță brută.
Deci încercăm să căutăm o
suprafață z astfel încât aceasta să
fie cea mai mică posibilă.
Corect, deci, în mod ideal, dacă
nu a existat nicio eroare de măsurare
și am avut
suprafața corectă, atunci a
existat un z astfel încât
derivata sa x se
potrivea cu p pe care am calculat-o
din imagine și
derivata sa y se potrivea cu... îmi pare
rău, p pe care l-am obținut
din imagine și acesta
se potrivea cu q pe care l-am
obținut din imagine.
Dar din cauza
zgomotului de măsurare,
ne așteptăm că acest lucru
nu va fi posibil.
Deci, să încercăm măcar să
o facem cât mai mică posibil.
OK, deci asta e problema celor mai mici
pătrate pe scurt.
Și ei bine, rezolvăm ca de obicei.
Doar diferențiam
în raport cu z.
Da, putem face asta?
Ce este z?
Este z un parametru?
Corect, așa că acum, din păcate,
nu putem face asta.
Dacă am avea un
număr finit de butoane,
am putea roti--
parametri, variabile.
Apoi am putea diferenția
în funcție de fiecare dintre ele
și am seta rezultatul egal
cu 0 și am terminat.
Asta am tot făcut.
Din păcate, z
aici este o funcție.
Și deci nu există niciun
fel de sens al unui mod
de a vorbi despre derivată
în raport cu o funcție.
Deci nu are un
număr finit de grade de libertate.
Are un număr infinit
de grade de libertate.
Și există o materie
în matematică
care se ocupă de asta...
calculul variațiilor.
Și se numește așa
pentru că, practic,
spui ceva de genul să presupunem
că z este soluția.
Apoi, dacă fac orice
variație mică pe z,
acea integrală ar trebui să crească.
Și pe baza acestei
idei foarte sensibile,
puteți veni
cu câteva ecuații
pentru a rezolva această problemă.
Dar vom
rămâne în tranșee
și vom lucra cu o
versiune discretă pentru un moment pentru că...
și această
problemă este destul de simplă.
Motivul pentru a-l rezolva
în detaliu
este că ascunde
multe capcane în
care ați putea întâlni
atunci când rezolvați
o problemă mai complicată.
Bine, într-un caz discret, nu
avem o funcție de x și y.
Ceea ce avem este o grămadă de
valori discrete pe o grilă, deci
un număr finit de necunoscute -
poate uriașe, poate un milion.
Dar putem folosi calculul,
calculul obișnuit.
Doar diferențiați în
funcție de fiecare dintre ele.
Setați rezultatul egal cu 0.
Deci adevărat, vom
obține o mulțime de ecuații,
dar metodele noastre se aplică.
Nu trebuie să
inventăm ceva nou.
Deci, acesta este ceea ce
căutăm
și ceea ce ni se oferă este
din nou un set de gradienți
pe o grilă cu
zgomot de măsurare în ei.
Și încercăm să
găsim o valoare a lui z
la fiecare punct al grilei care
va face eroarea cât mai
mică posibil,
acolo unde eroarea este
echivalentul discret
al acestui lucru.
Deci, să ne uităm la asta.
Deci i și j sunt
numere de rând și de coloană.
Așadar, o ușoară enervare aici
pentru informaticieni
și matematicieni,
adică
ați dori ca primul
indice discret să corespundă
lui x și al doilea
indice discret să corespundă lui y.
Și ca student, mi-a fost
foarte greu cu asta.
Dar, desigur, în
matematică,
numărăm rândurile în jos
și coloanele
și le scriem ij în
cealaltă ordine și, de asemenea, cu I
invers.
OK, deci asta este... ce este asta?
Încercăm să estimăm
derivata în direcția x.
Și de aceea am variat
și mai degrabă decât eu, nu?
Și deci aceasta este
estimarea noastră a derivatei
în direcția x.
Și asta ar trebui să fie mic.  Ar
trebui să se potrivească cu ceea ce am
observat din imagine.
Și trebuie să
adăugăm și celălalt termen.  De
asemenea, dorim să potrivim
derivata în direcția y.
Și acum, de obicei,
nu există setul de valori ale lui z
care să facă ambii
termeni zero.
Deci facem un fel de compromis.
Vrem doar să le facem
cât mai mici posibil.
Deci vom minimiza acest lucru.
Și ce putem minimiza?  Ei
bine, avem setul de zij-uri.
OK, deci apoi
diferențiem și setăm
rezultatul egal cu 0 pentru
toate valorile posibile ale lui ij.
Deci, dacă imaginea are
un milion de pixeli,
există un milion de
ecuații care provin din asta.
Din fericire, pentru că am
ales cele mai mici pătrate,
ecuațiile vor
fi toate liniare.  Așadar, pe cât de
multe sunt
dezavantajele utilizării celor
mai mici pătrate, cum ar fi faptul de a nu
fi robust față de valori aberante,
putem rezolva aceste ecuații
pentru că vor
fi doar ecuații liniare.
OK, deci aici, fii atent.
Problemă mare-- dacă
diferențiezi în ceea ce privește
zij, primești
răspunsul greșit.
De ce este asta?  Ei
bine, aici sus, acestea
sunt variabile fictive.
Dacă înlocuiesc ij cu alfa
și beta, este aceeași sumă.
Dar atunci, dacă faceți diferență în ceea ce privește
zij,
deci un alt mod de a gândi
despre asta în termeni de limbaj de programare -
știți,
aveți o coliziune de identificare.
Folosești i și j pentru a
însemna un lucru aici,
iar acum încerci să-l
faci să însemne altceva.
Deci aici avem o sumă a tuturor
ij-urilor posibile, iar acum veți face
diferența.
Pe scurt, alegeți
alte nume de identificare.
Și s-ar putea să te gândești, OK,
asta e cam evident.
Da, dar au fost
publicate lucrări care au greșit.
Deci este posibil.
Se poate intampla.
Bine, deci, ei bine, asta
sună cam dezordonat
pentru că avem o sumă de
peste un milion de termeni,
iar acum vom face
diferența.
Dar lucrul bun este că,
da, avem o mulțime de ecuații,
dar toate sunt foarte rare
pentru că dacă te gândești la,
OK orice aici are
legătură cu rândul 1.000, când diferențiezi

față de z din rândul 990,
este  nu va
avea niciun efect.
Deci, toate aceste derivate
sunt 0, cu excepția unui număr mic,
numărul mic în
care kl se potrivește
cu un indice de aici, ij sau kl se
potrivește cu ij plus 1 sau kl se potrivește
plus 11j.
Asta e, trei termeni.
Deci, vom avea o mulțime
de ecuații, fiecare dintre ele
având trei termeni în acest caz.
OK, deci hai să încercăm asta.
Deci, să încercăm mai întâi unde
potrivim kl este virgula j.
Deci există un pătrat.
Deci, diferențiați, obținem de 2
ori mai mare decât derivata
obiectului din interior
față de zkl, care va
fi minus 1 peste epsilon.
Corect, deci este un pătrat.
Primim de două ori acel termen.
Și apoi trebuie să
diferențiem ceea ce este în
interior față de zkl.
Și am spus că se
potrivește cu acest termen.
Deci va fi
minus 1 peste epsilon.
Și îmi pare rău dacă trec peste
asta într-un mod foarte pietonal,
dar va trebui să faceți acest lucru într-
un exemplu mai complicat
și este ușor să
nu o faceți corect.
Deci OK, deci ăla este.
Dar există și acest meci.
Deci trebuie să adăugăm la
aceasta de 2 ori acest termen.
Așa că obținem de două ori
acest termen și apoi
diferențiem acesta în raport
cu zkl, care se potrivește cu acesta.
Deci asta îmi dă minus
1 peste epsilon din nou.
Bine, deci asta e...
există doi termeni.
Atunci trebuie de asemenea să luăm în considerare
unde kl este ij plus 1.
Cu alte cuvinte, k este i.
l este j plus 1, sau
invers, j este l minus 1.
Corect, deci am diferențiat
în funcție de asta.
Primim de 2 ori acest lucru OK, OK.
Așa că obținem de două ori
acel termen și
trebuie să diferențiem ceea ce este
înăuntru față de zkl,
care se potrivește cu cel.
Deci va fi
plus 1 peste epsilon.
Și aproape am terminat.
Încă un termen.
Acesta aici, acum avem
k virgula l este i plus 1j.
Sau, cu alte cuvinte, k se potrivește cu i
plus 1, adică i este k minus 1.
Și l este doar j.
Deci îl primim pe acela.
Acesta va fi zkl minus z.
OK, i este k minus 1, l
peste epsilon minus--
și plus 1 peste epsilon.
Și toate acestea
ar trebui să fie 0, nu?
Aceasta este metoda celor mai mici pătrate.
Și acest lucru va fi valabil
pentru toate punctele din imagine.
Din fericire, acest lucru se simplifică.
Deci, în primul rând, desigur, le
pot ignora pe cele două
pentru că dacă de două ori ceva
este 0, atunci ceva este 0. Așa că
uită de 2.
Aș putea anula și
unul dintre epsilon,
dar le voi păstra
doar din motive pentru
care  va deveni evident.
OK, deci acum voi
aduna termenii.
Permiteți-mi să adun mai întâi
toți termenii de la p.  Ei
bine, sunt
doar două dintre ele.
Deci e destul de
simplu.
Așa că primesc pkl minus pkl
minus 1 împărțit la epsilon -
deci acești doi termeni.
Și permiteți-mi să adun
toți termenii din q.
Deci primesc qkl minus qk
minus 1l peste epsilon.
Și apoi permiteți-mi să adun
toți termenii din z.  Ei
bine, mai sunt o
grămadă de ele.
Și sunt 1 peste
epsilon pătrat.
Așa că lasă-mă să scriu asta în față.
Deci vom avea
minus zkl plus 1 minus zk
plus 1l minus zkl minus
1 minus zk minus 1l.
Și apoi zkl apare de patru ori.  Ei
bine, lasă-mă să păstrez
epsilonul la pătrat.
Și toate acestea ar
trebui să fie 0.
Deci care sunt acești termeni?  Ei
bine, asta seamănă îngrozitor cu
derivata x a lui p, nu?
Pentru că luăm valoarea lui p
în poziții, o separăm în x
și împărțim la epsilon.
Deci ne putem gândi la
asta ca p sub x.
Și asta arată îngrozitor
ca derivata y a lui q.
Și apoi susțin că acest
lucru de aici corespunde
laplacianului din z.
Lasă-mă să văd de ce.
OK, așa că pot face o mică
diagramă aici și pot aduna
toți acești termeni.
Deci primesc 1 peste epsilon
pătrat și am patru pentru kl
și apoi minus 1 pentru
toți vecinii.
Și acum z sub xx OK, așa că acele
lucruri pe care le desenez acolo
se numesc în mod diferit
molecule
sau șabloane de calcul sau
ceva de genul ăsta,
și sunt o modalitate grafică
de a arăta cum se calculează
o derivată estimată.
Acum nu m-am deranjat
pentru astea, dar am putut.
Așa că aș putea, de exemplu,
aceasta este
molecula de calcul pentru derivatul x.
Și apoi iată
molecula de calcul
pentru derivata y.
Este atât de evident, nici
măcar nu ne deranjam cu asta.
Dar când ajungem la
derivate mai mari,
este la îndemână să desenăm
aceste diagrame.
Deci, dacă am putea implica
asta cu sine --
amintește-ți 603 --
atunci înțelegi asta.
Și dacă convoluți
acest lucru cu sine,
obțineți această derivată a doua.
Așadar, cum te implici?
Întorci și schimbi.
Oricum, puteți obține
acest lucru și din seria Taylor
sau din orice alte metode
de estimare a derivatelor.
Bine, atunci dacă le combinăm pe
acestea două, dacă le adăugăm pe acestea două,
obținem acea diagramă - ei
bine, cu excepția semnului.
Deci, acesta este de fapt
minus laplacianul,
dar apare pe aceeași
parte a semnului egal.
Așa că atunci când îl mutăm
pe cealaltă parte,
devine plus laplacianul.
Deci, Laplacianul este
de fapt foarte utilizat
în viziunea artificială,
în special în preprocesare.
Așa că ar trebui să ne
familiarizăm cu el.
Apropo, un alt mod
de a scrie este că.
Iar inginerii au
un alt punct
de vedere asupra asta
ca matematicieni.
Adun că matematicienii
preferă primul mod
de a scrie laplacianul,
iar oamenii de dinamică fluidă
ca celălalt.
Dar in fine.
Este un laplacian.
Deci laplacianul este un
operator interesant
din multe puncte de vedere.
Este un operator derivat.
Am văzut deja că
gradientul de luminozitate
joacă un rol important.
Primele derivate -- pentru
unele operații pe imagini,
ne-am dori ca lucrurile să
fie invariante din punct de vedere rotațional.
Cu alte cuvinte, dacă
efectuați o operațiune de imagine care
îmbunătățește
detectarea marginilor, nu
doriți să depindeți de alegerea
sistemului de coordonate xy,
astfel încât atunci când
întoarceți coordonatele, vă
așteptați ca lucrurile să
meargă aproape la fel.
Desigur, vor avea
coordonate diferite,
dar vor fi în
locul corespunzător.
Deci, una dintre marile întrebări este,
există operatori derivați,
care sunt foarte utili
în detectarea marginilor, care
sunt
simetrici rotațional, astfel încât atunci când
rotiți
sistemul de coordonate, ei să facă același lucru?
Ei bine, Laplacianul este combinația de
derivate liniare de ordinul cel mai mic
care face asta.
Nu arată
așa, nu-i așa,
pentru că adăugăm derivata a doua
parțială în raport
cu x și derivata a doua parțială
în raport cu y.
Dar dacă treci prin
durerea și agonia
schimbării
sistemelor de coordonate și calculând
prima derivată
și apoi calculând
derivatele a doua
și le însumezi
și, magic, în
noul sistem de coordonate,
obții exact același lucru.
Deci, să presupunem că avem un
sistem de coordonate ca acesta
și apoi mergem la un
sistem de coordonate rotit.
Se pare că zx prim--
că în acel
sistem de coordonate rotit,
Laplacianul este același.
Vă scutesc de detalii.
E destul de plictisitor.
Dar acest lucru îl face pe
laplacian să fie foarte
interesat de tot felul de
operațiuni de procesare a imaginii,
deoarece este
simetric rotațional.
Desigur, pe o
grilă discretă,

oricum vom fi oarecum părtinitori.
De exemplu, pare
asimetric rotațional?  Ei
bine, nu îngrozitor.
Deci, există
aproximări mai bune
dacă sunteți pe o grilă pătrată
și vom vorbi despre ele.
Și dacă nu sunteți pe o
grilă pătrată, puteți face și mai bine.
De exemplu, dacă vă aflați
pe o grilă hexagonală,
puteți obține o aproximare mai bună
.
Oricum, revenind la asta,
deci ceea ce am făcut
aici este că am
ocolit calculul
variației pentru moment
și am intrat oarecum dureros
în lumea discretă
a pixelilor discreți.
Și am găsit o
ecuație care trebuie să
fie adevărată la fiecare
pixel pentru ca aceasta
să fie o soluție cu cele mai mici pătrate.
Adică, aceasta este o soluție
care minimizează această eroare.
Este cea mai potrivită.
Este cât de bine putem obține.
Și apoi, uitându-ne
la această formulă aici,
am decis că o, poate că
aceasta este versiunea discretă
a acelei ecuații continue.
Și este
exact, deoarece dacă
folosim calculul
variației, mergem direct
la asta într-un singur pas.
Deci de ce nu am făcut asta?  Ei
bine, pentru că există
această curbă uriașă de învățare.
Deci este un pas după ce
faci o mulțime de lucruri
și nu am vrut să
fac asta chiar acum.
Deci, oricum, ce
facem cu aceste ecuații?
Cum le rezolvam?
Desigur, putem...
sunt ecuații liniare.
Deci putem folosi
eliminarea gaussiană sau un algoritm poate
puțin mai sofisticat
, toate acestea
necesită mult timp pentru o
mulțime de ecuații.
Corect, de obicei, ele
merg ceva de genul n
cub sau, dacă ești o
persoană cu teoria complexității,
n la 2,76 sau orice altceva, cu un
multiplicator foarte mare în față.
Dar in fine.
Odată ce n este un milion sau 10
milioane, acesta este un număr mare
și nu este probabil să

faci asta.
Deci, ce să facem în schimb... Ei
bine, mare lucru este că
avem un set rar de ecuații.
Deci avem un milion de
ecuații, dar fiecare dintre ele
are doar o mână
de termeni în ea.
Deci ele implică doar --
fiecare ecuație
implică doar cinci valori ale lui z.
Deci am... te gândești
să le scrii.
Există un milion de rânduri din
acestea, dar fiecare rând
are doar cinci elemente diferite de zero.  Ei
bine, se pare că apoi putem
rezolva acest lucru iterativ destul de
simplu.
Și, desigur, este ușor să
propui o soluție iterativă.
Este greu de demonstrat
că converge.
Așa că omitem acea
parte și vom face doar
apel la manualele care
spun că converge.
Deci ce putem face aici?  Ei
bine, putem scoate
unul dintre acești termeni
și pretindem că știm...
avem o presupunere inițială.
Deci știm care
sunt aceste valori în acest moment.
Și vom calcula
o nouă valoare pentru aceasta.
Deci, să vedem dacă am
scris-o sau nu.
Deci, voi folosi
indicele în paranteză
ca o modalitate de a indica
pasul de iterație.
Deci acesta este pasul n plus 1.
Și acesta este pasul n.
OK, aproape că am scris
paranteza în indicele n aici
pentru pasul n.
Dar nu, acestea sunt
din imagine.
Sunt reparate.
Odată ce am procesat
imaginile, asta este dat.
Singurul lucru care s-
ar putea schimba este atât de mult.
Și ce este asta?  Ei
bine, asta e media locală.
Și în cazul nostru, cu acea
moleculă de calcul, asta
arată așa.
Deci,
pasul iterativ este foarte simplu.
Mergem la un anumit pixel
și obținem o nouă valoare
luând media
vecinilor
de la pasul anterior.
Și apoi
adăugăm această corecție
aici, care se bazează pe
informațiile despre imagine.
Și ce face asta?  Ei
bine, ne aduce mai aproape
de satisfacerea
condiției laplaciane deoarece aceasta
este estimarea lui p sub
x și aceasta este
estimarea lui q sub y.
iar diferența
dintre aceasta și aceea
este estimarea noastră a unui laplacian.
Deci, pe măsură ce mergem mai departe, ajustăm
acea valoare a pixelului folosind
acea ecuație foarte simplă.
Așa că aici
intervine rarătatea.
Acest lucru nu ar fi foarte util dacă
am avea un milion de termeni în asta.
Dar avem doar patru
vecini de luat în considerare.
Și puteți arăta
că acest lucru converge.
Nu vom face asta.
Și va fi mult
mai rapid decât încercarea de a o rezolva
cu eliminarea Gauss,
mai ales că
nu aveți nevoie de precizie infinită.
Vă puteți opri după un
anumit punct și vă puteți relaxa.
Deci, câteva lucruri de
subliniat -- în primul rând, acest lucru
este strâns legat de rezolvarea
ecuației de căldură, de acest tip
de iterație, deoarece
ecuația de căldură
este PDE de ordinul doi, la fel
ca ecuația pe care o avem.
Este, de asemenea,
ecuația de difuzie.  Prin
urmare, există o
mulțime de tehnici
disponibile din alte
domenii care ne spun
cum să facem acest lucru eficient,
cum să o facem în paralel
și orice altceva.
Deci, din nou, ideea este să
treci prin pixeli.
Și la fiecare pixel, calculați
media vecinilor
și apoi adăugați o
corecție la ei.
Și aceasta este noua valoare.
Și tu continui să faci asta.
Acum, pentru început, nu
trebuie să faceți acest lucru secvenţial,
așa cum a făcut Farnborough în
rândurile câmpului său.
Puteți face acest lucru în
orice ordine doriți.
Și de fapt, există
avantaje în ceea ce
privește convergența dacă faci asta.  De
asemenea, puteți paraleliza acest lucru.
Poți să faci cât de multe
dintre acestea
vrei în paralel, atâta timp cât
nu se ating, nu?
Deci, dacă faceți o modificare a
unui pixel pe baza unui vecin,
nu doriți să faceți
calculul care
schimbă vecinul
în același timp.
Dar asta este enorm
pentru că putem împărți
imaginea în, nu știu,
nouă sub-imagini, mici
blocuri de 3 cu 3.
Și în timp ce
operăm pe acesta.
Nu avem voie să-i
atingem pe alții.
Dar asta e bine.
Asta înseamnă că putem avea un
paralelism uriaș, un milion de pixeli
împărțiți la 9.
Ei bine, probabil că nu
avem 110.000 de procese.
Deci putem face ceva
ceva mai inteligent.
Oricum, metodele de
rezolvare numerică a acestor ecuații sunt
binecunoscute și este o
problemă foarte stabilă, în sensul
că, dacă există zgomot
în măsurătorile tale,
acesta va converge în continuare.
Încă va funcționa și
totul va fi cool.
OK, deci... OK,
avem puțin timp.
Deci ce am făcut?  Ei
bine, ceea ce am făcut
acum este să învățăm niște tehnici
pentru că, într-un fel,
acest lucru nu este direct
util, cu excepția cazului
stereo fotometric.
Și acum vrem să trecem
de la stereo fotometric.
Dar genul de instrumente ca această
discretizare și evitarea
conflictului de identificatori
și apoi să se uite la termeni
și să văd, oh, aceasta
este o aproximare
a derivatului -
acestea vor apărea din nou.
Așa că a fost bine că am făcut asta.
Dar, dincolo de asta, acest lucru vă arată că
dacă aveți date stereo fotometrice
, puteți reconstrui
suprafața în cel puțin pătrate
și puteți obține o
soluție rezonabilă care se
potrivește cu datele experimentale.
OK, acum ne vom
întoarce la problema ceva mai
provocatoare a
reconstrucțiilor unei singure imagini.
Și am rezolvat
deja un caz, și
anume dacă suprafața avea aceste
proprietăți foarte speciale.
Așa că hai să trecem
puțin peste asta.
Așa că aici am avut...
luminozitatea a fost o funcție
a acesteia, care a fost incident.
Și în acest caz,
harta reflectanței
a fost foarte simplă.
Aveam aceste linii paralele.
Nu vor fi distanțate egal din
cauza rădăcinii pătrate,
dar sunt linii paralele.
Și fiecare dintre ele are 1 plus
psp plus qsq egal cu o constantă.
Deci izofoții din
harta reflectanței
sunt aceste
linii drepte paralele.
Și asta este de fapt
ceea ce ne-a permis
să rezolvăm problema
pentru că atunci am spus, ei
bine, să presupunem că mă rotesc la un sistem de
coordonate ceva mai util
.
În acel
sistem de coordonate, pot
determina doar panta în
acea direcție specială.
Deci, dacă citesc
valoarea luminozității astfel,
în
sistemul de coordonate original,
este o relație liniară
între p și q.
Dar în noul
sistem de coordonate,
îmi oferă în mod convenabil
o valoare exactă a p-prim.
Și nu îmi spune nimic
despre q prim.
Așa că am sortat la maxim
informațiile într-o direcție
și am înrăutățit-o în
altă direcție.
Și o să
scriu asta.
Nu voi
face acest lucru cu atenție,
dar se dovedește
că va trebui
să ne ocupăm de aceste
transformări coordonate la un moment dat.
Deci... hopa.
Deci... oh, și care este acest unghi?  Să-i
spunem theta s.
Din moment ce acea rază,
acel acces p prim,
este perpendiculară pe
toate aceste linii --
corect, voi avea
acea p virgulă q punct ps qs.
Îmi va permite
să determin că unghiul
este dat de acest triunghi.
qs-- ca să pot-- ei
bine, ar putea la fel de bine să-l
notez.
Deci, indiferent de
poziția sursei de lumină,
îmi pot da seama
care este acel unghi.
Deci, de fapt, sursa de lumină
este undeva pe această linie.  Să
zicem că e aici sus.
OK, acum ceea ce vreau să fac este
să rotesc imaginea înainte,
astfel încât să nu mai fie
necesar mai târziu.
Deci care este relația?  Ei
bine, sunt sigur că știi asta.
Și îl putem numi theta s
sau doar theta pentru simplitate.
OK, dar ceea ce avem nevoie este o
relație între p și q
și p prim și q prim
Deci avem nevoie de dz dx prim este dz
dx dx dx prim plus dz dy dy dx
prim.
Și, desigur, acesta este p
prime pe care vreau să merg.
Aceasta este p.
Acesta este q.
Și așa am rămas cu asta.
Ei bine, enervant, asta
merge pe o cale greșită.
Deci am nevoie de
transformarea inversă a acesteia.
Deci, care este inversul
rotirii prin theta?
Se rotește prin
minus theta, nu?
Deci x este x prim cos theta
minus y prim sinus theta, iar y
este x prim sinus theta plus.
OK, atunci acesta este dx.
dx prim este cosinus teta.
Și acesta este dy dx prime.
Deci asta este sine theta.
Deci, de fapt, am primit p prim este p
cosinus theta plus q sinus theta.
Și, în mod similar, voi
obține q prim este minus p sinus.
Deci asta e frumos.
Și ați putea spune, ei bine, aș fi
putut ghici asta, corect,
pentru că are aceeași formă.
Ei bine, gândește-te din nou
pentru că atunci când
ajungi la derivata a doua,
asta nu funcționează.
Nu poți doar ghici răspunsul.
Și asta poate fi relevant pentru că vom
vorbi despre...
vorbim despre
Laplacian.
Așadar, chiar acolo,
dacă ai încerca
să demonstrezi acea teoremă pe care am spus-o
despre simetria rotațională,
ar trebui să obții
derivate secunde
și atunci asta nu ar funcționa.
Oricum, așa că o voi face.
Voi roti
aceste sisteme de coordonate
și apoi voi
ajunge cu ceva de genul...
care leagă
măsurătorile imaginii cu panta.
Și detaliile
ecuației nu sunt atât de importante.
Important este că
pot fi într-un anumit punct
al imaginii.
Am citit luminozitatea
și am calculat această cantitate.
Celelalte lucruri sunt toate cunoscute.
Știu unde
este sursa de lumină.
Și am panta,
care este uimitoare.
Am panta suprafeței
într-o anumită direcție
și este suficient.
Acum putem reconstrui
suprafața.
Dar asta a necesitat să
rotim sistemul de coordonate,
să avem o
anumită direcție.
Și asta va fi
adevărat în cazul general.
Deci, aceasta este doar
pentru Hapke, unde
avem izofote frumoase, în linie dreaptă

în harta de reflexii.
Dar vom generaliza asta.
Și bine, deci ce
facem cu asta?  Ei
bine, am trecut
puțin peste asta
data trecută pentru că putem doar să
integrăm z din x este--
corect, deci avem panta.
Pur și simplu îl integrăm.
În ceea ce privește
implementarea discretă, suntem aici.
Mergem pe o distanță mică delta
x... ca, nu știu, un pixel.
Cunoaștem panta.
Deci știm cât de
mult se schimbă z.
Corect, deci avem
o nouă valoare a lui z
Și apoi ne uităm la
imagine și spunem, care este
luminozitatea aici?
Și folosind această formulă,
găsim o nouă valoare pentru p prim
și continuăm.
Mai facem un
pas mic delta x
și ajungem acolo și așa mai departe.
Și astfel putem construi o
formă în lumea discretă.
Și putem merge
și în cealaltă direcție.
Putem merge minus delta x și
construim un profil în acest fel.
Deci este uimitor
că poți face asta.
Ei bine, acesta este un singur profil.
Dar acum, în imagine,
avem de-a face și direcția y
.
Dar putem face asta
pentru orice y, nu?
Dar, în fiecare caz, suntem
limitați să alergăm de-a lungul unui rând.
Nu există interacțiune
între rânduri.
O tratăm doar ca pe o
problemă 1D de-a lungul fiecărui rând.
Citim
luminozitatea la fiecare pixel.  Îl
convertim în
pantă folosind acea formulă
și apoi folosim acea pantă
pentru a vedea unde mergem.
Deci, sunt
câteva lucruri interesante despre asta
.
Deci, una este că dacă
adaug o constantă la z, se
schimbă ceva?
Deci, de fapt, să ne
întoarcem la aceasta de aici,
această
problemă supradeterminată care
acum a cam dispărut.
Dacă adăugați o constantă la z, se
modifică laplacianul lui z?
Fara drept?
Deci, este interesant
pentru că asta înseamnă
că, OK, poți recupera z.
Dar de fapt,
înălțimea absolută a lui z nu o cunoști.
Și asta este rezonabil, deoarece
dacă luminozitatea depinde de
orientarea suprafeței, atunci deplasarea
suprafeței în sus și în jos
nu ar trebui să aibă niciun efect.
Și în special, în cazul
proiecției ortografice,
aceasta nu se schimbă în niciun fel.
Nici măcar nu este mărire
sau micșorare sau ceva de genul ăsta.
Și la fel și aici,
informațiile de umbrire nu
ne spun nimic în mod direct
despre adâncime, ci doar despre
adâncimea relativă.
Știi, care este
panta suprafeței?
Și aici, pentru a obține de fapt
o reconstrucție,
am nevoie de o valoare inițială pentru z.
Și, ei bine, asta e o problemă.
Acum, dacă ar fi doar...
ca în cazul
soluției laplaciane,
dacă este doar o
schimbare generală a înălțimii,
asta ar fi ușor de rezolvat.
Este doar o necunoscută.
Dar aici, avem potențial
o valoare inițială diferită
pentru fiecare rând pe care îl
integrăm.
Deci vă puteți imagina că
calculăm aceste soluții
și avem o
valoare inițială, să zicem, aici.
Și îl integrăm.
Dar le putem alege
independent,
sau cineva ar putea să meargă
acolo și să le măsoare.
Dar asta înfrânge scopul.
Încercăm să găsim
forma suprafeței lunii
înainte ca cineva să meargă acolo.
Și, așadar, ca cineva să meargă acolo
și să-l cerceteze, într-un fel încalcă
scopul, deși
înseamnă că
trebuie să studiezi doar o curbă,
iar apoi totul altceva
devine din asta.
Și am vorbit deja
despre diverse euristici
pentru a încerca să construim ceva,
deși nu știm asta.
Deci nu trebuie să avem
aceste puncte inițiale de-a
lungul axei y, totuși.
Am putea avea
puncte inițiale de-a lungul oricărei curbe.
Deci asta înseamnă că avem nevoie de fapt de
o curbă inițială.
Nu contează cu adevărat care
este curba atâta timp cât nu este
paralelă cu primul x.
Axa
OK, și apoi acum,
putem mapa acest lucru înapoi
în lumea noastră originală
nerotită.
Și aceste profile
vor rula acum într-un unghi.
Și avem un
fel de curbă aici.
Acum permiteți-mi să introduc
coordonatele.  Să
numim curba inițială
este o funcție a lui eta.
Deci curba inițială este x pentru
eta, y pentru eta, z pentru eta.
Corect, așa că vom
presupune că este dat.
Și apoi plecăm de la asta
folosind un alt parametru,
[INAUDIBLE].
Și acesta este primul nostru x
în acest caz,
dar vrem să generalizăm asta.
Deci aceasta va fi foarte
asemănătoare cu metoda generală.
Și așa facem un pas delta
x de-a lungul acestei curbe, care
ar fi un pas în x prim.
Și din cauza rotației...
deci aceasta este schema pe care o
urmăm.
Deci,
explorăm suprafața
deplasându-ne de-a lungul acestor curbe
și de la pas la pas,
asta facem.
Avem delta x și
delta y se modifică într-un mod
care este la un unghi, theta
s, în acest
sistem de coordonate xy original.
M-am întors la acel sistem
pentru că, în general, nu vom
putea folosi acest truc.  Funcționează
doar pentru
suprafețele Hapke.
Și astfel puteți vedea că
calculul numeric
este foarte simplu.
Preluăm luminozitatea imaginii.
O conectăm la
această formulă și
obținem un pas în direcția z.
Și așa continuăm să facem
asta și să explorăm acea curbă.
Și apoi facem același lucru
pentru următoarea curbă
și pot fi
calculate independent.
Deci le poți face în
paralel dacă vrei.
Doar o mică notă--
puteți schimba viteza cu care
explorați soluția
pentru că dacă acest lucru îmi spune să
fac un pas delta x, delta y,
delta z, poate voi
lua 2 delta x, 2 delta
y, 2 delta  z sau jumătate.
Și cum m-aș decide?
Ei bine, să presupunem că
mișcați doar 1/100 dintr-un pixel.
Probabil că este o
alegere proastă pentru creștere.
Sau să presupunem că mutați 10 pixeli.
Este o alegere proastă
pentru creștere.
Vrei să o reduci.
Și lucrul convenabil este că
putem schimba cu ușurință viteza.
Doar le înmulțim pe toate trei
cu aceeași constantă.
Și așa că, dacă doriți
ecuații simple,
putem doar să înmulțim
cu acea constantă
și obțineți o
expresie cu aspect ceva mai simplă.
Corect, deci ne mișcăm în
direcția x proporțional cu qs.  Ne
deplasăm în
direcția y proporțional cu ps.
Și acestea sunt fixe.  Doar
mergem cu mașina.
Și apoi în direcția z
avem această formulă simplă.
Și deci, ceea ce vom
face data viitoare este să
generalizăm acest lucru la
hărțile de reflectanță arbitrară,
nu doar la suprafețe de tip Hapke.
Și vă rugăm să aruncați o
privire online pentru imagini cu
imaginile realizate cu
microscopul electronic de scanare.
Sunt cu adevărat îngrijite
și oferă
exemple frumoase de umbrire și
capacitatea noastră de a interpreta umbrirea.
Asa de--