²²·ÿï°°±ÿï‚çòïíÿïƒÂáìâÿ˜Ûô±ÿ@@@@{1EXPOSITIO ET RATIO OMNIVM}1 €@@@@{1FORMARVM.}1 ƒ@@Notum est omnibus, Celse, penes te studiorum nos-€trorum manere summam, ideoque primum sedulitatis meae €inpendium iudiciis tuis offerre proposui. nam cum sibi €inter aequales quendam locum deposcat aemulatio, nemi-€nem magis conatibus nostris profuturum credidi quam €qui inter eos in hac parte plurimum possit. itaque quo €cultior in quorundam notitiam ueniat, omnia tibi nota €perlaturus ad te primum liber iste festinet, apud te tiro-€cinii rudimenta deponat, tecum conferat quidquid a me €inter ipsas armorum exercitationes accipere potuit. et si €meretur publica conuersatione sufferre uniuersorum ocu-€los, a te potissimum incipiat: quod si illi parum diligen-€tem adhibitam curam esse credideris et in aliqua cessasse €uidebimur parte, non exiguum laboris mei consequar fru-€ctum, quod te monente malignorum lucri fecerim existi- @1 mationem. quaeso itaque, si non est inprobum, habeat €apud te quandam excusationem, quod non potuerit eo €tempore consummari, quo genus hoc instrumenti feruen-€tibus studiis nostris disparatum est. omnium enim, ut €puto, liberalium studiorum ars ampla materia est; cui in €hac modica re nequid deesset, ingenti animo admoueram €uires. interuenit clara sacratissimi imperatoris nostri ex-€peditio, quae me ab ipsa scribendi festinatione seduceret. €nam dum armorum magis exerceor cura, totum hoc ne-€gotium uelut oblitus intermiseram, nec quicquam aliud €quam belli gloriam cogitabam. at postquam primum €hosticam terram intrauimus, statim, Celse, Caesaris nostri €opera mensurarum rationem exigere coeperunt. erant dandi €interueniente certo itineris spatio duo rigores ordinati, €quibus in tutelam commeandi ingens uallorum adsurgeret €molis: hos inuento tuo operis decisa ad aciem parte fer-€ramenti usus explicuit. nam quod ad synopsim pontium €pertinet, fluminum latitudines dicere, etiam si hostis in- @1 festare uoluisset, ex proxima ripa poteramus. expugnan-€dorum deinde montium altitudines ut sciremus, uenerabilis €diis ratio monstrabat. quam ego quasi in omnibus tem-€plis adoratam post magnarum rerum experimenta, quibus €interueni, religiosius colere coepi, et ad consummandum €hunc librum uelut ad uota reddenda properaui. postquam €ergo maximus imperator uictoria Daciam proxime resera-€uit, statim ut e septentrionali plaga annua uice transire €permisit, ego ad studium meum tamquam ad otium sum €reuersus, et multa uelut scripta foliis et sparsa artis €ordini inlaturus recollegi. foedum enim mihi uidebatur, €si genera angulorum quot sint interrogatus responderem €'multa': ideoque rerum ad professionem nostram pertinen-€tium, in quantum potui occupatus, species qualitates con-€diciones modos et numeros excussi. per que satis ampla @1 mediocritatis meae opinio seruabitur, si illa uir tantae €auctoritatis studentibus profutura iudicaueris. €@@Ergo nequid nos praeterisse uideamur, omnium mensu-€rarum appellationes conferamus. [nam mensura non tantum €ista de qua loquimur appellatur, sed et quidquid pondere €aut capacitate aut animo finitur mensuram eque quam €longitudinem appellant.] quid ergo mensura sit de qua €quaeritur, tractemus. €@@Mensura est conplurium et inter se aequalium in-€teruallorum longitudo finita, ut pes per unciam, per pe-€dem decempeda, per decempedam actus, per passum sta-€dium, per stadium miliarium, et his similia. €@@Mensurarum appellationes quibus utimur sunt duo-€decim, digitus uncia palmus sextans pes cubitus gradus €passus decempeda actus stadium miliarium. minima pars €harum mensurarum est digitus: siquid enim infra digitum €metiamur, partibus respondemus, ut dimidiam aut tertiam. €uncia habet digitum unum et tertiam partem digiti. pal-€mus habet digitos &7iiii&, uncias &7iii&. sextans, que eadem @1 dodrans appellatur, habet palmos &7iii&, uncias &7viiii&, digitos €&7xii&. pes habet palmos &7iiii&, uncias &7xii&, digitos &7xvi&. in pede €porrecto semipedes duo. in pede constrato semipedes &7iiii&. €in pede quadrato semipedes &7viii&. cubitus habet sesqui-€pedem, sextantes duas, palmos &7vi&, uncias &7xviii&. gradus €habet pedes duo semis. passus habet pedes quinque. de-€cempeda, quae eadem pertica appellatur, habet pedes &7x&. €actus habet longitudinis ped. &7cxx&, latitudinis ped. &7cxx&. €stadium habet pedes &7dcxxv&, passus &7cxxv&. miliarium habet €passus mille, milia pedum &7v&, stadios &7viii&. €@@[Mensurae aguntur generibus duodecim. digitis. di-€gitus est in pede pars &7xvi&. unciis. uncia est in pede pars @1 &7xii&. palmis. palmus &7iiii&. sextantibus. sextans, quae eadem €dodrans appellatur, habet uncias &7viiii&, digitos &7xii&. pedibus. €pes palmos &7iiii&. cubitis. cubitus pedem semis. gradibus. €gradus habet pedes &7ii&3s&. passibus. passus habet pedes &7v&. €decempedis. decempeda pedes &7x&. actibus. actus habet pe-€des &7cxx&. stadiis. stadium habet pedes &7dcxxv&. miliariis. mi-€liarium habet p. &7. €@@Pes prostratus sic obseruabitur. ducis longitudinem €per latitudinem: facit embadon. €@@Pes quadratus sic obseruabitur. longitudinem per la-€titudinem metiemur, deinde per crassitudinem: et sic effi-€cit pedes solidos. €@@Pes quadratus concauus capit amforam trimodiam. €@@In centuria agri iugera &7cc&, modii &7dc&. in circuitu ped. €&7dc& habet. in ea pedum &7cccc& per &7cccc&, passus &7cccclxxx& €per &7cccclxxx&, actus &7xx& per &7xx&, cubita #150&7dc& per #150&7dc&. €@@Pedes ut in cubitos redigamus, semper duco octies, €et sumo partem &7xii&: erunt cubita. cubita uero ut in pe-€des redigamus, semper duco duodecies, et sumo partem €octauam: erunt pedes.] €@@Mensurae aguntur generibus tribus, per longitudinem @1 et latitudinem et altitudinem. hoc est rectum planum so-€lidum. rectum est cuius longitudinem sine lati-€tudine metimur, ut lineas, porticus, stadia, miliaria, flu-€minum longitudines, et his similia. planum est €quod Greci epipedon appellant, nos constratos pedes; in €quo longitudinem et latitudinem habemus; per quae me-€timur agros, aedificiorum sola, ex quibus altitudo aut cras-€situdo non proponitur, ut opera tectoria, inauraturas, ta-€bulas, et his similia. solidum est quod Graeci €stereon appellant, nos quadratos pedes appellamus; cuius €longitudinem et latitudinem et crassitudinem metimur, ut €parietum structuras, pilarum pyramidum aut lapidum ma-€terias, et his similia. €@@Omnis autem mensurarum obseruatio et oritur et de-€sinit signo. signum est cuius pars nulla est. haec est om- @1 nium extremitatium finitima contemplatio. signum autem €sine parte est initium, a quo omnia incipiunt. €@@Extremitas est quo usque uni cuique possidendi ius €concessum est, aut quo usque quisque suum seruat. €extremitatium genera sunt duo, unum quod per rigorem €obseruatur, alterum quod per flexus. rigor est €quidquid inter duo signa ueluti in modum lineae rectum €perspicitur; per flexus, quidquid secundum locorum natu-€ram curuatur, ut in agris archifiniis solet. decumanus est €longitudo rationalis, itemque cardo, constitutis in unum €binis rigoribus, singulis spatio itineris interueniente. €nam quidquid in agro mensorii operis causa ad finem €rectum fuerit, rigor appellatur: quidquid ad horum imi-€tationem in forma scribitur, linea appellatur. €@@Linea est longitudo sine latitudine, lineae autem fines €signa. ordinatae rectae lineae sunt quae in eadem plani- @1 tia positae et eiectae in utramque partem in infinitum non €concurrunt. €@@Linearum genera sunt trea, rectum, circum ferens, €flexuosum. recta linea est quae aequaliter suis €signis rectis posita est; circum ferens, cuius incessus a €conspectu signorum suorum distabit. flexuosa linea €est multiformis, uelut aruorum aut iugorum aut fluminum; in €quorum similitudinem et arcifiniorum agrorum extremitas €finitur, et multarum rerum similiter, quae natura inaequali €linea formata sunt. €@@Summitas est secundum geometricam appellationem €quae longitudinem et latitudinem tantum modo habet, €summitatis fines lineae. plana summitas est quae €aequaliter rectis lineis est posita. omnium autem €summitatium metiundi obseruationes sunt duae, enormis @1 et liquis; enormis, quae in omnem actum rectis angulis þ²²·ÿï°°±ÿï‚çòïíÿïƒÂáìâÿ˜ä‚continetur; liquis, quae minuendi laboris causa €et salua rectorum angulorum ratione secundum ipsam ex-€tremitatem subtenditur. €@@Genera angulorum rationalium sunt tria, rectum ebes €acutum. haec habent species &7viiii&; rectarum linearum tres, €rectarum et circumferentium tres, circumferentium tres. €@@Rectarum ergo linearum species angulorum generis €sui tres, recta ebes acuta. rectus angulus est €euthygrammos, id est ex rectis lineis conprehensus, qui La-€tine normalis appellatur. quotiens autem recta super €recta linea stans ex ordine angulos pares fecerit, et sin-€guli anguli recti sunt, et stans perpendicularis eius lineae €super quam insistit est. cuius sede si subtendens linea @1 perpendiculari fuerit iniuncta, efficit triangulum recto an-€gulo. ebes angulus est plus normalis, hoc est €excedens recti anguli positionem, et qui, si triangulus se-€cundum hanc positionem constitutus fuerit, perpendicula-€rem extra finitimas lineas habeat. acutus angulus €est conpressior recto; qui si a recta linea, quae sedis €loco fuerit, rectam lineam secundum suam inclinationem €emiserit, similique cohibitione rectam lineam in occursum €exceperit, efficiet triangulum qui perpendicularem intra €tres lineas habebit. rectus ergo angulus est €normalis, ebes plus normalis, acutus minus normalis. €@@Rectarum linearum et circumferentium species angu-€lorum generis sui tres, recta ebes acuta. quae-€cumque autem linea in dimensione medium secans circu-€lum per punctum transiens ad circumferentem lineam pa-€res alternos secundum suam speciem rectos angulos faciet. €ebetes angulos faciet generis sui quaecumque or-€dinata dimensioni linea intra semicirculum, in eo tamen @1 spatio quod inter se et lineam quae per punctum semi-€circuli transiet interiacebit. quotiens intra semi-€circulum linea fuerit ordinata dimensionis lineae, acutos €angulos faciet generis sui, quos in circumferentia cludet. €rectarum ergo et circumferentium linearum an-€guli rectus ebes acutus; rectus, quoniam recta linea quae €per punctum ad circumferentiam peruenit, medium secat €circulum et utraque parte pares angulos diuidit; ebes et €acutus ideo quod ordinata dimensioni linea intra semi-€circulum inferiores facit angulos maiores: nam quos intra €circumferentiam cludet, minores. €@@Circumferentium linearum species angulorum generis €sui tres, recta ebes acuta. quotiens ex uno duo-€rum punctorum diastemate duo circuli pares exeunt, ad €conexionem circumferentiarum interiores rectos angulos €facient; ebetes exteriores, qui sunt sescontrarii €rectis: acuti anguli sunt lunati, qui inter rectos et ebe-€tes includuntur. circumferentium linearum rec-€tos angulos ideo quod si tres circuli pares inter se fue-€rint aequali diastemate conexi, intra scriptos angulos pares @1 alternos habebunt, per quorum signa si rectae lineae in-€tra scribantur, in partes quas circulorum conexio consu-€met medias diuident. ebetes angulos exteriores, quod sunt €omnibus intra scriptis maiores. lunati autem acuti, quod €exilissima tenuitate finiuntur. €@@Rationalium linearum genera angulorum haec sunt. €quibus si flexuosa linea iniungatur, faciet species angulo-€rum secundum suam inaequalitatem complures: €omnes tamen illae inaequalitates rationalibus lineis conpre-€hendi et diuidi possunt. [flexuosa autem linea sicut eli-€cis aut cornualis.] nam flexuosa linea ad mensu-€ram redigitur, quem admodum ipsius loci natura permit-€tit, qua proxima est rectae lineae adque circumferenti cir-€culari, si terminibus arboribus notatis aut fossis aut uiis €aut iugis montium et diuergiis aquarum fines obseruabun-€tur. €@@Angulus autem omnis species capit duas, planam et €solidam. planus angulus est in planitia duarum €linearum adtingentium, sed et non in rectum positarum, €alterius ad alteram inclinatio. solidus angulus est €cuius planitiae altitudo adiungitur aut aequatur. @1 @@Forma est quae sub aliquo aut aliquibus finibus con-€tinetur. €@@Formarum genera sunt quinque. unum quod ex fle-€xuosa linea continetur. alterum quod ex flexuosa et ra-€tionalibus. tertium quod ex circumferentibus. quartum quod €ex circumferentibus et rectis. quintum quod ex rectis. ho-€rum generum sunt species multitudinis infinitae. €@@Flexuosarum linearum formae species habent multas €in infinitum. €@@Aeque multas ac uarias figuras habent formae, quo-€tiens flexuosae lineae rationalis siue recta siue circularis €linea interuenit. €@@Circumferentium linearum formae aliquae sunt sine €angulo, aliquae uno, aliquae duorum, aliquae trium, ali-€quae quattuor, et aliquae super hunc numerum singulis €angulis accedentibus ut plurimum in infinitum. forma est €sine angulo circuli unius pluriumue. circulus autem est plana €forma ab una linea conprehensa, ad quam ab uno signo €intra formam posito omnes accedentes rectae lineae sunt @1 inter se pares. ex pluribus circulis forma sine €angulo, ut harenae ex quattuor circulis; ex €pluribus quam quinque, ut in opere picturarum aut ar-€chitectura. forma anguli unius ex tribus circinis, €ut in opere marmoreo. duorum angulorum forma e duo-€bus circinis, trium angulorum ex tribus circinis, €quattuor angulorum ex quattuor circinis, €reliquae accedentibus singulis plurilaterae in infinitum. ˆŠ@@Rectarum linearum et circumferentium [forma sine €angulo] duorum laterum totidemque angulorum forma est €ex recta linea et circumferenti semicirculo. [rec-€tarum linearum et circumferentium formae sine angulo €lateris unius, duorum angulorum ex duobus lateribus, €trium angulorum ex tribus lateribus, quattuor ex quattuor, €reliquae singulis accedentibus plurilaterae.] tri-€latera forma est trium laterum totidemque angulorum ex €duabus rectis lineis et una circumferenti, uel ex @1 duabus circumferentibus et una recta. ex duabus ergo €rectis et una circumferenti. ex duabus circumferentibus €et recta. quadrilatera forma est quattuor laterum €totidemque angulorum ex quattuor lineis comprehensa, ut €duabus rectis et duabus circumferentibus. plu-€rilatera forma est quae plus quam quattuor lineis com-€prehensa est, ut quinque laterum totidemque angulorum €ex duabus rectis et tribus circumferentibus, €ex tribus rectis et duabus circumferentibus. et quaecum-€que huic formae accedentibus singulis angulis et late-€ribus similis fuerit, plurilatera appellatur. €@@Planarum autem et rectis lineis comprehensarum aliae €sunt trilaterae, aliae quadrilaterae, aliae singulis adiectis €super hunc numerum plurilaterae in infinitum. trilatera €forma est quae tribus rectis lineis continetur. trilatera-€rum formarum et ex rectis lineis comprehensarum species €sunt quattuor. una qua rectus angulus continetur, et ef-€ficit triangulum recto angulo, quod Graeci orthogonion €appellant. €. . . €plurilatera forma est quae plus quam quattuor rectis li-€neis sub qualicumque specie continetur . . . €. . . €quinque, quam formam Graeci pentagonon appellant. €amplioribus quoque formis apud Graecos nomina @1 ab angulis dantur, ut hexagono heptagono et super hunc €numerum compluribus. has nos plurilateras appellamus €adiecto angulorum numero, ut sex angulorum et septem. €et quantumcumque super hunc numerum auxeris, eandem €appellationem utamur. €@@Alia species est formae per quam frequenter archi-€finiorum agrorum quadratura concluditur ex rectis angulis €[ex] pluribus quam quinque, accedentibus super hunc €numerum in quantacumque multitudine cogitaueris. €@@[Qualemcumque rectorum angulorum formam rectis €lineis comprehendere. €@@Ex data recta linea ducere posito signo . . . €. . . relato in utramque partem circino, aequali €punctorum diastemate circulos scribere opor-€tet, per quorum conexionem recta linea transeat factura €normales in data linea angulos. sed quo in rec-€tarum linearum forma circularis linea non interueniat rec-€tis, a circumferentiarum parte chiasmi cuiusdam ratione €utamur. €@@Quod si ab eadem recta linea ducenda fuerit quae €rectum angulum faciat, ex quolibet puncto qui per caput €recta linea transeat rectam lineam eicere, per cuius signum €quod est in circumferentem lineam a capite rectae lineae €recta linea transeat factura in data linea rectum angulum. @1 in hanc autem rationem sublata circumferentia þ²²·ÿï°°±ÿï‚çòïíÿïƒÂáìâÿ˜ì‚chiasmis utendum est. nam quod ad extremam lineae €normationem pertinet, uulgaris consuetudinis est sex octo €et decem: haec de qua supra disputauimus cir-€culi ratio magis artificialis est, quae numeros non prae-€finit: habemus enim apud Eucliden, quocumque loco ad €circumferentem lineam ex signis dimensionis duae lineae €concurrerint, normam facturas.] @1 ðþ