[SCRÂTÂND]
[FOȘTE]
[CLIC]
GILBERT STRANG: OK, este vorba
despre găsirea
spațiului nul al unei matrice A--
orice matrice, pătrată
sau dreptunghiulară.
Și ce înseamnă asta?
Asta înseamnă, ei bine,
în algebră,
rezolvăm ecuația
Ax este egală cu 0.
Deci A este matricea noastră, x este un
vector pe care îl căutăm
și Ax este o combinație
a coloanelor lui A.
Deci suntem
căutând combinații
ale coloanelor care
dau vectorul zero -
coloane dependente,
vom spune.
Deci acesta este scopul.
Și noul început pentru
algebra liniară pe care l-am sugerat
rezolvă această problemă
pentru matrice mici.  O
face doar
pentru o matrice mică.
Dar pentru orice matrice, sau pentru
una mare, avem nevoie de un sistem.
Deci, acest tip de
completează ideea
dând sistemului,
care folosește algoritmul
algebrei liniare,
care este eliminare.
Deci eliminarea va
fi cheia
pentru rezolvarea acestei probleme -
pentru găsirea spațiului nul.
Deci asta e poza mea.
Oh, acestea sunt...
voi menționa doar... cele trei
cărți care discută asta.
Introducerea în
algebra liniară este manualul principal.
Apoi
cartea Învățare din date...
de fapt, de aici a
început această nouă idee.
Iar
Algebra liniară pentru toată lumea
are ideea
mai complet.
Deci vorbesc despre o
secțiune din a treia carte.
BINE.
Și toate au site-uri web.
Math.mit.edu, adresele
sunt acolo pentru a vedea mai multe.
De fapt, ar trebui să
spun, deci acestea sunt
ideile cheie ale acestei prelegeri.
Și ieri, m-am uitat la
prelegerea mea de acum câțiva ani-- acum
câțiva ani--
cursul șapte
din
seria OpenCourseWare pentru Math 18.06.
Deci, a fost pe același subiect,
eliminarea și Axe este egal cu 0.
Deci, există o mulțime de lucruri bune
, dar mai sunt puține
de spus acum.
Și despre
asta este vorba astăzi.
Deci, OK, iată ideile cheie
ale prelegerii.
Deci, spațiul nul -
așa că acum îl vedeți în scris -
spațiul nul este toate
soluțiile x la Ax este egal cu 0.
Amintiți-vă, x este un vector.
Iar eliminarea este cheia și
păstrează același spațiu nul.
Și
comanda Matlab este rref de A.
Aceasta este comanda
care face eliminarea.
Și vom vedea
matricea identității, vom vedea o matrice F
și noua idee a fost de a factoriza
matricea într-o matrice coloană
C ori o matrice de rând
R. Deci, aceasta este într-adevăr să
punem toate ideile împreună.
Și aflăm că, dacă o
matrice este scurtă și largă,
atunci cu siguranță există--
dacă avem o mulțime de
coloane, atunci unele
dintre ele vor fi dependente
și asta înseamnă că vor
exista soluții pentru Ax egal cu 0.
Deci, aici  noi mergem.
Ok, voi
începe cu un exemplu.
Și eliminarea și-a
făcut deja treaba.
Deci, ce eliminare
a fost pentru a ajunge
la asta... vezi acea
matrice de identitate în primele două
coloane?
1, 0 și 0, 1.
Deci nu poți cere o
matrice mai simplă decât asta.
Deci, odată ce avem asta, nu ne putem
încurca cu asta, așa că 3, 5, 4, 6,
suntem blocați cu...
acestea sunt celelalte coloane ale noastre.
Deci primele două
coloane sunt independente.
Coloanele
matricei de identitate sunt foarte independente.
Dar apoi 3, 4 este o combinație
a acestor două coloane, nu?
3, 4 este de 3 ori prima
coloană plus de 4 ori a doua.
Deci există un x
în spațiul nul.
Acesta este unul dintre
vectorii pe care îi urmăm.  O
voi numi o
soluție specială pentru că tocmai a
venit special dintr-o coloană.
Și îl vedeți mai jos ca s1.
Deci, dacă am lua minus 3 din
prima coloană, minus 4
din a doua coloană și apoi
plus 1 din a treia coloană,
am avea 0.
Ax este egal cu 0-- ceea ce
căutăm.
Și a doua
soluție specială ar
veni din ultima coloană
a matricei, 5, 6.
Deci, din nou, acesta este 5 din
coloana 1, 0 și 6
din coloana 0, 1.
Și dacă le punem împreună
într-o soluție specială s2,
vrem minus 5 din coloana
1, minus 6 din coloana 2,
plus nimic din coloana 3,
plus coloana 4, dând 0.
Deci, în acest caz, eliminarea
a produs o matrice simplă  R--
simplu pentru că
are identitatea acolo.
Așa că vă pot arăta
încă un exemplu de R
înainte de a începe să vorbesc
despre cum ajungem la R?
OK, deci iată un alt R. Un
pic diferit, totuși.
Este diferit pentru că
are un rând de 0.
Ei bine, asta nu va
pune nicio problemă,
dar trebuie doar să ne
gândim ce să facem cu ea.
Deplasăm întotdeauna 0
rânduri în partea de jos.
Și iată-l.
Și are
o matrice de identitate
ca și primul exemplu, dar
vedeți că 0, 1 este adesea
coloana 3.
Identitatea este în
coloanele 1 și 3 aici
și asta face o mică schimbare.
Dar ideea rămâne aceeași.
Cele două coloane sunt
cele independente.
Sunt foarte simple.
1, 0, 0 și 0, 1, 0,
acestea sunt direcții total diferite
.
Atunci 7, 0, 0 este 7
din prima coloană.
Deci a găsit o
soluție specială - un x pe care îl numesc s1.
În linia de jos,
vezi că minus 7
din prima coloană plus 1 din
a doua coloană produce 0.
Dacă te uiți doar la
acele coloane, minus 7
din prima plus 1 din
a doua, totul se anulează.
Iar celălalt va
veni din coloana 8, 9, 0.  Vor
fi 8 din prima
coloană și 9 din a treia... cele
două părți ale identității.  Așa că
vedeți că atunci când ajungem la
această formă de eșalon de rând redus - un
set oribil de cuvinte,
dar ceea ce înseamnă
este că eliminarea a făcut-o cât se
poate de simplă.
OK, s-ar putea să
mai am ceva de spus.
Da, deci acesta rezumă
ceea ce tocmai ai văzut.
Deci avem cel mai simplu
caz în care identitatea
se află doar acolo în stânga
sau cazul mai general
în care identitatea este amestecată
cu celelalte două coloane.
Putem trăi cu ambele.
Și folosesc F pentru
celelalte coloane --
coloanele care nu fac
parte din identitate.
Și apoi are
acel rând 0 în plus.
BINE.
Și acum, vreau să o scriu --
o parte cheie a acestei prelegeri este să
vedem rezultatul acestei matrice R -- să
o vedeți sub formă de matrice în loc
de o grămadă de numere.
Adesea, în informatică, ești
doar pagini pline de numere
și nu vezi
ce se întâmplă.
Deci ceea ce căutăm
este matricea de identitate
și matricea diferită de zero F.
Și acum, în acel caz R0,
acel al doilea exemplu,
există un P. Ce
face acea matrice P acolo?
Ei bine, este o
matrice de permutare...
o matrice de schimb.
Pentru că identitatea
din acest al doilea exemplu
nu este în coloanele 1 și 2.
Este în 1 și 3.
Așa că P trebuie să o pună acolo.
Deci P este... și
pentru că P este în dreapta,
va muta coloanele.
Și acolo am
notat ce este acel P.
Asta schimbă coloana 2
și 3 și pune identitatea
acolo unde o dorim.
BINE.
Deci, aceasta este algebra liniară -
partea de notație matriceală.
Oh, și acesta este... iată, acum
vedeți noul început,
acest C ori R. Așa că asta
sugerez că, dacă
îmi dai o matrice, primul lucru pe care l-aș
face ar fi să găsesc
coloane independente.  --
acelea ar intra în C. Și
apoi matricea R ar... ei
bine, am văzut matricea
R și asta mi-ar spune
combinațiile
acelor coloane C
pentru a obține A. Da, o veți vedea.  Ei
bine, această casetă este în jurul
tuturor formulelor matriceale.
Deci, sortăm fiecare matrice
în coloane independente
urmate de coloane dependente
și apoi această permutare -
această matrice de schimb P -
dacă nu vin cu adevărat
în această ordine.
Dacă avem nevoie de o nouă comandă.
Deci toate astea sunt despre
A e egal cu CR, noul... ei
bine, nu nou.
Nu complet nou, sunt sigur,
dar este factorizarea
oricărei matrice.
BINE.
Și acum cum o facem de fapt
dacă matricea este mare
și avem nevoie de
computer pentru a ajuta?
Ei bine, o facem prin eliminare.
OK,
despre asta este eliminarea.
Ce avem voie
să facem în eliminare?
Nu vrem să încurcăm
ecuația Ax este egală cu 0.
Eu operez pe A, dar
nu creez sau pierd
niciuna dintre aceste soluții.
Deci, dacă scad un
rând dintr-un alt rând,
sau orice multiplu al unui
rând dintr-un alt rând,
aceasta este
operația principală de eliminare.
Și, evident,
ecuațiile sunt încă adevărate.
Dacă iau 3 din ecuația
unu departe de ecuația a doua,
mai am o ecuație corectă.
Și aș putea înmulți un rând
cu 15 sau orice număr diferit de zero.
Nicio schimbare.
Și pot schimba oricare două rânduri.  Al
treilea dintre
rândurile de schimbare, schimbul de rânduri,
este doar pentru a muta
rândul 0 în jos.
Acesta este exemplul.
Poți vedea acele numere?
Așa că dau un exemplu de
matrice care duce la
același R pe care l-am elaborat.
Deci vezi ce fac acum.  dau
înapoi.
Știu R-ul pe care îl vreau, dar mi se
dă o matrice A
și acești pași de eliminare
mă vor conduce la R. OK.
Deci vezi A în stânga?
Deci este o matrice completă
A. Nu există identitate acolo.
Dar am voie
să fac eliminare.  Am
voie să fac acești
trei pași când vreau.
Deci ce să fac?
Probabil, în acest moment,
ați văzut eliminarea
cât de mult doriți
, dar permiteți-mi
să o spun încă o dată sau de două ori.
Așa că aș lua 3 din
rândul 1 departe de rândul 2.
Asta ar produce-- acel 3
care este în matricea originală s-
ar transforma într-un 0.
Deci, când luați 3
din primul rând,
ar fi 3, 6, 33,  51.
O scad și obțin
doar acel 0, 1, 4, 6.
Deci am un
al doilea rând mult mai bun.
Acum, voi folosi al
doilea rând în sus.
Deci voi lua 2 din al doilea
rând departe de primul rând.
Asta le va elimina pe cele
2 pe care nu le vreau
și va produce
identitatea pe care mi-o doresc.
Deci vezi asta?
Dacă iau 2 din ultimul
rând, acel 0, 2, 8, 12,
când iau 0, 2, 8, 12
de pe rândul de sus,
rămân cu 1 și 0.
Și 3 și 5 sunt numerele
care se întâmplă să fie lăsat.
BINE.
Deci, cu adevărat, ce a
făcut eliminarea?
Aceasta este o
idee importantă pe care cred că
nu am prins-o niciodată când
învățam algebra liniară.
Eliminarea a găsit
inversul acestei matrice 1, 2, 3,
7 -- a acestei matrice 2 cu 2.
Pentru că începe
cu 1, 2, 3, 7 și se
termină cu identitatea.
Deci asta trebuie să fi
inversat acea matrice.
Și apoi a trebuit să
aplice inversul
celei de-a doua jumătate a matricei
și asta a produs 3, 4, 5,
6.
Deci vezi, acesta
este... oh, cred că există
probabil un exemplu
care duce la numărul doi.
Aici, trebuie să mă fi gândit înainte.
Deci pe
ecran scrie ceea ce tocmai am
spus, că eliminarea a
inversat matricea de conducere.
Și apoi este
scris pasul
H egal WF care conectează
coloanele dependente inițiale
la coloanele dependente finale
din F, 3, 4, 5, 6.
OK.
Cred că eliminarea este
doar o chestiune de practică
și probabil că ați făcut-o.
Și aici este un
punct important despre eliminare,
că ai putea face lucrurile
în diferite ordine.
Am vorbit și le-am făcut într-
un fel de ordine firească,
dar ai putea să o faci în alte moduri.
Dar nu ai obține
un rezultat diferit.
Veți obține aceeași matrice R.
Ei bine, pentru că ecuațiile
sunt încă adevărate în fiecare punct.
X-urile,
spațiul nul al unei matrice,
nu se schimbă prin
pașii mei de eliminare.
Da.
Deci să repetăm ​​asta.
Când ajungi în sfârșit la R, când ai
făcut eliminarea
și ajungi la R cu
matricea sa de identitate,
acea matrice de identitate din R îți spune
ce coloane la început
erau independente.
Deci trebuie să ai o modalitate de a
face asta și acum avem o cale.
În celelalte
discuții de deschidere din această serie --
în această serie despre
noul început --
matricele erau
frumoase și mici, așa că
nu aveam nevoie de prea mult un sistem.  L-aș
putea practic să-l arip.
Dar acum, avem nevoie de un sistem.
Și, desigur, dacă vrem să
folosim Matlab-ul sau alt cod,
acesta trebuie să aibă un sistem.
Deci, oricum, acum avem un
sistem de pași de eliminare a rândurilor
și știm cu ce se termină.  Se
termină cu o matrice de identitate
de dimensiunea potrivită, o matrice F --
asta sunt celelalte coloane --
și apoi eventual o permutare care să
ne spună ordinea.
Asta e eliminare.
OK și iată al
doilea exemplu.
Așa că mergem mai departe.
Trebuie să acordați
atenție pentru că asta
este tot ce există sunt
două exemple și apoi
puneți ideile cap la cap.
Deci iată un
exemplu de matrice A
cu numere mari ca 97.
Nu știu cum am ajuns acolo.
BINE.
Deci nu există zerouri în
matricea originală A,
dar eliminarea urmărește obținerea de zerouri.
Oh, aici.  A
primit 0 foarte repede,
deoarece al doilea rând
al acelei matrice, 2,
14, 6, 70, este
doar de două ori primul rând.
Deci, când scad de 2 ori
primul rând din al doilea rând,
primesc acel rând 0.
Deci acum sunt la un pas
cu un rând de 0.
Grozav.
Și al treilea rând
s-a îmbunătățit și pentru că am
luat 2 din primul rând
departe de al treilea rând
și asta mi-a dat un 0, 0 la
început și apoi un 3, 27.
Deci suntem bine?
Suntem la a doua matrice acum.
Nu s-a terminat.
Nu este în forma sa R,
în forma eșalonului,
dar este mult mai aproape.
BINE.
Deci, ce mai avem de făcut?
Mă uit la acel 3 și
caut să obțin
matricea identității, așa că o voi împărți...
mai devreme sau mai târziu, voi
împărți ultimul rând cu 3
și voi obține 0, 0, 1, 9
Dar un alt lucru pe care vreau să-l
fac este să curăț primul rând.
Deci scad ultimul
rând din primul rând.
Vezi asta?
Vezi, sunt mult mai aproape
de identitate.
Deci acum am trecut
la a treia matrice.
Și dacă ai făcut multe dintre
acestea, știi ce fac.
Lucrez o coloană la un moment dat.
Și observați, coloana 2,
nu pot face nimic cu.
Coloana 2 este o coloană dependentă.
Este de șapte ori coloana 1.
Nu pot îmbunătăți coloana 2.
Dar pot îmbunătăți coloana
3 și asta facem.
Împărțiți acea treime, acel 0, 0,
3, 27, la 3 și schimbați rândurile.
Apoi vezi că
rezultatul este R0.
Deci este R0 cu rândul 0.
Da.
Așa că, pentru a repet,
aceasta este o matrice A
care conduce prin
pașii eliminării,
pe care îi amintim la R0.
Deci am terminat
cu această matrice A,
deoarece aceasta arată
cum să o ducem la R0,
iar apoi am
văzut deja cu R0, ne-
am dat seama care
sunt soluțiile speciale -
vectorii din spațiul nul.
Deci suntem buni.
Chiar am făcut treaba.
Și rămâne să vedem
puțin, ce am făcut
și ce se întâmplă cu
celelalte două coloane?
Coloanele F care
nu reprezintă identitatea.
Și vedeți, ceea ce
am făcut este... ei
bine, am început
cu coloanele 1 și 3.
Da, deci asta este matricea noastră
C. Acestea sunt cele două
coloane independente.
Pai de unde stiu?  De
unde a venit C?
Pentru că asta face parte
din această căutare,
unde sunt
coloanele independente.
Ei sunt cei care
ajung cu identitatea,
deoarece identitatea
este calea de a merge
la
coloanele independente din dreapta.
Deci sunt coloanele 1 și
3 ale matricei originale.
Deci îl vezi pe C acolo?
1, 2, 2 și 3, 6, 9.
Atunci F este partea lui R
din coloana dependentă.
Deci ăsta sunt 7, 8, 0, 9.
Și apoi văd
coloanele dependente.
Da.
Trebuie să faci asta de câteva ori,
dar acum toate ideile sunt...
și acolo le-am pus cap la cap.
Deci ideea este că,
cu o matrice mică,
ca doar trei coloane
și poate doar două rânduri,
am putea găsi C și
R aproape din vedere.
Dar acum, chiar și acolo unde suntem până
la patru coloane și trei rânduri,
avem nevoie de o metodă.
Și acesta este scopul
acestei discuții și a fost, de asemenea,
punctul de prelegere șapte
din originalul 18.06--
Math 18.06 pe OpenCourseWare.
OK, așa că am găsit
C și R. Bun.
Bun.
Cred că este doar să
ne felicităm de aici înăuntru.
Acestea sunt amintirea
soluțiilor speciale.
Oh, și atunci de ce nu...
îți amintești de astea?
Acea a doua coloană era
7 din prima coloană,
așa că a dat acea
soluție specială, acea combinație,
pentru a da 0.
Și apoi cealaltă
combinație a dat vectorul 0.
Deci avem două
soluții speciale.
Ah, și aici este
principiul general.
Da.
Da.
E foarte simplu.
După ce ați coborât această matrice
la identitate și F,
atunci soluțiile x
ar trebui să aibă un FI minus.
Îți amintești
semnele minus pe care le-am văzut?
Deci tot ce spun
aici pe prima linie
este că matricea IF ori
minus FI dă matricea 0.
Bineînțeles că da.
Și apoi a doua linie este
micul truc special pe
care trebuie să-l faci dacă
există un P, o permutare,
un schimb implicat aici.
Când matricea de identitate
nu se află acolo unde doriți,
trebuie să aveți un
P pentru a o pune acolo.
Atunci P transpunerea trebuie să
intre în soluții.
Da.
Da, pentru că P
ori P transpun.
Deci, amintiți-vă despre
matricele de permutare.
Algebra liniară este despre învățarea
diferitelor caractere speciale
ale diferitelor matrici.
Iar permutările iau doar
matricea de identitate și se încurcă
cu rândurile sau se încurcă
cu coloanele, același lucru.
Și apoi P transpose
o dezordine.  Îl
readuce la identitate.
Deci P ori P transpus
este identitatea.
OK, deci suntem aproape acolo.
Oh, atunci acesta este
micul punct pe care l-am spus... ei
bine, este un punct important.  Să
presupunem că am cinci coloane
și doar trei rânduri.
Asta înseamnă că am
cinci necunoscute și doar
trei ecuații.
Deci vor
exista soluții pentru asta.  Vor
exista alte soluții
decât soluția 0.
Combinația 0
va da cu siguranță
0, dar dacă am cinci necunoscute,
cinci coloane acolo
și am doar trei
ecuații, trei rânduri--
deci cinci mai mari decât
trei, n mai mari decât m--
atunci vor fi
câteva coloane în  F. Vor
fi câteva
soluții diferite de zero.
Și aceste exemple arată.
Deci, luați acea matrice
M la sfârșit acolo.
Vedeți că există o matrice cu
patru coloane și doar două rânduri.
Deci am patru
vectori în avion.
Dacă am patru
vectori în plan,
există combinații
care dau 0.
Pot completa triunghiuri.
Deci, în acest caz,
rangul ar fi 2.
Deci vedem cu adevărat această
parte a algebrei liniare,
pentru a simplifica matricea prin
eliminare, astfel încât toate
faptele principale să fie clare.
Da.
Și oh, dacă chiar vrei să-l
vezi în stenografie--
nu
susțin neapărat această ultimă idee,
dar dacă vrei s-
o vezi într-o stenografie,
ne-am putea gândi la matrice
ca având doar patru blocuri.
Deci este o matrice 2 pe 2,
dar, din păcate,
fiecare dintre acești băieți este un bloc.
Deci W este cel din colțul
despre care am vorbit mai devreme
care se inversează.
Deci, dacă ne uităm la
ultima linie, acel
W din colț, care
a ajuns ca identitate.
Al doilea rând de blocuri,
J, K, a ajuns ca 0.
Și singurul tip rămas,
ne spune combinațiile
pe care le căutăm -
este acest W invers H.
Așa că permiteți-mi să mă uit la acea
ecuație din caseta
W, H, J, K, aceasta este
matricea cu care încep  .
Voi inversa W
și știu că J, K este
o combinație de W, H.
Deci, când inversez W, obțin...
prima eliminare
produce primul rând,
începând cu identitatea.
Și când aplic asta la al
doilea rând, J, K,
acestea merg la 0.
Deci asta
face eliminarea în stenografie reală.
Se ia o matrice de bloc 2 pe 2
la acea matrice R
la sfârșit, cu un
rând de bloc 0 și un
bloc de identitate în colțul de sus.
Deci aceasta este eliminarea
și soluția de...
și găsirea spațiului nul.
Deci, într-adevăr, aceasta
completează munca
primului subiect din
algebra liniară, este identificarea -
înțelegerea acestor patru
subspații fundamentale.
Spațiul nul
fiind unul dintre ele.
Spațiul coloanei fiind altul.
Înțelegem acum ce
coloane sunt independente.
Și spațiul de rând fiind altul.
Și așa înțelegem cu adevărat

ideea acestor patru
subspații fundamentale care
intră în imaginea de ansamblu
a algebrei liniare.
Deci, aceasta completează prima
etapă majoră a unui curs de algebră liniară
.
Și apoi
va veni ceea ce urmează.
Valori proprii, valori singulare,
aplicații de tot felul.  Cele
mai mici pătrate.
Bun.
Bun.
Matematică bună.
Și vă mulțumesc foarte mult.
Deci, acesta este rezumatul meu despre
găsirea spațiului nul.
Bun.