[Se joacă muzică] HAYNES MILLER: Cu toții credem că știm ce sunt numerele. Le folosim în fiecare zi. Dar foarte repede, intri în niște întrebări matematice reale, care nu sunt îngropate la sfârșitul unui curs. Sunt chiar la suprafață. PAIGE BRIGHT: Bună. Numele meu este Paige Bright și sunt un junior care studiază matematica la MIT și voi fi gazda ta invitată pentru episodul de astăzi al Chalk Radio. Pentru acest episod, m-am așezat cu profesorul Haynes Miller. HAYNES MILLER: Sunt profesor, acum emerit, de matematică la MIT. Și am ajuns aici în 1986, cu mult timp în urmă. Am predat o mulțime de materii studenților, în special 18.03, Ecuații diferențiale. Și sper că avem ocazia să vorbim despre asta. Acesta sunt eu. PAIGE BRIGHT: M-am întâlnit prima dată cu Haynes când era instructorul meu pentru un seminar special de primul an la MIT. Îl voi lăsa pe Haynes să vă spună mai multe despre aceste seminarii pe care le-a facilitat. HAYNES MILLER: MIT are o serie minunată de cursuri numite Seminarii de consiliere în primul an. Acestea sunt seminarii mici, poate opt studenți. Seminarul la care am fost tu și cu mine, Paige, a fost neobișnuit, deoarece aceasta a fost prima cădere a pandemiei, așa că a fost complet îndepărtată. Foarte interesant. Aveam multe fusuri orare reprezentate. Un student suna din Vietnam, altul din Kuweit, altul din Nepal și alte locuri din SUA. Și a fost cel mai de succes seminar pe care l-am organizat pentru că a fost o șansă pentru studenți de a interacționa la nivel personal cu colegii lor, chiar dacă erau la jumătatea lumii. PAIGE BRIGHT: Unul dintre cele mai importante aspecte ale acestor seminarii de consiliere din primul an este concentrarea pe comunicare și matematică. Seminariile încep prin a pune o întrebare simplă care îi atrage pe matematicieni de orice mediu , cum ar fi, cum definiți simetria sau ce este un număr? Și în cele din urmă, acoperă subiecte matematice complexe, cum ar fi spațiile de module și numerele suprareale. O parte din ceea ce face orele lui Haynes atât de convingătoare este concentrarea lui asupra modurilor în care comunicăm ca matematicieni. HAYNES MILLER: Într-un fel, îi invidiez pe colegii mei de inginerie pentru că produc artefacte. Ele produc lucruri fizice reale. Și colegii mei din știința de laborator fac același lucru. Ei interacționează în moduri complicate cu lumea. Matematicieni, tot ce avem este comunicare. Tot ce avem este scrisul pe care îl facem. Publicăm și încercăm să ne explicăm ideile și nu există niciun obiect fizic pe care îl producem. Deci, comunicarea este într-un fel întregul joc la matematică. PAIGE BRIGHT: Având în vedere că comunicarea matematică este atât de integrantă în predarea și cercetarea lui Haynes, eram curios cum crede el despre asta. Care este abordarea lui? HAYNES MILLER: Ori de câte ori scrii sau comunici, principalul lucru este să ții cont de public. Cu cine vorbesti? Unde sunt? Care este interesul lor de fundal? De ce sunt acolo? Care sunt cunoștințele lor de bază? Și când predai, asta este o importanță primordială. Așa că, când predam Ecuații diferențiale, 18.03, am avut mereu în vedere că predam în principal ingineri. Și erau niște specializări în științe și unele specializări în matematică în publicul meu, dar pentru ei, acesta a fost adesea la fel de aproape de un curs de inginerie pe cât urmau să vadă aici la MIT. Așa că am încercat foarte mult să folosesc limbajul de inginerie. De fapt, unul dintre lucrurile pe care le-aș face era să invit un inginer în sala de clasă într-o zi în timpul semestrului și să discutăm între noi. Am folosi limbajul pe care l-am dezvoltat în clasă. Și a devenit clar pentru studenți că asta era real. Acesta a fost limbajul folosit de ingineri. Desigur, inginerii au știut întotdeauna mult mai multe despre tipul de sisteme și limbaj de semnale decât vorbeam eu , așa că am format un fel de dispozitiv de traducere între studenții care știau puțin și inginerii care știau multe. PAIGE BRIGHT: Deci haideți să vorbim un minut despre această clasă la care se referă Haynes, Ecuații diferențiale sau 18.03. Studiul ecuațiilor diferențiale este studiul modului în care modificările mici ale unei funcții sau derivatelor afectează funcția în sine. De exemplu, cum încălzirea unei tije metalice la un moment dat afectează temperatura tijei peste tot? Într-o clasă ca 18.03, se speră să înțeleagă sistematic aceste tipuri de probleme. Dar Haynes are o abordare puțin diferită a predării ecuațiilor diferențiale, una care schimbă modul în care elevii gândesc despre funcții ca întreg. HAYNES MILLER: Elevii intră la un curs de ecuații diferențiale și au văzut calcul și s-au obișnuit cu ideea unei funcții. Dar totuși pentru mulți dintre ei, o funcție, este un lucru complicat. Are multe părți. Există multe valori de intrare și fiecare are o valoare de ieșire. E un lucru complicat. Și ceea ce se întâmplă în cursul unui curs de ecuații diferențiale este că ajungi să te gândești la o funcție ca la un singur lucru. Este o chestie compusă. Are părți mai mici, dar te gândești la el ca la un singur obiect. Procesul de a colecta un grup de lucruri și de a le reuni într- un singur obiect, este o operație matematică fundamentală pe care o puteți vedea în acțiune deja foarte clar într-un curs de ecuații diferențiale. Și este una dintre principalele abilități cu care sper că studenții reușesc să urmeze un astfel de curs. Ei cred că o funcție este un singur obiect pe care îl puteți manipula. Puteți compara două dintre ele pentru că una este derivata altuia sau intră împreună într-o ecuație diferențială. PAIGE BRIGHT: Înainte de a intra prea mult în matematică aici, vreau să mă concentrez pe abordarea inovatoare a predării lui Haynes. L-am întrebat despre modul în care face matematica nu doar ușor de înțeles, ci și atrăgătoare pentru studenți. HAYNES MILLER: Noi, ființele umane, suntem... majoritatea dintre noi suntem echipați... toți suntem echipați cu un cortex vizual. Cu toții suntem echipați cu un sistem vizual extrem de dezvoltat, elaborat și sofisticat. Chiar dacă suntem orbi, acel sistem încă funcționează în creierul nostru. Este încă disponibil în creierul nostru. Și ce face? Un copil se uită în jur în lume și vede un milion de pixeli, vede un milion de pete de culoare. Dar una dintre primele operații pe care le efectuează un copil în creștere este să învețe noțiunea de obiect, să alcătuiască o colecție de pixeli și să vadă că aceștia constituie un obiect care are propria sa identitate. Deci cortexul nostru vizual este foarte potrivit pentru a face exact această operație de asamblare a lucrurilor și de a le vedea ca o singură unitate. Este o caracteristică specială pe care o avem în creier. Deci, unul dintre lucrurile pe care le-am făcut pentru a-i ajuta pe studenți să facă acest pas în cursul de ecuații diferențiale a fost să creez o serie de instrumente de manipulare pe computer, le numesc eu. Programe. Le puteți găsi pe web la mathlets.org. Și afișează funcțiile ca unități și arată cum se vor schimba funcțiile atunci când modificați parametrii. Ele vă arată relația dintre funcțiile care participă la o ecuație diferențială. Și cred că pentru mulți studenți, vedea graficul, vizualizarea vizuală a graficului unei funcții este un atu imens pentru a-i face să vadă acest lucru ca pe un singur obiect. PAIGE BRIGHT: În conformitate cu munca sa de a ajuta studenții să vizualizeze ecuații diferențiale, Haynes a observat că într- o mare parte din experiența academică îi lipsea un element matematic dincolo de vizualizare: munca de laborator. HAYNES MILLER: MIT are o cerință generală de institut. Toți studenții sunt obligați să urmeze un curs care are o desemnare ca curs de laborator. Din punct de vedere istoric, matematica nu a avut un curs de laborator. Înțelepciunea era că, cum ai putea avea un laborator de matematică? Nu exista niciun artefact. Dar am simțit că matematica este o știință. Folosim metoda științifică. Colectăm date, poate făcând exemple, poate pe computer. Formăm ipoteze. Poate le numim presupuneri. Și încercăm să obținem dovezi pentru ei. Dovezile noastre se numesc de obicei o dovadă. Nu există o bancă cu echipamente de laborator pe care oamenii să lucreze împreună, dar există tablă sau tablă albă sau tabletă în aceste zile ale Zoom, unde oamenii lucrează în paralel. PAIGE BRIGHT: Deci, împreună cu colegul său de la departamentul de matematică, profesorul Michael Artin, Haynes a reunit o serie de proiecte de cercetare mici, deschise, la care studenții de licență ar putea lucra pentru a-și îndeplini cerințele de laborator într-un mediu axat pe matematică. Acest lucru a dus la crearea unei clase intitulate Laboratorul de proiect de matematică. HAYNES MILLER: Desigur, este un tip de comunicare foarte ridicat, dar oferă și o introducere destul de sinceră în procesul de cercetare în matematică. Este ceva care a fost util pentru studenții care vin la el, nefiind angajat niciodată în vreun fel de cercetare înainte. Le deschide ochii asupra noțiunii că nu totul este un exercițiu de manual. Și pentru oamenii care au avut experiență în cercetare, există și o pregătire excelentă în lucrul în echipă și în scris, în comunicare. PAIGE BRIGHT: O parte din conversația mea cu Haynes, care mi-a plăcut foarte mult, a fost explicația lui despre modul în care predarea acestor cursuri a condus la propria lui înțelegere a ceea ce este implicat în comunicarea eficientă la matematică. HAYNES MILLER: După ce m-am implicat în aceste subiecte intensive în comunicare , am devenit mult mai conștient de tipul de probleme stilistice din scrierea matematică. Și trebuie să spun că am devenit un editor și recenzent mult mai sever și am muncit destul de mult pentru a-l ajuta pe autor să folosească limbajul corect și să fie mai atent la publicul lor, pentru că este foarte obișnuit în matematică să începi un paragraf cu o afirmație care vine Din senin, pentru că există o imagine în care suntem loviți de fulgere și avem această inspirație. Bineînțeles că nu este adevărat. Există un fundal mare pentru asta. Există multă pregătire pentru asta. Și scrisul ar trebui să fie la fel. Crezi până la un punct, apoi te conectezi. Tu faci următorul pas. PAIGE BRIGHT: Haynes a colaborat cu Susan Ruff, lector în Scrierea pe tot parcursul curriculumului, care lucrează de mulți ani cu Departamentul de Matematică și Laboratorul de proiect. HAYNES MILLER: Susan Ruff este foarte clară cu privire la importanța a ceea ce ea numește „conectivitate”, adică nu introduci multe concepte noi simultan. Începi de unde s-a terminat ultima propoziție și faci pasul următor. Și când te gândești la scrisul matematic în acest fel, îmbunătățești într-adevăr înțelegerea scrisului. Așa că cred că munca mea este de redactor și, în calitate de recenzor al lucrărilor de matematică, a fost într-adevăr influențată de predarea intensivă în comunicare în care am fost implicat aici. PAIGE BRIGHT: Intenția clară a lui Haynes de a-și îmbunătăți constant predarea este cu adevărat remarcabilă. Un mod în care sa ajutat atât pe sine, cât și pe alți instructori să-și dezvolte abilitățile de predare este printr-un program pe care l-a creat și găzduiește, numit Seminarul online privind educația matematică la licență , sau OLSUME. HAYNES MILLER: Așa că în urmă cu aproximativ șase ani, stăteam într-o cafenea cu un fost post-doctorat, Grace Lyo, de la Departamentul de Matematică de aici. Și ea a spus că tu cercetezi universități precum Stanford unde era angajată la acea vreme și MIT unde era angajată, profesorii de acolo se gândesc mult la predare, dar nu vorbesc prea mult între ei despre gândurile lor. despre predare. Într-adevăr, nu vorbim prea mult unul cu celălalt în mod normal în cadrul unei facultăți date despre predare. Așa că ne-am gândit, ei bine, există aceste câteva campusuri. Poate ar trebui să avem o întâlnire împreună. Dar mi-a trecut prin minte că avem Zoom, care exista înainte de COVID, crezi sau nu, și am putea face asta de la distanță și am putea începe un seminar lunar -- la fiecare două săptămâni, de fapt, seminar -- cerând profesorilor să vorbească despre inițiative de predare în care s-au angajat în propriul lor campus. Uneori a fost un mod specific, diferit de notare. Uneori era un mod diferit de organizare a cursurilor de bază. Uneori, interacționa cu inginerii pentru a optimiza cursurile de bază pe care le oferea Departamentul de Matematică . Și de atunci îl rulăm la fiecare două săptămâni în timpul anului universitar. A devenit o resursă destul de utilă. Cred că gândul meu inițial că se desfășoară multă activitate prin țară, în diferite departamente, cu multă imaginație și creativitate și pasiune, era adevărat. Și îl avem acum înregistrat, arhivat și disponibil pe site-ul OLSUME. PAIGE BRIGHT: Pe lângă predarea cursului de ecuații diferențiale și conducerea Laboratorului de proiect, Haynes conduce și seminariile din primul an pe care le-am menționat mai devreme. Titlul seminarului la care am fost a fost intitulat Ce este un număr? Și, deși s-ar putea să fii surprins că un specialist în matematică ar urma o clasă intitulată Ce este un număr?, este de fapt o întrebare destul de fascinantă. HAYNES MILLER: Cu toții credem că știm ce sunt numerele. Le folosim în fiecare zi. Dar foarte repede, intri în niște întrebări matematice reale, care nu sunt îngropate la sfârșitul unui curs. Sunt chiar la suprafață. Și realizezi, de exemplu, că nu poți să răspunzi cu adevărat la acea întrebare, ce este un număr? Nu are sens în sine. Puteți răspunde la o întrebare precum: ce este un sistem numeric? Pentru că întregul punct despre numere este modul în care acestea se relaționează între ele. Așa că revenim la această problemă despre lucrurile care formează complexe, lucruri care formează combinații înainte ca acestea să aibă cu adevărat sens. Acesta a fost unul dintre cele mai interesante și distractive lucruri despre seminarul la care am fost, este să ne gândim cu atenție la conceptul de număr și la numeroasele varietăți diferite de numere care există. Dar de fiecare dată, fiecare dintre ei, vezi că nu are sens până nu te gândești la ele într-un sistem. Alte concepte matematice care au ieșit foarte clar a fost ideea că ajungi la ceva caracterizându-i proprietățile. Deci, cred că acesta este sistemul axiomatic. Obțineți o perspectivă mult mai bună asupra a ceea ce este un număr întreg gândindu-vă la el în mod axiomatic. Care sunt proprietățile pe care vă așteptați să le aibă acel sistem de numere? Le puteți construi în moduri diferite, dar fiecare construcție a lor este artificială și, într-un fel, irelevantă, pentru că în final le folosiți doar proprietățile. Deci, aceasta este o perspectivă matematică foarte profundă, care a ieșit destul de clar imediat, fără prea multe cunoștințe și a fost accesibilă bobocilor destul de ușor. PAIGE BRIGHT: Haynes este cu adevărat dedicat să ajute oamenii să înțeleagă subiecte complexe și intimidante. De asemenea, îi pasă să-și creeze materialele într-un mod care să-i facă pe elevi să gândească diferit. Și există un seminar în care cu siguranță acest lucru se realizează, Seminarul Kan. HAYNES MILLER: Deci Dan Kan a fost membru al facultatii aici. El era aici când am ajuns aici. Acum e decedat. A susținut un curs de absolvire, dar a refuzat să dea prelegeri. În schimb, a dat cursuri studenților. Și cred că acesta a fost un concept revoluționar când a început în 1965. Seminarul Kan a fost în acțiune în fiecare toamnă de atunci, condus mai întâi de el și apoi de alți oameni, apoi de câțiva ani de mine. Acum s-a transmis altor oameni. Este un seminar de literatură despre lucrările clasice la această materie, topologia algebrică. Și oferă studenților-- oferă studenților absolvenți-- și acum din ce în ce mai mulți studenți de la MIT și de la Harvard îl vor lua. Le oferă șansa de a aprecia modul în care s-a dezvoltat subiectul și de a învăța cu adevărat exemplele de bază care motivează subiectul și astăzi. Le oferă studenților șansa de a vorbi cu un membru al facultății în mod regulat. Vorbesc cu fiecare student în fiecare săptămână despre lucrarea pe care o vor prezenta și învăț să citesc o lucrare în două moduri. Ei învață să citească o lucrare în detaliu pentru că vor ține o discuție despre asta. Ei trebuie să înțeleagă. Și vor alege o parte din lucrare despre care cred că este deosebit de interesantă și despre care vor să le spună colegilor. Dar, de asemenea, se așteaptă să citească ziarele despre care vorbesc toți ceilalți. Așa că învață și să citească o lucrare foarte repede și să obțină ceva util din ea foarte eficient. PAIGE BRIGHT: Eram curioasă cum a pus studenții să predea cursurile. Haynes mi-a spus puțin despre propriile sale începuturi ca instructor și, de asemenea, despre cum îi face pe studenți să prezinte în moduri care sunt atât captivante, cât și utile pentru ceilalți. HAYNES MILLER: Îmi amintesc când am ajuns prima dată aici, am fost filmat, ca mulți profesori începători sunt aici, și m-am uitat la videoclipul în care predam. Și m-am gândit, de ce tipul ăsta încearcă să se comporte așa de cool? Și de ce nu spune pur și simplu lucrurile așa cum sunt? Și așa am învățat să fiu mai direct din acea experiență. Elevii au tendința de a presupune că toată lumea din audiența lor știe tot ce vor spune și așa că se vor grăbi prin asta. Nu vor face o treabă adecvată explicând ceea ce au de spus, pentru că cred că nu are rost. Aceasta este doar o formalitate de un fel. Așa că îi conving cu adevărat că spun ceva pe care publicul nu știe și depinde de ei [râde] să-l explice. Asta e mare lucru. PAIGE BRIGHT: Pentru a încheia episodul nostru de astăzi, am vrut să împărtășesc câteva reflecții de la Haynes despre OCW. După ce am lucrat personal la anumite conținuturi ale cursurilor pentru OpenCourseWare, pot spune că este o experiență uimitoare să ajungi să faci materiale care să-i ajute pe educatori și pe studenți deopotrivă să învețe din resursele uimitoare de la MIT, indiferent de locul în care se află sau de ce căi academice le sunt disponibile. . HAYNES MILLER: Facultatea MIT este atât de incredibil de norocoasă să aibă OpenCourseWare ca un mijloc, ca o modalitate de a vă exprima, ca o modalitate de a publica această lucrare pe care o facem, pe care ne petrecem o mare parte din viața noastră profesională lucrând . Alte universități nu au acest lux, de obicei. Ei nu au o modalitate de a comemora și de a contribui la munca lor de predare în întreaga lume. Este o resursă atât de grozavă pe care o avem aici. Unul dintre lucrurile grozave despre OCW este că conduci cursul și apoi îi spui lui OpenCourseWare să alerge cu el și se întâmplă ceva uimitor. PAIGE BRIGHT: Profesorul Miller împărtășește gânduri suplimentare despre cursurile despre care se vorbește astăzi, cum ar fi Seminarul Kan și Laboratorul de proiect în matematică, despre OCW. Puteți vizualiza aceste resurse la ocw.mit.edu. De asemenea, puteți afla mai multe despre munca sa cu Seminarul online privind educația matematică la licență sau OLSUME la olsume.org. Vă mulțumesc foarte mult pentru că ați ascultat acest podcast pentru invitați. Până data viitoare, sunt Paige Bright de la MIT OpenCourseWare. Printre producătorii de la MIT Chalk Radio se numără Sarah Hanson, Brett Paci și Dave Lishansky. Notele emisiunii pentru acest episod au fost scrise de Peter Chipman. Suntem finanțați de MIT Open Learning și de susținători ca tine.